10 Bài tập Hai phân thức bằng nhau (có lời giải)
10 câu hỏi
Trong các cặp phân thức sau cặp phân thức nào bằng nhau?
\(\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\)và \[\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\];
\(\frac{{7{y^2}}}{5}\)và \(\frac{{3x{y^2}}}{{2x}}\);
\(\frac{{2x\left( {x - 5} \right)}}{{3\left( {5 - x} \right)}}\)và \(\frac{{5x}}{2}\);
\(\frac{{{x^2} - 2}}{{5\left( {x + 2} \right)}}\)và \(\frac{{x - 2}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
▪ Xét \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) và \[\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\]
Ta có: (x + 3)(x2 – 1) = (x + 3)(x – 1)(x + 1)
Do đó \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\).
▪ Xét \(\frac{{7{y^2}}}{5}\) và \(\frac{{3x{y^2}}}{{2x}}\)
Ta có: 7y2.2x = 14xy2; 5.3xy2 = 15xy2.
Mà 14xy2 ≠ 15xy2.
Do đó\(\frac{{7{y^2}}}{5}\) không bằng \(\frac{{3x{y^2}}}{{2x}}\).
▪ Xét \(\frac{{2x\left( {x - 5} \right)}}{{3\left( {5 - x} \right)}}\) và \(\frac{{5x}}{2}\)
Ta có: 2.2x.(x – 5) = 4x.(x – 5); 3.5x.(5 – x) = 15x.(x – 5).
Mà 4x.(x – 5)≠ 15x.(x – 5).
Do đó\(\frac{{2x\left( {x - 5} \right)}}{{3\left( {5 - x} \right)}}\) không bằng \(\frac{{5x}}{2}\).
▪ Xét \(\frac{{{x^2} - 2}}{{5\left( {x + 2} \right)}}\) và \(\frac{{x - 2}}{5}\)
Ta có: 5(x + 2)(x – 2) = 5(x2 – 4)
Mà 5(x2 – 2) ≠ 5(x2 – 4).
Do đó\(\frac{{{x^2} - 2}}{{5\left( {x + 2} \right)}}\) không bằng \(\frac{{x - 2}}{5}\).
Trong các cặp phân thức sau đây, cặp phân thức nào bằng nhau?
\(\frac{{{x^2}}}{{4x + 2}}\) và \(\frac{1}{{8x}}\);
\[\frac{{3x + 5}}{{2x + 5}}\] và \[\frac{{3x}}{3}\];
\[\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\] và \[\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\];
\[\frac{{2{x^2} - 11x + 12}}{{3{x^2} - 14x + 8}}\]và \[\frac{{2x + 3}}{{3x + 2}}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
▪ Xét \(\frac{{{x^2}}}{{4x + 2}}\) và \(\frac{1}{{8x}}\)
Ta có:x2.8x = 8x3
Mà 8x3 ≠ 4x + 2
Do đó \(\frac{{{x^2}}}{{4x + 2}}\) không bằng \(\frac{1}{{8x}}\).
▪ Xét \[\frac{{3x + 5}}{{2x + 5}}\] và \[\frac{{3x}}{3}\]
Ta có: 3(3x + 5) = 9x + 15; 3x(2x + 5) = 6x2 +15x
Mà 9x + 15≠ 6x2 +15x
Vậy \[\frac{{3x + 5}}{{2x + 5}}\] không bằng \[\frac{{3x}}{3}\].
▪ Xét \[\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\] và \[\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\]
Ta có: (x2 – x – 2)(x – 1) = (x + 1)(x – 2)(x – 1);
(x + 1)(x2 – 3x + 2) = (x + 1)(x – 2)(x – 1)
Ta thấy(x + 1)(x – 2)(x – 1) = (x + 1)(x – 2)(x – 1)
Vậy \[\frac{{3x + 5}}{{2x + 5}} = \frac{{3x}}{3}\].
