10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 14

Lời giải:

\[5\frac{{14}}{{17}} \cdot \left( { - 3\frac{1}{4}} \right) + 6\frac{3}{{17}} \cdot \left( { - 3\frac{1}{4}} \right)\]

\[ = \left( { - 3\frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {5\frac{{14}}{{17}} + 6\frac{3}{{17}}} \right)\]

\[ =  - \frac{{13}}{4} \cdot \left( {5 + \frac{{14}}{{17}} + 6 + \frac{3}{{17}}} \right)\]

\[ =  - \frac{{13}}{4} \cdot \left( {11 + 1} \right)\]

\[ =  - \frac{{13}}{4} \cdot 12 =  - 39\]

Lời giải:

1 tấn = 1000kg

5 tấn 25 kg = 5000kg + 25kg = 5025kg.

Lời giải:

5% của 1000 là:

1000 × 5 : 100 = 50.

Lời giải:

1 km = 1000 m

5,38km = 5380 m.

Lời giải:

Ta có: \[\frac{5}{8} = \frac{{5 \times 125}}{{8 \times 125}} = \frac{{625}}{{1000}} = 0,625.\]

Lời giải:

5^x + 5^{x + 1} = 150

5^x + 5^x.5 = 150

5^x(1 + 5) = 150

5^x.6 = 150

5^x = 150 : 6

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2

Vậy x = 2.

Lời giải:

\[{5^{x + 3}} + \frac{5}{6} \cdot {5^{x + 4}} = \frac{{275}}{2}\]

\[{5^{x + 3}} + \frac{5}{6} \cdot {5^{x + 3}} \cdot 5 = \frac{{275}}{2}\]

\[{5^{x + 3}} \cdot \left( {1 + \frac{5}{6} \cdot 5} \right) = \frac{{275}}{2}\]

\[{5^{x + 3}} \cdot \frac{{31}}{6} = \frac{{275}}{2}\]

\[{5^{x + 3}} = \frac{{275}}{2}:\frac{{31}}{6}\]

\[{5^{x + 3}} = \frac{{825}}{{31}}\] (vô lí)

Vậy không có giá trị x thỏa mãn.

Lời giải:

Ta có: 500 : 25 = 10.

Lời giải:

8% của 50000 là:

50000 × 8 : 100 = 4000.

Lời giải:

Ta có: 50000 : 1000 = 50.

Lời giải:

Cách 1: Giải bằng hai phép tính

Số áo sơ mi xí nghiệp đã bán là:

28 000 + 17 000 = 45 000 (áo)

Số áo sơ mi xí nghiệp còn lại là:

50 000 ‒ 45 000 = 5 000 (áo).

Đáp số: 5 000 cái áo.

Cách 2: Giải bằng một phép tính

Số áo sơ mi xí nghiệp còn lại là:

50 000 ‒ (28 000 + 17 000) = 5 000 (áo).

Đáp số: 5 000 áo.

Lời giải:

5¹³ : 5¹⁰ + 25.2²

= 5³ + 25.2²

= 125 + 25.4

= 125 + 100

= 225.

Lời giải:

526 ‒ 131 ‒ 326 + 321

= (526 ‒ 326) + (321 ‒ 131)

= 200 + 190

= 390.

Lời giải:

Ta có: 526 ‒ 326 = 200.

Lời giải:

Ta có: 54 × 25 = 1350.

Lời giải:

1 dm² = 100 cm²

54 dm² 7 cm² = 54 × 100 cm² + 7 cm² = 5400 cm² + 7 cm² = 5407 cm².

Lời giải:

Để 548* chia hết cho 5 thì số cần tìm phải có tận cùng là 0 hoặc 5

Xét số 5480 có tổng các chữ số 5 + 4 + 8 + 0 = 17 không chia hết cho 3 nên 5480 không chia hết cho 3.

Xét số 5485 có tổng các chữ số 5+ 4 + 8 + 5 = 22 không chia hết cho 3 nên 5485 không chia hết cho 3.

Vậy không tồn tại chữ số * thỏa mãn để 548* chia hết cho 3 và 5.

Lời giải:

Ta có: 56 ‒ 17 = 39.

Lời giải:

Ta có: 560 × 55 = 30800.

Lời giải:

57 + (‒37) + 43 + 37 + (‒400)

= 57 ‒ 37 + 43 + 37 ‒ 400

= 100 ‒ 400

= ‒300.

