10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 17

Lời giải:

Gọi số túi quà nhiều nhất có thể chia được là: x( túi; x ∈ N∗N∗).

Theo đề bài ta có:

48 ⋮ x; 40 ⋮ x ⇒  x ∈ ƯCLN(48;40)

Ta có: (phân tích ra thừa số nguyên tố)

48 = 2⁴.3;  40 = 2³.5 ⇒ x ∈ ƯCLN(48;40) = 2³ = 8 (thỏa mãn)

Vậy số túi quà nhiều nhất mà nhóm các bạn có thể chia được là 8 túi.

Số lượng vở trong mỗi túi là: 48 : 8 = 6 (quyển)

Số lượng bút bi trong mỗi túi là: 40 : 8 = 5 (chiếc)

Đáp số: 8 túi; 6 quyển vở và 5 chiếc bút bi.

Lời giải:

Giả thiết	Nếu hai đường thẳng a, b cùng cắt đường thẳng c và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau
Kết luận	a // b

Chứng minh:

 

Ta có theo giả thiết có một cặp góc trong cùng phía bù nhau tức là: \(\widehat {A{}_2} + \widehat {B{}_2} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {B{}_1} + \widehat {B{}_2} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)

Nên: \(\widehat {B{}_1} = \widehat {A{}_2}\)

Mà \(\widehat {B{}_1},\widehat {A{}_2}\) ở vị trí so le trong nên a // b.

Lời giải:

Tháng có 28 (hoặc 29) ngày là Tháng 2

Lời giải:

\[P\left( {\frac{3}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7} + \frac{2}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{2}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7}} \right) = 3P\left( {\frac{1}{7}} \right)\]

Lại có:

\(P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{{7^2}}}.P\left( 7 \right) = \frac{1}{{49}}.P\left( {3 + 4} \right) = \frac{1}{{49}}.\left[ {P\left( 3 \right) + P\left( 4 \right)} \right]\)

P(3) = P(1 + 2) = P(1) + P(2) = P(1) + P(1 + 1) = 3P(1) = 3

P(4) = 4P(1) = 4

Suy ra: \(P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{49}}.\left[ {3 + 4} \right] = \frac{1}{7}\)

Vậy \(P\left( {\frac{3}{7}} \right) = 3P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{3}{7}\)

Lời giải:

·      Chứng minh a, b, c là số nguyên

+ Xét tính chính phương của P(0) và P(1)

Vì P(x) luôn là số chính phương với mọi x, ta có:

P(0) = c là số chính phương

P(1) = a + b + c là số chính phương

+ Xét tính chính phương của P(2)

P(2) = 4a + 2b + c và đây cũng phải là một số chính phương.

Do P(x) là một hàm bậc hai với hệ số thực, nếu tồn tại x sao cho P(x) không là số nguyên, thì nó không thể là số chính phương.

Nhưng theo giả thiết, P(x) luôn là số chính phương, điều này có nghĩa là tất cả giá trị của nó đều là số nguyên, tức là: a,b,c đều phải là số nguyên

·      Chứng minh b là số chẵn

• Nếu một số nguyên là số chính phương, thì nó đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4), tức là: x² ≡ 0 hoặc 1(mod4)
• Nghĩa là bất kỳ số chính phương nào cũng phải có dạng 4k hoặc 4k + 1 với k ∈ Z

Từ phương trình:

P(1) = a + b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

P(2) = 4a + 2b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Ta trừ hai phương trình này:

(4a + 2b + c) − (a + b + c) ≡ 0 hoặc 1 theo (mod4)

Tức 3a + b ≡ 0 hoặc 1 (mod4)

Vì 3a luôn đồng dư với 0 hoặc 3 theo mod 4 (do a là số nguyên), ta suy ra:

b ≡ 0 (mod 2)

Nghĩa là b là số chẵn.

Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.

Lời giải:

Đặt \[\frac{{p + 1}}{2} = {x^2};\frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2}\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};x < y} \right)\]

Suy ra: p + 1 = 2x²; p² + 1 = 2y²

⇒ p + 1 = 2x²; p² + 1 = 2y² nên p là số lẻ

Ta dễ thấy rằng 2x² ≡ 2y² (modp) mà p lẻ x² ≡ y² (modp)

Mặt khác ta có: x² – y² = (x – y)(x + y) ⋮ p

⇒ x + y = p (vì x < y < p)

Từ đó ta dễ có rằng p² + 1 = 2(p – x)² = 2p² – 4px + 2x² = 2p² – 4px + p + 1

⇒ 4px = p² + p

⇒ 4x = p + 1

⇒ 2x² = 4x

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}p = - 1\\p = 7\end{array} \right.\)

Mà p là số nguyên tố nên p = 7.

Vậy p = 7.

Lời giải:

Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5

⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12

⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11

⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5

+ Với p ≡ ±1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

+ Với p ≡ ±2 (mod5)

⇒p⁴ ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)

(p⁴)⁵⁰⁴ = p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod5)

⇒p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)

+ Với p ≡ ±1 (mod12)

⇒p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

+ Với p chia 12 dư ±3

⇒p ⋮ 3. 

Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)

+ Với p ≡ ±5 (mod12)

⇒p² ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)

⇒(p²)¹⁰⁰⁸ = p²⁰¹⁶ ≡ 1 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ≡ 0 (mod12)

⇒ p²⁰¹⁶ – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)

Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)

Lời giải:

Đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.

Khi đó, p ≡ 1, 2 (mod3), và q ≡ 1, 2 (mod3).

Nếu q ≡ p (mod3) thì vế trái chia hết cho 3, mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p = 3 thì q⁵ < 27, điều đó là không thể
Nếu q = 3 , ta được p³ – 3⁵ = (p + 3)²

⇔ p³ – 243 = (p + 3)²

⇔ p³ – 243 = p² + 6p + 9

⇔ p³ – p² – 6p – 252 = 0

⇔ p = 7

Vậy p = 7 và q = 3.

Lời giải:

A = p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4

= p⁸ⁿ – p⁴ⁿ + 4p⁴ⁿ – 4

= p⁴ⁿ(p⁴ⁿ - 1) + 4 (p⁴ⁿ - 1)

= (p⁴ⁿ - 1)(p⁴ⁿ + 4)

= (p²ⁿ - 1)(p²ⁿ + 1)(p⁴ⁿ + 4)

Ta đã biết tính chất của số chính phương chia 5 được dư là 0, 1 hoặc 4

Vì p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5 nên p²ⁿ chia 5 dư 1 hoặc 4

Nếu p²ⁿ chia 5 dư 1 thì p²ⁿ – 1 ⋮ 5 ⇒ p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4 ⋮ 5

Nếu p²ⁿ chia 5 dư 4 thì p²ⁿ + 1 ⋮ 5 ⇒ p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4 ⋮ 5

Vậy A = p⁸ⁿ + 3p⁴ⁿ ​- 4 chia hết cho 5 biết p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau và p là số nguyên.

Lời giải:

P = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … + 1225

2P = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + … + 2450

2P = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + 49.50

6P = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 49.50.3

6P = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3. 4 + … + 49.50.51 – 48.49.50

6P = 49.50.51

P = 20825

Lời giải:

Ta có: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)

Xét \(P = xy + \frac{1}{{xy}} = {\left( {\sqrt {xy} - \frac{1}{{4\sqrt {xy} }}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16xy}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{15}}{{16}}.4 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{4}\)

Vậy GTNN của P là \(\frac{{17}}{4}\) khi \(\sqrt {xy} - \frac{1}{{4\sqrt {xy} }} = 0 \Leftrightarrow xy = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)

Lời giải:

\(\frac{{18}}{{12}} = \frac{{3.6}}{{2.6}} = \frac{3}{2} = \frac{{3.50}}{{2.50}} = \frac{{150}}{{100}}\)

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{{150}}{{100}}.\)

Lời giải:

Xét 2 trường hợp:

+ Nếu mẫu số khác 0, tử số bằng 0 thì khẳng định trên là đúng. Ví dụ: \(\frac{0}{5} = \frac{0}{2} = 0\)

+ Nếu mẫu số và tử số đều bằng 0 thì khẳng định trên sai

Lời giải:

Đáp án đúng là B

\(\frac{{19}}{{25}} = \frac{{76}}{{100}} = 0,76\)

Do đó phân số \(\frac{{19}}{{25}}\) có thể viết thành số thập phân là 0,76.

Lời giải:

\(\frac{{96}}{{54}} = \frac{{96:6}}{{54:6}} = \frac{{16}}{9}\)

Vậy phân số tối giản của \(\frac{{96}}{{54}}\) là \(\frac{{16}}{9}\).

Lời giải:

Ta có:

 

Suy ra: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴ . 3 . 5

Lời giải:

(x + y)² – 4(x + y)z + 4z²

= (x + y)² – 2.(x + y).2z + (2z)²

= (x + y – 2z)²

Lời giải:

6x² + 7x – 3

= 6x² + 9x – 2x – 3

= 3x(2x + 3) – (2x + 3)

= (2x + 3)(3x – 1)

Lời giải:

6x³y² – 12x³y⁴ + 18x³y⁵

= 6x³y²(1 – 2y² + 3y³)

Lời giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2a + b - c\\y = 2b + c - a\\z = 2c + a - b\end{array} \right.\)

⇒ x + y + z = 2a + b – c + 2b + c – a + 2c + a – b = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c)

A = 8(a + b + c)³ - (2a + b - c)³ - (2b + c - a)³ - (2c + a - b)³

= (x + y + z)³ − x³ − y³ − z³

= (x + y + z − x)[(x + y + z)² + x(x + y + z ) + x²] − (y + z)(y² – yz + z²)

= (y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz + x² + xy + xz + x² − y² + yz − z²)

= (y + z)(3x² + 3xy + 3yz + 3xz)

= 3(x + y)(y + z)(x + z)

= 3(2a + b – c + 2b + c − a)(2b + c – a + 2c + a − b)(2a + b – c + 2c + a − b)

=3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a)

Lời giải:

x³ + 3x² + 3x + 28 = 0

x³ + 3x² + 3x + 1 + 27 = 0

(x + 1)³ = -27

(x + 1)³ = (-3)³

x + 1 = -3

x = -4

Vậy x = -4.