▪ Xét \[\frac{{2{x^2} - 11x + 12}}{{3{x^2} - 14x + 8}}\] và \[\frac{{2x + 3}}{{3x + 2}}\]
Ta có: (2x2 – 11x + 12)(3x + 2) = 6x3 – 29x2 + 14x + 24
(3x2 – 14x + 8)(2x + 3) = 6x3 – 19x2 – 26x + 24.
Mà 6x3 – 29x2 + 14x + 24 ≠ 6x3 – 19x2 – 26x + 24.
Vậy \[\frac{{2{x^2} - 11x + 12}}{{3{x^2} - 14x + 8}}\] không bằng \[\frac{{2x + 3}}{{3x + 2}}\].
Với B ≠ 0, D ≠ 0, hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\)bằng nhau khi
A.B = C.D;
A.C = B.D;
A.D = B.C;
A.C < B.D.
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa, hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\)gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.
Phân thức nào dưới đây không bằng với phân thức \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}}\)?
\(\frac{{ - {x^2} + 3x}}{{3x - 9}}\);
\(\frac{{{x^2}}}{3}\);
\(\frac{{2{x^2} - 6x}}{{18 - 6x}}\);
\(\frac{{ - 2{x^2}}}{{6x}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: (x2 – 3x).3 = 3x2 – 3x ; x2.( – x2 +3x) = – x4 + 3x3
Ta thấy 3x2 – 3x ≠ – x4 + 3x3
Do đó \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{9 - 3x}}\) không bằng \(\frac{{{x^2}}}{3}\).
Đa thức A thỏa mãn biểu thức \[\frac{M}{{{x^2} - 16}} = \frac{x}{{x - 4}}\] là
M = x2 + 4x;
M = x2– 4x;
M = x2 + 4;
M = x2 + 16x.
Đáp án đúng là: A
Vì \[\frac{M}{{{x^2} - 16}} = \frac{x}{{x - 4}}\] nên
M.(x – 4) = x.(x2 – 16)
M.(x – 4) = x.(x – 4)(x + 4)
Do đó M = x(x + 4) = x2 + 4x.
Phân thức nào sau đây bằng phân thức \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\]?
\[ - \frac{{ - {z^4} + z + 2}}{{{z^2} + 1}}\];
\[ - \frac{{ - {z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\];
\[\frac{{ - {z^4} + z - 2}}{{ - {z^2} + 1}}\];
\[ - \frac{{ - {z^4} + z - 2}}{{ - {z^2} + 1}}\].
Đáp án đúng là: A
▪ Xét \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] và \[ - \frac{{ - {z^4} + z + 2}}{{{z^2} + 1}}\]
Ta có: (z4 – z + 2)(z2 + 1) = – (z2 + 1)( – z4 + z + 2)
– (z2 + 1)( – z4 + z + 2) = (z2 + 1) (z4 – z + 2)
Mà (z2 + 1) (z4 – z + 2) = (z4 – z + 2)(z2 + 1)
Do đó \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] = \[ - \frac{{ - {z^4} + z + 2}}{{{z^2} + 1}}\]
▪ Xét \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] và \[ - \frac{{ - {z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\]
Ta có:– (z2 + 1)( – z4 – z + 2) = (z2 + 1) (z4 + z – 2)
Mà (z4 – z + 2)(z2 + 1) ≠ (z2 + 1) (z4 + z – 2)
Do đó \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] ≠ \[ - \frac{{ - {z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\].
▪ Xét \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] và \[\frac{{ - {z^4} + z - 2}}{{ - {z^2} + 1}}\]
Ta có: (z4 – z + 2)(– z2 + 1) = – (z2 – 1) (z4 – z + 2);
(z2 + 1)(– z4 + z – 2) = – (z2 + 1) (z4 – z + 2)
Mà – (z2 – 1) (z4 – z + 2) ≠ – (z2 + 1) (z4 – z + 2)
Do đó \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] ≠ \[\frac{{ - {z^4} + z - 2}}{{ - {z^2} + 1}}\]
▪ Xét \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] và \[ - \frac{{ - {z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\]
Ta có: – (z2 + 1)(– z4 + z – 2) = (z2 + 1)(z4 – z + 2)
Mà (z2 + 1)(z4 – z + 2) ≠ (z4 – z + 2)(– z2 + 1)
Do đó \[\frac{{{z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\] ≠ \[ - \frac{{ - {z^4} - z + 2}}{{{z^2} + 1}}\]
Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?