Lời giải:

Ta có: 57 × 6 = 342.

Lời giải:

Ta có: 57 × 9 = 513.

Lời giải:

\[\frac{1}{{10}} - \left( {x - \frac{3}{{25}}} \right) = \frac{1}{{50}}\]

\[x - \frac{3}{{25}} = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{50}}\]

\[x - \frac{3}{{25}} = \frac{2}{{25}}\]

\[x = \frac{2}{{25}} + \frac{3}{{25}}\]

\[x = \frac{1}{5}\]

Vậy \[x = \frac{1}{5}\].

Lời giải:

1 m = 10 dm

1 cm = 0,1 dm

5m 3 cm = 50 dm + 0,3 dm = 50,3 dm.

Lời giải:

5x + 25 = 125

5x = 125 ‒ 25

5x = 100

x = 20

Vậy x = 20.

Lời giải:

\[\left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 26\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + \left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) = 11\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Phương trình (2) viết lại như sau:

3x + 2x² ‒ 2xy + xy ‒ y² = 11

2x² ‒ xy ‒ y² + 3x = 11

4x² ‒ 2xy ‒ 2y² + 6x = 22.

Cộng từng vế của phương trình trên với phương trình (1) ta được:

(5x² + 2y² + 2xy) + (4x² ‒ 2xy ‒ 2y² + 6x) = 26 + 22

9x² + 6x = 48

9x² – 18x + 24x – 48 = 0

9x(x – 2) + 24(x – 2) = 0

(x – 2)(9x + 24) = 0

x – 2 = 0 hoặc 9x + 24 = 0

x = 2 hoặc \(x =  - \frac{8}{3}.\)

⦁ Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được:

5.2² + 2y² + 2.2.y = 26

20 + 2y² + 4y = 26

2y² + 4y ‒ 6 = 0

y = 1 hoặc y = ‒3.

Do đó các cặp số (2; 1); (2; ‒3) là nghiệm của hệ phương trình.

⦁ Thay \(x =  - \frac{8}{3}\) vào phương trình (1) ta được:

\[5 \cdot {\left( { - \frac{8}{3}} \right)^2} + 2{y^2} + 2 \cdot \left( { - \frac{8}{3}} \right) \cdot y = 26\]

\[\frac{{320}}{9} + 2{y^2} - \frac{{16}}{3}y = 26\]

18y² – 48y + 86 = 0 (phương trình vô nghiệm).

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (2; 1), (2; ‒3).

Lời giải:

Tổng trên có số các số hạng là:

(46 ‒ 2) : 4 + 1 = 12(số)

Tổng của số cuối và số đầu là:

46 + 2 = 48

Tổng trên có số các cặp số có tổng là 48 là:

12 : 2 = 6 (cặp)

Kết quả của tổng trên là: 48 × 6 = 288.

Lời giải:

Ta có: 6 × 150000 = 900000.

Lời giải:

Ta có: 6,84 ‒ 6,48 = 0,36.

Lời giải:

\[\frac{{{6^8} \cdot {2^4} - {4^5} \cdot {{18}^4}}}{{{{27}^3} \cdot {8^4} - {3^9} \cdot {2^{13}}}}\]

\[ = \frac{{{2^8} \cdot {3^8} \cdot {2^4} - {2^{2 \cdot 5}} \cdot {3^{2 \cdot 4}} \cdot {2^4}}}{{{3^{3 \cdot 3}} \cdot {2^{3 \cdot 4}} - {3^9} \cdot {2^{13}}}}\]

\[ = \frac{{{2^{12}} \cdot {3^8} - {2^{14}} \cdot {3^8}}}{{{3^9} \cdot {2^{12}} - {3^9} \cdot {2^{13}}}}\]

\[ = \frac{{{2^{12}} \cdot {3^8}\left( {1 - {2^2}} \right)}}{{{3^9} \cdot {2^{12}} \cdot \left( {1 - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{3^8} \cdot \left( { - 3} \right)}}{{3 \cdot \left( { - 1} \right)}} = {3^8}.\]

Lời giải:

Ta có: 60 × 8 = 480.

Lời giải:

Tiền vốn là: 6000000 : 12 × 100 = 50000000.

Lời giải:

Ta có: \[62,5\%  = \frac{{62,5}}{{100}} = \frac{{625}}{{1000}} = \frac{5}{8}.\]

Lời giải:

Ta có: 62000 ‒ 12000 = 50000.