Lời giải:

Gọi 3 phần tử là 2^x < 2^y < 2^z

⇒ 1 ≤ x < y < z ≤ 2020

3 phần tử lập thành cấp số nhân nên 2^2y = 2^x . 2^z = 2^{x + z}

⇒ 2y = x + z

⇒ x + z chẵn

⇒ x; z cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Từ 1 đến 2020 có 1010 số lẻ và 1010 số chẵn

⇒ \(C_{1010}^2 + C_{1010}^2 = 2C_{1010}^2\)​ tập con thỏa mãn

Lời giải:

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c (1), trong đó a; b; c là các số đã biết; a ≠ 0 hoặc b ≠ 0

Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

sin3x = sin2x

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\)

Vì x ∈ [0;π] nên \[x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{5};\frac{{3\pi }}{5};\pi } \right\}\]

Vậy có tất cả 4 nghiệm.

Lời giải:

Không mất tính tổng quát giả sử p ≤ q ≤ r

Với p = 2q; 2qr = q + r + 162

⇔ 4qr − 2q − 2r = 324

⇔ 2q(2r − 1) − (2r − 1) = 325

⇔ (2q − 1)(2r − 1) = 5² . 13

3 ≤ 2q – 1 ≤ 2r – 1

⇒ 9(2q − 1)² ≤ (2r−1)(2q−1)

⇔ 9 ≤ (2q−1)² ≤ 325

⇔ 3 ≤ 2q – 1 ≤ 18

Do 2q - 1 là ước của 5².13 nên 2q - 1 ∈{5;13}

Nếu 2q – 1 = 5 ⇔ q = 3 ⇒ r = 33 (loại)

Nếu 2q – 1 = 13 ⇔ q = 7 ⇒ r = 13 (thỏa mãn)

pqr = p + q + r + 160

⇔ p(qr - 1) – q – r = 160

⇔ (qr - 1)(p - 1) + pr – 1 – q – r = 160

⇔ (qr - 1)(p - 1) + q(r - 1) - (r - 1) – 2 = 160

⇔ (qr - 1)(p - 1) + (q - 1)(r - 1) = 162

Nếu p lẻ ⇒ q, r  lẻ ⇒ (qr - 1)(p - 1)(r - 1) chia hết cho 4

mà 162 không chia hết cho 4 ⇒ Vô lý

Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là (2;7;13) và các hoán vị

Lời giải:

Ta có:

sinx = cosx

⇔ sinx = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \left( L \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà x ∈ [-π; π] nên \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \)

Hay: \[ - \frac{{5\pi }}{4} \le k\pi \le \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow - \frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = - 1\\k = 0\end{array} \right.\]

Suy ra ta có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4}\\x = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

Lời giải:

 

Gọi H là trung điểm BC

G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra: \(\frac{{AG}}{{GH}} = 2\)

Xét tam giác ABH có: GM // BC hay GM // BH

⇒\(\frac{{AG}}{{GH}} = \frac{{AM}}{{BM}} = 2 \Rightarrow \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác ABH có NM // AG hay NM // AH

⇒\(\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{BN}}{{NH}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BN}}{{BH}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(BH = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{6}\)

Lời giải:

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) (x > 38)

Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe đạp khởi hành đến khi về A là:

18 + 18 – 6 = 30 (km)

Thời gian ô tô đi hết và về tính từ lúc khởi hành là \(\frac{{30}}{x}\) giờ

Vận tốc của xe đạp là: \(x - 38\left( {km/h} \right)\)

Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB là \(\frac{{18}}{{x - 38}}\) giờ

Vì tổng thời gian cả đi lẫn về của ô tô ít hơn xe đạp là 54 phút = \(\frac{9}{{10}}\) giờ nên ta có:

\(\frac{{18}}{{x - 38}} - \frac{{30}}{x} = \frac{9}{{10}}\)

⇔ 9x² – 222x – 11400 = 0

 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = \frac{{ - 76}}{3}\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy vận tốc xe đạp là: 50 – 38 = 12 (km/h)

Lời giải:

a) Để tạo thành một số lẻ, chữ số cuối cùng phải là số lẻ. Trong số 118252018, chữ số cuối cùng là 8 (số chẵn). Do đó, ta cần thay thế chữ số 8 bằng một trong các chữ số lẻ có trong tập hợp thẻ: 1, 2, 5. Chỉ có chữ số 1, 5 và 3 là số lẻ. Vì vậy, ta có thể lấy ra tấm thẻ số 8 và thay thế bằng tấm thẻ số 1, 3 hoặc 5 để tạo thành số lẻ.

Đáp án: 118252011, 118252013, 118252015

b) Để làm tròn số đến hàng trăm nghìn và được 11 900 000, ta cần xem xét chữ số ở hàng chục nghìn. Nếu chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 5, ta giữ nguyên chữ số hàng trăm nghìn và thay các chữ số phía sau bằng 0. Nếu chữ số hàng chục nghìn lớn hơn hoặc bằng 5, ta tăng chữ số hàng trăm nghìn lên 1 đơn vị và thay các chữ số phía sau bằng 0.