\[\frac{{20xy}}{{28y}}\] và \[\frac{{5y}}{7}\];
\[\frac{{ - 1}}{2}\] và \[\frac{{15x}}{{ - 30x}}\];
\[\frac{7}{{5y}}\] và \[\frac{{5y}}{{2xy}}\];
\[\frac{{ - 1}}{{15x}}\] và \[\frac{{ - 2}}{{ - 30x}}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: – (– 30x) = 30x = 2.15x.
Do đó \[\frac{{ - 1}}{2}\] = \[\frac{{15x}}{{ - 30x}}\].
\[\frac{{{y^3} + 10y}}{{3{y^2} + y}}\] ;
\[\frac{{{y^3} + 10y}}{{ - (3{y^2} + y)}}\];
\[\frac{{ - ({y^3} + 10y)}}{{ - (3{y^2} + y)}}\];
\[ - \frac{{ - ({y^3} + 10y)}}{{ - (3{y^2} + y)}}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: – (y3 + 10y)[– (3y2 + y)] = (y3 + 10y) (3y2 + y)
Mà (y3 + 10y) (3y2 + y) = (3y2 + y)(y3 + 10y)
Do đó \[ - \frac{{{y^3} + 10y}}{{3{y^2} + y}}\] = \[\frac{{{y^3} + 10y}}{{ - \left( {3{y^2} + y} \right)}}\].
Cho biểu thức\[\frac{{5{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}}\] = \[\frac{{x - y}}{P}\](với điều kiện các phân thức có nghĩa). Đa thức P thỏa mãn biểu thức đã cho là
P = x + y;
P = 5(x – y);
P = 5(y – x);
P = x.
Đáp án đúng là: D
Theo đề bài \[\frac{{5{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}}\] = \[\frac{{x - y}}{P}\]
Nên 5(y – x)2.P = (x – y).(5x2 – 5xy)
Suy ra P = \(\frac{{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}y} \right).\left( {5{x^2}-{\rm{ }}5xy} \right)}}{{5{{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{\left( {x - y} \right)\left( {5{x^2} - 5yx} \right)}}{{5{{\left[ { - \left( {x - y} \right)} \right]}^2}}}\)
= \(\frac{{\left( {x - y} \right).5\left( {{x^2} - yx} \right)}}{{5{{\left[ { - \left( {x - y} \right)} \right]}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - yx}}{{x - y}}\)
= \(\frac{{x\left( {x - y} \right)}}{{x - y}}\) = x.
\[\frac{{5x + 5}}{{5x}}\] = \[\frac{{x + 1}}{x}\];
\[\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\] = x + 3;
\[\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}}\]= x – 3;
\(\frac{{5x + 5}}{{5x}}\)= 5.
Đáp án đúng là: D
▪ Xét \[\frac{{5x + 5}}{{5x}}\] = \[\frac{{x + 1}}{x}\] nên (5x + 5)x = 5x(x + 1)
Ta có: (5x + 5)x = 5x2 +5x ; 5x(x + 1) = 5x2 +5x
Mà 5x2 +5x = 5x2 +5x
Vậy \[\frac{{20xy}}{{28y}}\] = \[\frac{{5y}}{7}\].
▪ Xét \[\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\] = x + 3 nên x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Ta có: x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Vậy \[\frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\] = x + 3.
▪ Xét \[\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}}\] = x – 3 nên x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Ta có: x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Vậy \[\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}}\] = x – 3.
▪ Xét \(\frac{{5x + 5}}{{5x}}\) = 5 nên 5(5x + 5) = 5.5x
Ta có: 5(5x + 5) = 25x + 25; 5.5x = 25x.
Mà 5x2 +5x ≠ 5x2 +5x
Vậy \(\frac{{5x + 5}}{{5x}} \ne 5\).
Vậy chọn đáp án D.