Lời giải:

Ta có: 63 : 4 = 15 dư 3.

Lời giải:

Ta có: 64 ‒ 32 = 32.

Lời giải:

\[64 \times 30\%  + 64 \times \frac{7}{{10}}\]

= (0,3 + 0,7) × 64

= 1 × 64 = 64.

Lời giải:

Ta có: 65 × 25 = 1625.

Lời giải:

1kg = 1000g

Vậy 650 g = 0,65 kg.

Lời giải:

Ta có số 35 678 913 làm tròn đấy hàng trăm nghìn được số: 35 700 000.

Lời giải:

Ta có: 68 : 7 = 7 dư 5.

Lời giải:

686 ‒ 14.19 ‒ 14.25

= 49.14 − 14.19 − 14.25

= 14.(49 − 14 − 25)

= 14.10

= 140.

Lời giải:

Ta có: 69 × 875 = 60375.

Lời giải:

1 000 000 m² = 1 km²

1 m² = 0,000001 km².

6 km² 4 0000 m² = 6 km² + 0,04 km² = 6,04 km².

Lời giải:

Ta có: \[\frac{{6x + 5}}{{2x + 1}} = \frac{{3\left( {2x + 1} \right) + 2}}{{2x + 1}} = 3 + \frac{2}{{2x + 1}}\] 

Với x nguyên, để \[\frac{{6x + 5}}{{2x + 1}}\] là số nguyên thì \[\frac{2}{{2x + 1}}\] nguyên, tức 2 ⋮ (2x + 1)

Do đó 2x + 1 ∈ Ư(2) = {−2; −1; 1; 2}.

Mà x nguyên nên 2x + 1 là số lẻ, suy ra 2x + 1 ∈ {−1; 1}.

Với 2x + 1 = ‒1 suy ra x = ‒1;

Với 2x + 1 = 1 suy ra x = 0.

Vậy x ∈ {−1; 0}.

Lời giải:

a) 7A = 7² + 7³ + ... + 7¹⁹⁹ + 7²⁰⁰

Suy ra 7A ‒ A = 7²⁰⁰ ‒7

Hay 6A = 7²⁰⁰ ‒ 7

Nên \[A = \frac{{{7^{200}} - 7}}{6}\].

b) Theo câu a, ta có 6A = 7²⁰⁰ ‒ 7

Theo bài, 6A + 7 = 7^{x + 2}

Suy ra 7²⁰⁰ – 7 + 7 = 7^x+2

7²⁰⁰  = 7^x+2

x + 2 = 200

x = 200 ‒ 2

x = 198.

Vậy x = 198.

Lời giải:

7^2x + 7^{2x + 3} = 344

7^2x + 7^2x .7³ = 344

7^2x (1 + 7³) = 344

7^2x.344 = 344

7^2x = 1

2x = 0

x = 0

Vậy x = 0.

Lời giải:

1 tạ = 100kg

Vậy 7 tạ 25kg = 7 tạ + \[\frac{{25}}{{100}}\]kg = 7 tạ + 0,25 tạ = 7,25 tạ.

Lời giải:

\[\frac{7}{6} \times \frac{5}{{12}} + \frac{7}{9} \times \frac{7}{6} - \frac{7}{6} \times \frac{{13}}{{36}}\]

\[ = \frac{7}{6} \times \left( {\frac{5}{{12}} + \frac{7}{9} - \frac{{13}}{{36}}} \right)\]

\[ = \frac{7}{6} \times \frac{5}{6}\]

\[ = \frac{{35}}{{36}}.\]

Lời giải:

\[\frac{{{7^{x + 2}} + {7^{x + 1}} + {7^x}}}{{57}} = \frac{{{5^{2x}} + {5^{2x + 1}} + {5^{2x + 3}}}}{{131}}\]

\[\frac{{{7^x} \cdot {7^2} + {7^x} \cdot 7 + {7^x}}}{{57}} = \frac{{{5^{2x}} + {5^{2x}} \cdot 5 + {5^{2x}} \cdot {5^3}}}{{131}}\]

\[\frac{{{7^x}\left( {{7^2} + 7 + 1} \right)}}{{57}} = \frac{{{5^{2x}}\left( {1 + 5 + {5^2}} \right)}}{{131}}\]

\[\frac{{{7^x} \cdot 57}}{{57}} = \frac{{{5^{2x}} \cdot 131}}{{131}}\]

7^x = 5^2x

x = 0

Vậy x = 0.