Số ban đầu là 118252018. Chữ số hàng chục nghìn là 2 (nhỏ hơn 5). Để làm tròn lên 11 900 000, ta cần thay chữ số 8 ở hàng đơn vị bằng một chữ số sao cho khi làm tròn đến hàng trăm nghìn, kết quả là 11 900 000. Điều này có nghĩa là chữ số ở hàng chục nghìn phải tăng lên thành 5 hoặc lớn hơn. Do đó, ta cần thay thế thẻ số 2 bằng thẻ số 5 hoặc lớn hơn. Tuy nhiên, trong các thẻ chỉ có số 5.

Đáp án: 118552018

Lời giải:

\(\frac{{65}}{{90}} = \frac{{65:5}}{{90:5}} = \frac{{13}}{{18}}\)

a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ

Khi đó: \(BJ = \frac{{MN}}{2}\)

Tương tự: \(DK = \frac{{PQ}}{2};IJ = \frac{{QM}}{2};IK = \frac{{PN}}{2}\)

Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD

Do đó:

S_ABCD = \(\frac{{AC}}{2}.BD \le \frac{{AC}}{2}\left( {BJ + JI + IK + KD} \right) = \frac{{AC}}{4}\left( {MN + NP + PQ + QM} \right)\)

b) Chu vi tứ giác MNPQ là: MN + NP + PQ + QM

= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)

Dấu “=” xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ // NP, MN // PQ, MN = PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau)

Khi đó MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

sin4x = – cos2x

⇔ sin4x + cos2x = 0

⇔ 2sin2xcos2x + cos2x = 0

⇔ cos2x(2sin2x + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\\sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)

Lời giải:

Ta có: x∈\(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\)

⇒\(0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6}\)

⇒\( - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1\)

⇒\( - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1\)

⇒\( - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}\)

Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{2}; - \frac{2}{7}} \right]\)

Lời giải:

Ta có: \(\sin A + \sin B = 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\)

Ta dễ dàng chứng minh được: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right);\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \ge 0\)

Suy ra: \(\sin A + \sin B \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\)

Xét: \(A + \sin \frac{\pi }{3} = \sin A + \sin B + \sin C + \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\sin \left( {\frac{{C + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right) \le 4\sin \left( {\frac{{A + B + C + \frac{\pi }{3}}}{4}} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 \)

Vậy \(A \le 2\sqrt 3 - \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

GTLN của A là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) khi tam giác ABC vuông cân.

Lời giải:

Khẳng định “Số 0 vừa là số hữu tỉ vừa là số vô tỉ” là sai

Số 0 là số hữu tỉ và không là số vô tỉ. 

Lời giải:

Vì đề bài yêu cầu lập số chẵn lên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn

+ Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn 1,3,5 hoặc chữ số chẵn còn lại)

+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số hàng chục (là chọn 1 trong những số còn lại)

Vậy có tất cả: 2 . 4 . 3 = 24 (số)

Lời giải:

Ta có: 64 = 4³

Nên số có thể viết được dưới dạng lập phương của một số tự nhiên là 64.

Lời giải:

53 là số nguyên tố nên nó chia hết cho 1 và chính nó.

Lời giải:

Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. 

Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3. 

Do đó số chia hết cho 3 và 5 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. 

Vậy một số có hai chữ số thỏa mãn số đó chia hết cho 3 và 5 là: 15; 30; 45; 60; 75; 90. Có tổng cộng 6 số.

Lời giải:

Vì số đó chia 3 dư 1 nên ta giả sử số đó có dạng 3k + 1 (k là số nguyên)

Mà số đó là số chẵn nên k lẻ

Gọi k = 2m + 1 (m là số nguyên)

Ta có: 3k + 1 = 3(2m + 1) + 1 = 6m + 3 + 1 = 6m + 4

Vậy số đó chia 6 dư 4

Lời giải:

- Dấu hiệu 1: Phương pháp cắt giảm

Để nhận biết một số có thể chia hết cho 7, ta cắt giảm chữ số cuối cùng đi một số, nhân đôi số đó và lấy số đã cắt giảm trừ đi số đã nhân đôi. Tiếp tục lặp lại quá trình này cho đến khi thu được một số có thể chia hết cho 7 (như 14, 7, 0, -7, v.v…). Nếu số gốc sau các bước trên chia hết cho 7, thì số đó cũng chia hết cho 7.

- Dấu hiệu 2: Phương pháp nhân và cộng:

Lấy chữ số đầu tiên của số gốc nhân với 3, sau đó cộng thêm chữ số tiếp theo. Tiếp tục nhân kết quả mới được với 3 và cộng thêm chữ số tiếp theo. Lặp lại quá trình này cho đến chữ số cuối cùng của số. Nếu kết quả cuối cùng chia hết cho 7, thì số đó chia hết cho 7.

