10 câu Trắc nghiệm Phép chia số phức có đáp án (Vận dụng)

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

$z=a+bi\Rightarrow z^2={\left(a+bi\right)}^2=a^2+2abi+b^2{i}^2=a^2-b^2+2abi$

$$\begin{gathered} w=\frac{1}{{\left(a+bi\right)}^2}=\frac{1}{a^2-b^2+2abi}=\frac{a^2-b^2-2abi}{\left(a^2-b^2+2abi\right)\left(a^2-b^2-2abi\right)}=\frac{a^2-b^2-2abi}{{\left(a^2-b^2\right)}^2-{\left(2abi\right)}^2} \\ =\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4-2a^2{b}^2-4a^2{b}^2{i}^2}=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4-2a^2{b}^2-4a^2{b}^2}=\frac{a^4+b^4-2a^2{b}^2}{a^4+b^4+2a^2{b}^2}=\frac{a^4+b^4-2a^2{b}^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2} \\ =\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}-\frac{2ab}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}i \end{gathered}$$

Nên phần thực cuả số phức w là: $\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$.

Đáp án cần chọn là: B

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là:

$z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i; z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i; z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i; z_4=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\frac{z_1}{z_2}$ là số thuần ảo nên ta viết lại $\frac{z_1}{z_2}=ki\iff z_1=ki{z}_2$.

Khi đó 

$$\begin{gathered} \left|z_1-z_2\right|=10\iff \left|ki{z}_2-z_2\right|=10\iff \left|z_2\left(-1+ki\right)\right|=10\iff \left|z_2\right|=\frac{10}{\left|-1+ki\right|}=\frac{10}{\sqrt{k^2+1}} \\ \Rightarrow \left|z_1\right|=\left|ki\right|.\left|z_2\right|=\left|k\right|.\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}\Rightarrow \left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\frac{10\left|k\right|}{\sqrt{k^2+1}}+\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{10\left(\left|k\right|+1\right)}{\sqrt{k^2+1}} \end{gathered}$$

Xét $y=f\left(t\right)=\frac{10\left(t+1\right)}{\sqrt{t^2+1}}\Rightarrow 10\left(t+1\right)=y\sqrt{t^2+1}\iff 100{\left(t+1\right)}^2=y^2\left(t^2+1\right)$

$\iff 100\left(t^2+2t+1\right)=y^2{t}^2+y^2\iff \left(y^2-100\right)t^2-200t+y^2-100=0$

Phương trình có nghiệm 

$\Delta \text{'}={100}^2-{\left(y^2-100\right)}^2=y^2\left(200-y^2\right)\ge 0\iff -10\sqrt{2}\le y\le 10\sqrt{2}$

Vậy $max y=10\sqrt{2}$ khi t = 1 hay $k=\pm 1$.

Đáp án cần chọn là: B.

Dễ dàng kiểm tra z = 0 không thỏa mãn $\left(3-i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w-1}+1-i$.

Ta có: $\left(3-i\right)\left|z\right|=\frac{z}{w-1}+1-i$

$$\begin{gathered} \iff \frac{z}{w-1}=\left(3-i\right)\left|z\right|+i-1\iff \frac{z}{w-1}=\left(3\left|z\right|-1\right)+\left(1-\left|z\right|\right)i \\ \Rightarrow \left|\frac{z}{w-1}\right|=\sqrt{10{\left|z\right|}^2-8\left|z\right|+2}\Rightarrow \left|w-1\right|=\sqrt{\frac{{\left|z\right|}^2}{10{\left|z\right|}^2-8\left|z\right|+2}} \end{gathered}$$

Nhận xét:

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ w-1=\frac{1}{2}\left(1+i\right)\\ z=\frac{1+i}{2}.\frac{2k}{1-i}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}z=\frac{i}{2}\\ w=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\end{array}\right.\right.$

Vậy MaxT=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án cần chọn là: D

Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi $z=a+bi\left(a,b>0\right)$.

Đáp án cần chọn là: C

Gọi $z=x+yi\left(x;y\in R\right)$. Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ x>0, y>0\end{array}\right.$

Ta có: $w=\frac{1}{iz}=-\frac{i}{z}=-\frac{i}{x+yi}=-\frac{i\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=-\frac{y+xi}{x^2+y^2}=-y-xi$

Vì x > 0, y > 0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là $\left(-y; -x\right)$ (đều có hoành độ và tung độ âm).

Đồng thời $w=\sqrt{{\left(-y\right)}^2+{\left(-x\right)}^2}=1=\left|z\right|$

Suy ra, điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng OA.

Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

$\iff a^2+{\left(b-3\right)}^2=20$.

Hãy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=\left(1-2i\right)\overline{z}+3i$ là đường tròn $x^2+{\left(y-3\right)}^2=20$.