Lời giải:

Ta có: 700 × 25 = 17500.

Lời giải:

30% của 700 là:

700 × 30 : 100 = 210.

Lời giải:

\[\frac{9}{{14}} \times 70000 + 25000:\frac{5}{3}\]

\[ = 45000 + 25000 \times \frac{3}{5}\]

= 45000 + 15000

= 60000.

Lời giải:

Ta có: 72 : 6 = 12.

Lời giải:

1 giờ = 60 phút = 3600 giây

7200 giây \[ = \frac{{7200}}{{3600}}\] giờ = 2 giờ.

Lời giải:

745 ‒ 5(120 ‒ 75) ‒ 70

= 745 ‒ 5.45 ‒ 70

= 745 ‒ 225 ‒ 70

= 520 ‒ 70

= 450.

Lời giải:

Ta có: 75 × 84 = 6300.

Lời giải:

Ta có: 75 × 8 = 600.

Lời giải:

Ta có: 78 : 6 = 13.

Lời giải:

Ta có 7a + 2b chia hết cho 13

Suy ra 10(7a + 2b) chia hết cho 13, hay 70a + 20b chia hết cho 13

70a + 7b + 13b chia hết cho 13

7(10a + b) + 13b.

Vì 13b chia hết cho 13 nên 7(10a + b) cũng chia hết cho 13.

Lại có 7 và 13 có ước chung lớn nhất bằng 1

Suy ra 10a + b chia hết cho 13.

Lời giải:

Ta có:

1 m² = 100 dm²

1 dm² = 0,01 m²

7 dm² = 0,07 m².

Lời giải:

Do quên vở nên An phải đi thêm quãng đường là:

               400 × 2 = 800 (m)

 Thời gian An phải đi thêm là:

               7 giờ 15 phút ‒ 7 giờ = 15 phút

Trung bình An đi 1 giờ được quãng đường là:

               800 : 15 × 60 = 3200 (m) = 3,2 (km).

Lời giải:

Ta có: 1 km² = 1 000 000 m²

7 km² = 7 000 000 m².           

Lời giải:

Ta có 1 m² = 100 dm².

7 m² = 700 dm².

Lời giải:

Ta có: 1 dam² = 100 m²

8 dam² = 800 m².

Lời giải:

Ta có: 8 × 1,3 = 10,4.

Lời giải:

Ta có: 8 × 24 = 192.

Lời giải:

8,101 = 8,1010;

1,79 = 1,79000;

67 > 66,999.

Lời giải:

Ta có: 1 ha = 10 000 m²

1 m² = 0,0001 ha.

8000 m² = 0,8 ha.

Lời giải:

81 : (3 × 3)

= 81 : 9

= 9.

Lời giải:

812 × x + 188 × x = 10000

x × (812 + 188) = 10000

x × 1000 = 10000

x = 10000 : 1000

x = 10

Vậy x = 10.

Lời giải:

Ta có: 82,964 ≈ 83,0.

Lời giải:

Ta có: 864 × 3 = 2592.

Lời giải:

x : 56 = 87 ‒ 56

x : 56 = 42

x = 42 × 56

x = 2356

Vậy x = 2356.

Lời giải:

Ta có: 88 ‒ 56 = 32.

Lời giải:

8 m² 7 dm² = 8 m² + 0,07 m² = 8,07 m².

Lời giải:

Vì p là số nguyên tố và p > 3 suy ra p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.

Nếu p = 3k + 1 suy ra 8p + 1 = 8(3k + 1) + 1 = 24k + 8 + 1 = 24k + 9 = 3(8k + 3) chia hết cho 3.

Suy ra 8p + 1 là hợp số. Do đó trường hợp này không thỏa mãn.

Chứng tỏ p ≠ 3k + 1 nên p = 3k + 2.

Với p = 3k + 2 suy ra 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3(4k + 3) chia hết cho 3.

Suy ra 4p + 1 là hợp số.

Vậy 4p + 1 là hợp số.

Lời giải:

Ta có:

\[\frac{{90}}{{70}} = \frac{{90:10}}{{70:10}} = \frac{9}{7}\]

\[\frac{{72}}{{42}} = \frac{{72:6}}{{42:6}} = \frac{{12}}{7}\]

Lời giải:

Số chân của 9 con vịt là:

9 × 2 = 18 (chân).