- Dấu hiệu 3: Phương pháp nhân và trừ

Lấy chữ số đầu tiên bên phải của số gốc nhân với 5, sau đó cộng với chữ số thứ hai và trừ đi một bội số của 7. Tiếp tục nhân kết quả mới được với 5, cộng với chữ số tiếp theo và trừ đi một bội số của 7. Lặp lại quá trình này cho đến chữ số cuối cùng của số. Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7, thì số đó chia hết cho 7.

Lời giải:

Ta có:

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

Các số chính phương có 3 chữ số < 200 là: 100; 121; 144; 169; 196

Lời giải:

Ta có: 245 = 13 . 18 + 11

Phép tính này cho thấy khi chia 245 cho 13, ta được thương là 18 và số dư là 11.

Đáp số: 11

Lời giải:

Ta có ĐTHS f(x) đi qua (1;0) suy ra a = -1.Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\) suy ra hàm số đồng biến trên [0;3]

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{3}\) khi x = 3

d) Đúng

Ta đi tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số f(x)

Do x nguyên nên f(x) = \(1 - \frac{2}{{x + 1}} \in \mathbb{Z}\) khi x + 1 ∈ {-2;-1;1;2}

Ta có bảng:

Suy ra ĐTHS f(x) có 4 điểm có tọa độ nguyên

Vậy có \(C_4^2 = 6\) đường thẳng cắt ĐTHS f(x) tại điểm có tọa độ nguyên.

Lời giải:

Gọi x là số học sinh khối lớp 6 của trường (học sinh; x ∈ N, 200 ≤ x ≤ 300)

Khi xếp thành hàng 10 thừa 5 em thì x chia 10 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 10

Khi xếp thành hàng 12 thừa 5 em thì x chia 12 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 12

Khi xếp thành hàng 15 thừa 5 em thì x chia 15 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 15

Do đó (x – 5) là bội chung của 10; 12 và 15

Ta có: 10 = 2. 5;    12 = 2².3;    15 = 3. 5

BCNN(10; 12; 15) = 2².3.5 = 60

Khi đó (x – 5) ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;…}

Ta có bảng sau:

x – 5	0	60	120	240	300	360
x	5	65	125	245	305	365

Vì số học sinh trong trường khoảng từ 200 đến 300 học sinh nên 200 ≤ x ≤ 300. 

Do đó x = 245

Vậy số học sinh trong trường là 245 em.

Lời giải:

Gọi số học sinh là a (bạn)

Vì a chia cho 12;15;18 đều dư 9 nên a - 9 chia hết cho 12;15;18 suy ra a - 9 thuộc BC(12,15,18)

Ta có: 12 = 2² . 3

15 = 3 . 5

18 = 2 . 3²

⇒ BCNN(12, 15, 18) = 2² . 3² . 5 = 180

⇒ BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540;...}

Mà số học sinh 300 < a < 400 nên a - 9 = 360

Vậy a = 360 + 9 = 369 (bạn)

Lời giải:

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.

Tức số âm sẽ không có căn bậc hai.

Lời giải:

XIX = X + IX = 10 + 9 = 19

Vậy XIX = 19.

Lời giải:

Số liền trước số 900 là: 899

Số lớn nhất có 2 chữ số là: 99

Hiệu 2 số là:

899 – 99 = 800 

Đáp số: 800

Lời giải:

Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime) nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. 

Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3.

Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên.

Nhưng cũng có những trường hợp đặc biệt, hợp số là số nguyên tố cùng nhau.

VD: 6 và 25 tuy là hợp số nhưng chúng có Ước chung lớn nhất là 1 nên chúng là những số nguyên tố cùng nhau

Phân biệt với chữ số đôi một khác nhau là một nhóm các chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại. Ví dụ: 123456.

Lời giải:

- Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.

Kí hiệu là: ℤ

Lời giải:

Các số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 thì có dư là 1 hoặc 2

Ví dụ: 5 : 3 dư 2

7 : 3 dư 1.

Lời giải:

\(A = \frac{{{{10}^{2024}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2023}} + 1}} - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} = 1 - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}}\)

\[A = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2022}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2022}} + 1}} - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}} = 1 - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\]

Vì \(\frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} < \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\) nên \(1 - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} > 1 - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\) hay A > B

Vậy A > B

Lời giải:

Ta có: B = 3¹⁰⁰ = 3⁹⁸⁺² = 3⁹⁸ . 3² = 3⁹⁸ . 9

Vì 10 > 9 nên 10.3⁹⁸ > 9.3⁹⁸

Vậy A > B.

Lời giải:

2¹⁰ = 1024 > 1000

Lời giải:

2019.2021 = (2020 + 1). 2019 = 2019.2010 + 2019

2010² = (2019 + 1) . 2020 = 2019 . 2020 + 2020

2019.2020 + 2019 < 2019.2020 + 2020

Nên: 2019 . 2021 < 2020²

Lời giải:

21¹⁵ = 3¹⁵ . 7¹⁵

27⁵ . 49⁸ = (3³)⁵ . (7²)⁸ = 3¹⁵ . 7¹⁶

Vì 7¹⁶ > 7¹⁵ nên 3¹⁵ . 7¹⁶ > 3¹⁵ . 7¹⁵ hay 27⁵ . 49⁸ > 21¹⁵

Lời giải:

Ta có: 3⁹⁹ = (3³³)³ = [(3³)¹¹]³ = (27¹¹)³.

Lại có: 11²¹ = (11⁷)³

Vì 27¹¹ > 27⁷ > 11⁷

Suy ra: 27¹¹ > 11⁷

Do đó (27¹¹)³ > (11⁷)³

Vậy 3⁹⁹ > 11²¹.

Lời giải:

3¹⁹⁹⁴ + 3¹⁹⁹³ – 3¹⁹⁹² = 3¹⁹⁹² (3² + 3 – 1) = 3¹⁹⁹². 11

9⁹⁹⁶ = (3²)⁹⁹⁶ = 3¹⁹⁹²

Vì 3¹⁹⁹². 11 > 3¹⁹⁹² nên 3¹⁹⁹⁴ + 3¹⁹⁹³ – 3¹⁹⁹² > 9⁹⁹⁶

Lời giải:

5³⁰⁰ = (5²)¹⁵⁰ = 25¹⁵⁰ < 27¹⁵⁰ = (3³)¹⁵⁰ = 3⁴⁵⁰ < 3⁴⁵³

Vậy 5³⁰⁰ < 3⁴⁵³

Lời giải:

5³⁶ = 5^3.12 = (5³)¹² = 125¹²

11²⁴ = 11^2.12 = (11²)¹² = 121¹²

Ta thấy 125¹² > 121¹² nên 5³⁶ > 11²⁴

Lời giải:

99⁹⁹ – 99⁹⁸ = 99⁹⁸(9 – 1) = 99⁹⁸.8

99¹⁰⁰ – 99⁹⁹ = 99⁹⁸(9² – 9) = 99⁹⁸.72

Vì 72 > 8 nên 99⁹⁸.72 > 99⁹⁸.8

Vậy 99¹⁰⁰ – 99⁹⁹ > 99⁹⁹ – 99⁹⁸

Lời giải:

\(B = \left( {\frac{1}{4} - 1} \right)\left( {\frac{1}{9} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{{100}} - 1} \right)\)

\(B = - \frac{3}{4}. - \frac{8}{9}... - \frac{{99}}{{100}}\)

\(B = - \frac{{3.8...99}}{{4.9...100}}\)

\(B = - \frac{{1.3.2.4...9.11}}{{2.2.3.3...10.10}}\)

\(B = - \frac{{\left( {1.2.3...9} \right).\left( {3.4....11} \right)}}{{\left( {2.3...10} \right).\left( {2.3...10} \right)}}\)

\(B = - \frac{{1.11}}{{10.2}} = - \frac{{11}}{{20}} < - \frac{{11}}{{21}}\)

Vậy \(B < - \frac{{11}}{{21}}\)

Lời giải:

\(\frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

\(\frac{{n + 3}}{{n + 4}} = \frac{{n + 4 - 1}}{{n + 4}} = 1 - \frac{1}{{n + 4}}\)

Vì \(\frac{1}{{n + 4}} < \frac{1}{{n + 2}} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 4}} > 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

Vậy \(\frac{{n + 3}}{{n + 4}} > \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)

Lời giải:

ĐKXĐ: a > 0; a ≠ 1.

a) \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)

\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}:\frac{{a - 1 - a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}:\frac{3}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}.\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{3}\)

\(P = \frac{{\sqrt a - 2}}{{3\sqrt a }}\)

b) Xét

Vậy \(P < \frac{1}{3}\)

Lời giải:

Số số hạng là số lượng các số xuất hiện trong một dãy số hoặc một tổng.

Ví dụ: Cho dãy số: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ….. ; 2018. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

Thì cách giải như sau:

Số số hạng của dãy số = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Áp dụng vào bài toán ta được:

Số số hạng của dãy số đó là

(2018 – 2) : 2 + 1 = 1009 (số hạng)

Lời giải:

Công thức tinh số tập hợp con :

+) Tập hợp chính gồm n phần tử 

    Số tập hợp con gồm : 2ⁿ tập hợp

+) Ví dụ : Tập hợp A = { 1 ; 2; 3; 4 } gồm 4 phần tử nên số tập hợp con có là : 2⁴ = 16 ( tập hợp )

+) Số tập hợp con là số tập hợp được lập mà mỗi tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp chính. Cách tìm như trên. 

Lời giải:

Đúng

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ) là số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của chúng không có một chu kì, quy luật nào cả.

Lời giải:

Các số tròn trục có 4 chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 6 là:

1050; 1140; 1230; 1320; 1410; 1500; 2040

2130; 2220; 2310; 2400; 3030; 3120; 3210

3300; 4020; 4110; 4200; 5010; 5100; 6000

Lời giải:

Các số tròn chục có 4 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 6 là:

1320, 1230, 2130, 2310, 3120, 3210

Lời giải:

a)

 

b) Mười nghìn: 10 000

Hai mươi nghìn: 20 000

Ba mươi nghìn: 30 000

Bốn mươi nghìn: 40 000

Năm mươi nghìn: 50 000

Sáu mươi nghìn: 60 000

Bảy mươi nghìn: 70 000

Tám mươi nghìn: 80 000

Chín mươi nghìn: 90 000

Một trăm nghìn: 100 000

Lời giải:

Số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số khác nhau là : 1023456789

Lời giải:

Để được số bé nhất thì chữ số hàng chục nghìn bằng 1, chữ số hàng đơn vị là 8

Số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 100 000 008.