Đáp số: 18 chân.

Lời giải:

\[B = \frac{9}{{1 \cdot 4}} + \frac{9}{{4 \cdot 7}} + ... + \frac{9}{{97 \cdot 100}}\]

\[ = 3 \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + ... + \frac{3}{{97 \cdot 100}}} \right)\]

\[ = 3\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{97}} - \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ = 3\left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ = 3 \cdot \frac{{99}}{{100}} = \frac{{297}}{{100}}.\]

Lời giải:

Ta có: 90 ‒ 35 = 55.

Lời giải:

Ta có: 93 ‒ 81 = 12.

Lời giải:

94,2 + y = 321,6 ‒ 19,25

94,2 + y = 302,35

y = 302,35 ‒ 94,2

y = 208,15

Vậy y = 208,15.

Lời giải:

Ta có: 942⁶⁰ ‒ 351³⁷ =  (942⁴)¹⁵ ‒ 351³⁷

Mà các số có tận cùng là 2; 4; 8 khi lũy thừa bậc 4n thì tận cùng là 6;

Và các số có tận cùng là 0; 1; 5; 6 thì lũy thừa bao nhiêu cũng tận cùng là 0; 1; 5; 6.

Suy ra (942⁴)¹⁵ có tận cùng là 6 và 351³⁷ có tận cùng là 1.

Vậy (942⁴)¹⁵ ‒ 351³⁷ = (...6) ‒ (...1) = (...5) chia hết cho 5.

Lời giải:

Ta có: \[\frac{{960}}{{50}} = \frac{{960:10}}{{50:10}} = \frac{{96}}{5}.\]

Lời giải:

Ta có: 990 × 2 = 1980.

Lời giải:

Ta có: 990 × 3 = 2700.

Lời giải:

Đặt A = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + ... + 93.95.97 + 95.97.99 

8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + ... + 93.95.97.8 + 95.97.99.8 

8A = 1.3.5.(1 + 7) + 3.5.7.(9 − 1) + ... + 95.97.99(101 − 93) 

8A = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 − 1.3.5.7 + ... + 95.97.99.101 − 93.95.97.99

8A = 15 + 95.97.99.101 

Suy ra \[A = \frac{{15 + 95 \cdot 97 \cdot 99 \cdot 101}}{8}\].

Lời giải:

Ta có các nhóm có  chữ số tận cùng là kết quả liên tiếp của các tích liên tiếp 

4; 6 (2 nhóm).

Mà 2024 : 2 = 1012 (dư 0).

Nên chữ số tận cùng  của tích đó là 6.

Lời giải:

\[A = \overline {x97y} \] chia hết cho 5 và 9

Vì \(\overline {x97y} \) chia hết cho 5 nên y ∈ {0; 5}.

⦁ Thay y = 0, ta có \(A = \overline {x970} \) chia hết cho 9.

Ta cần (x + 9 + 7 + 0) chia hết cho 9

Hay (x + 16) chia hết cho 9

Suy ra x = 2.

Vậy \[A = \overline {x97y}  = 2970.\]

⦁ Thay y = 5, ta có \(A = \overline {x975} \) chia hết cho 9

Ta cần (x + 9 + 7 + 5) chia hết cho 9

Hay (x + 21) chia hết cho 9

Suy ra x = 6.

Vậy \(A = \overline {x97y}  = 6975.\)

Lời giải:

a) \[A = \frac{2}{3}{x^2}{y^3}\left( { - \frac{6}{5}xy} \right)\]\[ =  - \frac{4}{5}x{}^3{y^4}\]

⦁ Hệ số: \[ - \frac{4}{5}\].

⦁ Biến: x³y⁴.

⦁ Bậc: 7.

B = (‒3x²y³)(5x²y) = ‒15x⁴y⁴.

⦁ Hệ số: ‒15.

⦁ Biến: x⁴y⁴.