Lời giải:

a) Số tự nhiên bé nhất mà lớn hơn 2024,09 là: 2025

b) Số tự nhiên lớn nhất mà bé hơn 2024,99 là: 2024

Lời giải:

Số 0 là số tự nhiên.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Theo giả thiết có: x³ = 5³ ⇒ x = 5

Lời giải:

Ta có: 756 = 2² . 3² . 7

Số ước dương của 756 là:

(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 (ước)

Lời giải:

Ta có: \[D = \left| \begin{array}{l}m + 1\,\,\,\,\,\,8\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m + 3\end{array} \right| = \left( {m + 1} \right)\left( {m + 3} \right) - 8m = {m^2} - 4m + 3\]

Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0

⇒ m² – 4m + 3 ≠ 0

⇒ m ≠ 1 và m ≠ 3

Lời giải:

Diện tích tấm bìa hình vuông là:

1 . 1 = 1(m²)

Diện tích những tam giác vuông nhỏ khi được cắt là:

10.20 = 200(cm²) = 0,02 (m²)

Số hình tam giác vuông cắt được là:

1 : 0,02 = 50 (hình)

Lời giải:

 

\(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB}}{3} = x \Rightarrow AC = 4x,AB = 3x\left( {x > 0} \right)\)

Áp dụng định lí Pytago ta có:

AB² + AC² = BC²

⇔ 9x² + 16x² = BC²

⇔ 25x² = BC²

Suy ra: BC = 5x

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

AH.BC = AB.AC

⇔ 4,8.5x = 3x.4x

⇔ x = 2

Vậy AB = 6; AC = 8; BC = 10

Lại có AB² = HB.BC ⇒ \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = 3,6\)

HC =BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4

Lời giải:

Ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

⇒ \(\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{a}{b} = 2;\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{b}{c} = \frac{3}{2}\)

Hay a = 2b; 2b = 3c

Suy ra: a = 2b = 3c

Vậy a = 2b = 3c.

Lời giải:

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2 \Rightarrow \sin \alpha = 2\cos \alpha \)

Mà sin²α + cos²α = 1

Khi đó ta có:

(2cosα)² + cos²α = 1

⇔ 5cos²α = 1

⇔\[co{s^2}\alpha = \frac{1}{5}\]

⇔\[cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]

Suy ra: \(\sin \alpha = 2\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Lời giải:

\(\tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

⇔\(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Với 0 < x < 2π thì \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3}\\x = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)

Vậy các điểm trên đường tròn thỏa mãn là F và D

Lời giải:

Ta có công thức: tanx . cotx = 1

Suy ra: tan82°.cot82° = 1

Lời giải:

\(\tan \left( {a + b} \right) = \tan \frac{\pi }{4} = 1\)

⇒\(\frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 1\)

⇔\(\tan a + \tan b = 1 - \tan a.\tan b = 1 - \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = - 2 + 2\sqrt 2 \)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan a + \tan b = - 2 + 2\sqrt 2 \\\tan a.\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Áp dụng Viet đảo ta có tana, tan b là nghiệm của phương trình

\({X^2} + \left( {2 - 2\sqrt 2 } \right)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)

Giải ra ta được tana = tanb = \( - 1 + \sqrt 2 \)

Suy ra: \(a = b = 22,5^\circ \)

Lời giải:

Lũy thừa tầng (còn gọi là tetration) là một phép toán lũy thừa được lặp lại nhiều lần theo cấp số mũ, thay vì nhân hoặc cộng lặp đi lặp lại.

Ví dụ: \({2^{{2^3}}} = {2^{\left( {{2^3}} \right)}} = {2^8}\)

Lời giải:

phương trình tanx = m, chúng ta phải chú ý đến điều kiện để hàm số có nghĩa. Sau khi giải ra nghiệm của phương trình, chúng ta cần phải xét với điều kiện ban đầu. Chính vì thế, việc kết hợp nghiệm là một việc mà chúng ta thường xuyên phải thực hiện.

Để hàm số tanx = m có nghĩa thì cosx ≠ 0 hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

T = tanα.5cotα

T = 5.(tanα.cotα)

T = 5.1

T = 5

Lời giải:

\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)

⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y

⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y

⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)

Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)² + (2y – 1)² ≥ 16y²

⇔ 16y² – 8y + 5 ≤ 0

⇔\(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)

Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)

Lời giải:

A = {x ∈ ℕ^*| x < 12}

A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}

Lời giải:

Trong toán học, tham số là các giá trị có thể giữ nguyên hoặc thay đổi trong các công thức và hàm số, ảnh hưởng đến cách mà các biến tương tác và kết quả của các phép toán. Chúng cho phép chúng ta điều chỉnh và nghiên cứu các hình dạng và đặc điểm của các biểu thức toán học.

Ví dụ, xét phương trình đường thẳng y = mx + b:

• m là tham số xác định độ nghiêng của đường thẳng, biểu thị mức độ thay đổi của y khi x thay đổi. Giá trị của m quyết định độ dốc và hướng của đường thẳng.
• b là tham số thể hiện điểm giao của đường thẳng với trục tung (trục y). Giá trị của b xác định vị trí mà đường thẳng cắt trục y, tức là giá trị của y khi x=0

Khi thay đổi giá trị của m và b, hình dạng và vị trí của đường thẳng sẽ thay đổi theo, tạo ra nhiều khả năng khác nhau.

Với hình hộp chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b, chiều cao là h. Công thức tính thể tích là: V = a . b . h

Lời giải:

Thể tích của phần nước đá chiếm chỗ đúng bằng thể tích của nước trong cốc nhận được khi nước đá tan hết.

Do đó mực nước trong cốc không thay đổi.

Lời giải:

Khi rót từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu 2 thùng không đổi, là 280 lít 

Số lít dầu thùng 2 lúc này:

(280 + 16) : 2 = 148 (lít)

Số lít dầu thùng 2 ban đầu:

148 – 25 = 123 (lít)

Số lít dầu thùng 1 ban đầu:

280 – 123 = 157  (lít)

Lời giải:

Giả sử 8 số đó là: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15

Tích 8 chữ số đó là: 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 . 15 = 2027025

Vậy chữ số tận cùng là 5.

Lời giải:

Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là 0; 1; 2; ...; 999

Tích các số đó là 0 . 1 . 2 . ... . 999 = 0 (vì số nào nhân với 0 cũng bằng 0)

Lời giải:

- Cần nắm thế nào là tích riêng thứ nhất, thứ hai …..

- Khi đặt các tích riêng sai vị trí thì mỗi tích riêng thay đổi ra sao bị lệch 1,2,3… hàng so với tích đúng về bên nào:

- Lệch sai 1, 2, 3 … hàng về bên trái thì tích riêng gấp 10, 100, 1000…. lần

- Lệch sai 1, 2, 3 …. hàng về bên phải thì tích riêng giảm 10, 100, 1000…. lần. Sau đó dựa vào kết quả để tính toán.

Ví dụ 1:

Khi nhân một số tự nhiên với 98, một bạn học sinh đã sơ ý đặt hai tích riêng thẳng cột với nhau. Vì vậy tìm được kết quả là 4709. Tìm phép tính đúng.

Phân tích: Cần nắm thế nào là tích riêng

Tích riêng thứ nhất: Thừa số thứ nhất × 8

Tích riêng thứ hai: Thừa số thứ nhất × 9

Khi thực hiện phép tính đúng là tích riêng thứ hai phải đặt lùi vào một hàng. Khi đặt thẳng cột tức là đã làm một phép cộng thông thường, hay là đã lấy thừa số thứ nhất × 8 + thừa số thứ nhất × 9 được kết quả là 4709.

Bài giải:

Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau tức là lấy số thứ nhất nhân với 8 và 9 rồi cộng hai kết quả với nhau. Hay là bạn đó đã nhân thừa số thứ nhất với: 9 + 8 = 17

Thừa số thứ nhất là: 4709 : 17 = 277

Tích đúng là: 277 x 98 = 27146

Đáp số: 27146

Lời giải:

Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ:

+ Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a thì b đi qua M và song song với a là duy nhất.

Chú ý: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Lời giải:

ĐKXĐ: \(2\cos x + \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\frac{{\sin x - m}}{{2\cos x + \sqrt 3 }} = 0\)

⇔ sinx – m = 0

⇔ sinx = m (*)

Để \(x \in \left( {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) thì sin\(x \in \left( {0;1} \right]\) suy ra m ∈ (0;1]

Tuy nhiên với m = 1 thì phương trình sinx = 1 chỉ có 1 nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\) trong khoảng \(\left( {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\), nên ta loại m = 1

Vậy giá trị cần tìm của m là 0 < m < 1.

Lời giải:

 

Trong mp(BCD) gọi I = FG ∩ BD

Trong mp (ADB) gọi H = IE ∩ AD

Khi đó HG = (EFG) ∩ (ACD)

Áp dụng định lí menelaus cho tam giác BCD với 3 giao điểm I, G, F thẳng hàng ta có:

\(\frac{{ID}}{{IB}}.\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{GC}}{{GD}} = 1 \Rightarrow \frac{{ID}}{{IB}} = \frac{1}{4}\)

Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng I, H, E thẳng hàng ta có:

\(\frac{{HD}}{{HA}}.\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{IB}}{{ID}} = 1 \Rightarrow \frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow HD = \frac{a}{5}\)

Xét tam giác HDG:

\(H{G^2} = H{D^2} + D{G^2} - 2.DH.DG.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{9} - \frac{{{a^2}}}{{15}} = \frac{{19{a^2}}}{{225}}\)

Suy ra: \(HG = \frac{{\sqrt {19} }}{{15}}a\)