⦁ Bậc: 8.

b) Ta có: \[A \cdot B =  - \frac{4}{5}x{}^3{y^4} \cdot \left( { - 15{x^4}{y^4}} \right) = 12{x^7}{y^8}.\]

Lời giải:

Ta có: \[A = ab{\left( {b - {\rm{ }}a} \right)^2} = \frac{1}{4} \cdot 4ab\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\]

\[ \le \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}{\left( {4ab + {a^2} - 2ab + {b^2}} \right)^2}\]

\[ = \frac{1}{{16}}{\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)^2}\]

\[ = \frac{1}{{16}}{\left( {a + b} \right)^4} = \frac{1}{{16}} \cdot {1^4} = \frac{1}{{16}}.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4ab = {a^2}--2ab + {b^2}\\a + b = 1\end{array} \right.\)hay \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\b = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\\b = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng \(\frac{1}{{16}}\) khi \(\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4};\,\,\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} \right);\,\,\left( {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4};\,\,\frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} \right)} \right\}.\)

Lời giải:

A ∪ B ∩ C

\[ = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right) \cap \left( {0;5} \right)\]

= [3; 5).

Lời giải:

a(b² + c² + bc) + b(a² + c² + ac) + c(a² + b² + ab)

= ab² + ac² + abc + ba² + bc² + abc + ca² + cb² + abc

= (ab² + a²b + abc) + (ac² + a²c + abc) + (bc² + b²c + abc)

= ab(b + a + c) + ac(c + a + b) + bc(c + b + a)

= (a + b + c)(ab + ac + bc).

Lời giải:

Ta có:

⦁ f(5) − f(4) = 2012

(a.5³ + b.5² + c.5 + d) − (a.4³ + b.4² + c.4 + d) = 2012

61a + 9b + c = 2012.

⦁ f(7) − f(2) = (a.7³ + b.7² + c.7 + d) − (a.2³ + b.2² + c.2 + d) 

= 335a + 45b + 5c = 30a + 5(61a + 9b + c) 

= 30a + 5.2012 = 5(6a + 2012) ⋮ 5

Mà f(7) − f(2) = 30a + 5.2012 > 5, với mọi a là số nguyên dương

Do đó f(7) − f(2) là hợp số.

Lời giải:

Ta có:

P = (a + b)(a + c)(b + c) ‒ abc

= (a²b + ab² + b²c + bc² a²c + ac² + abc + abc) ‒ abc

= (a²b + ab² + abc) + (a²c + ac² + abc) + (b²c + bc² + abc) ‒ 2abc

= ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c) ‒ 2abc

= (a + b + c)(ab + ac + bc) ‒ 2abc

 Ta thấy a + b + c chia hết cho 4

Suy ra (a + b + c)(ab + bc + ac) chia hết cho 4 (1)

Do a + b + c chia hết cho 4 suy ra tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2 suy ra 2abc chia hết cho 4   (2)

Từ (1) và (2), P chia hết cho 4.

Lời giải:

Ta có 7a + 11b chia hết 3

Suy ra 2.(7a + 11b) chia hết cho 3

Hay 14a + 22b chia hết cho 3

Nên 7.(2a + b) + 15b chia hết cho 3

Vì 15b chia hết cho 3 nên 7.(2a + b) chia hết cho 3

Do đó 2a + b chia hết cho 3.

Lời giải:

\[N = \frac{a}{{ab + a + 1}} + \frac{b}{{bc + b + 1}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\]

\[ = \frac{a}{{ab + a + 1}} + \frac{{ab}}{{abc + ab + a}} + \frac{c}{{ac + c + 1}}\]

\[ = \frac{a}{{ab + a + 1}} + \frac{{ab}}{{1 + ab + a}} + \frac{c}{{c\left( {a + 1 + ab} \right)}}\]

\[ = \frac{a}{{ab + a + 1}} + \frac{{ab}}{{1 + ab + a}} + \frac{1}{{a + 1 + ab}}\]

\[ = \frac{{a + ab + 1}}{{ab + a + 1}} = 1.\]

Lời giải:

Đặt \[A = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\]

\[A + 3 = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{c + a}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1\]

\[A + 3 = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}}\]

\[A + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)\]

Ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\]

\[A + 3 \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{9}{{a + b + b + c + c + a}}} \right) = \frac{9}{2}\]

Suy ra \[A \ge \frac{3}{2}.\]

Lời giải:

Ta có: \[\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}}\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}}\]\[ = \frac{{a + b + c}}{{b + c + c + a + a + b}}\]\[ = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b + x} \right)}} = \frac{1}{2}\]

Vậy giá trị của mỗi tỉ số bằng \[\frac{1}{2}.\]