2048.vn
Tạo đề online từ PDF/WordTrộn đề thiNhập mãNgân hàng đề thi

Bài giảng Toán 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Bài giảng

Bài giảng Toán 12 Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

A
AdminToánLớp 1271 lượt thi
Bắt đầu ngay
67 câu hỏi
1. Slide nội dung
• 1 điểm
BÀI GIẢNG PPT MÔN TOÁN – LỚP 12 BỘ SÁCH: KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG
2. Slide nội dung
• 1 điểm
Nhiệt liệt chào đón các em đến với tiết học ngày hôm nay
3. Slide nội dung
• 1 điểm
KHỞI ĐỘNG Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua đó thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?
4. Slide nội dung
• 1 điểm
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN
5. Slide nội dung
• 1 điểm
Nội dung bài học Tốc độ thay đổi 01 02 của một đại lượng Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
6. Slide nội dung
• 1 điểm
0 TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI 1 LƯỢNG
7. Slide nội dung
• 1 điểm
Giả sử 𝑦 là một hàm số của 𝑥 và ta viết 𝑦 = 𝑓(𝑥). Nếu 𝑥 thay đổi từ 𝑥1 đến 𝑥2, thì sự thay đổi của 𝑥 là Δ𝑥 = 𝑥2 −𝑥1 và sự thay đổi tương ứng của 𝑦 là Δ𝑦 = 𝑓 𝑥2 −𝑓 𝑥1 . Δ𝑦 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 Tỉ số = được gọi là tốc độ thay đổi trung bình Δ𝑥 𝑥2 − 𝑥1 của 𝑦 đối với 𝑥 trên đoạn 𝑥1 ;𝑥2 . Δ𝑦 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1 Giới hạn lim = lim được gọi là tốc độ thay Δx→0 Δ𝑥 𝑥2→𝑥1 𝑥2 −𝑥1 đổi tức thời của 𝑦 đối với 𝑥 tại điểm 𝑥 = 𝑥1.
8. Slide nội dung
• 1 điểm
Như vậy, đạo hàm 𝑓′ 𝑎 là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng 𝑦 = 𝑓 𝑥 đối với 𝑥 tại điểm 𝑥 = 𝑎. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hóa học, sinh học và kinh tế: • Nếu 𝑠 = 𝑠 𝑡 là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì 𝑣 = 𝑠′ 𝑡 biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật. 𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡 = 𝑠′′ 𝑡 . • Nếu 𝐶 = 𝐶 𝑡 là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm 𝑡, thì 𝐶′ 𝑡 là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất điểm đó tại thời điểm 𝑡.
9. Slide nội dung
• 1 điểm
• Nếu 𝑃 = 𝑃 𝑡 là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm 𝑡, thì 𝑃′ 𝑡 biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm 𝑡. • Nếu 𝐶 = 𝐶 𝑥 là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất 𝑥 đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời 𝐶′ 𝑥 của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên 𝐶′ 𝑥 xấp xỉ đối với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ 𝑥 + 1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống).
10. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là ℎ 𝑡 = 2 + 24,5𝑡−4,9𝑡2 (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
11. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là 𝑣 = ℎ′ 𝑡 = 24,5−9,8𝑡 (m/s). Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là 𝑣 2 = 24,5−9,8.2 = 4,9 (m/s). b) Vì ℎ(𝑡) là hàm số bậc hai có hệ số 𝑎 = −4,9 < 0 nên ℎ(𝑡) đạt giá trị lớn nhất tại 𝑏 24,5 𝑡 =− = = 2,5 (giây) 2𝑎 2.4,9 Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là ℎ(2,5) = 32,625 (m). c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là ℎ = 2 + 24,5𝑡−4,9𝑡2 = 0, hay 𝑡 ≈ 5,08 (giây). Vận tốc của vật lúc chạm đất là 𝑣 5,08 = 24,5−9,8 . 5,08 = −25,284 (m/s). Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).
12. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số 𝑎 𝑃 𝑡 = 𝑏+𝑒 −0,75𝑡 Trong đó thời gian 𝑡 được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu 𝑡 = 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của 𝑎 và 𝑏. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
13. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: 0,75𝑎𝑒 −0,75𝑡 Ta có: 𝑃′ 𝑡 = 2 ,𝑡 ≥ 0. 𝑏 + 𝑒−0,75𝑡 Theo đề bài, ta có 𝑃 0 = 20 và 𝑃′(0) = 12. Do đó, ta có hệ phương trình: 𝑎 = 20 𝑎 = 20 𝑏 + 1 𝑏+1 0,75𝑎 ⇔ 15 = 12 = 12 𝑏+1 2 𝑏 + 1 1 Giải hệ phương trình này, ta được 𝑎 = 25 và 𝑏 = . 4
14. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Khi đó, 18,75𝑒−0,75𝑡 𝑃′ 𝑡 = 2 > 0,∀𝑡 ≥ 0, 1 + 𝑒−0,75𝑡 4 tức là số lượng của quần thể nấm men luôn tăng. 25 Tuy nhiên, do lim 𝑃(𝑡) = lim = 100 𝑡→+∞ 𝑡→+∞ 1 + 𝑒 −0,75𝑡 4 nên số lượng của quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.
15. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 3. Giả sử chi phí 𝐶 𝑥 (nghìn đồng) để sản xuất 𝑥 đơn vị của một loại hàng hóa đó được cho bởi hàm số 𝐶 𝑥 = 30 000 + 300𝑥−2,5𝑥2 + 0,125𝑥3. a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm 𝐶′ 200 và giải thích ý nghĩa. c) So sánh 𝐶′ 200 với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201.
16. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: a) Hàm chi phí biên là 𝐶′ 𝑥 = 300−5𝑥 + 0,375𝑥2 . b) Ta có: 𝐶′ 200 = 300−5. 200 + 0,375. 200 = 14 300. 2 Chi phí biên tại 𝑥 = 200 là 14 300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14 300 nghìn đồng. c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là 𝐶 201 −𝐶 200 = 1 004 372,625−990 000 = 14 372,625 (nghìn đồng) Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên 𝐶′(200) đã tính ở câu b.
17. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 4. Để loại bỏ 𝑥% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là 300𝑥 𝐶 𝑥 = (triệu đồng), 0 ≤ 𝑥 ≤ 100. 100−𝑥 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝐶 𝑥 . Từ đó, hãy trả lời các câu hỏi sau: a) Chi phí cần loại bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi 𝑥 tăng? b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?
18. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: 300𝑥 Xét hàm số 𝑦 = 𝐶 𝑥 = , 0 ≤ 𝑥 < 100. 100−𝑥 30 000 Ta có: 𝑦′ = > 0, với mọi 𝑥 𝜖 0;100 ). 100−𝑥 2 Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng 0;100 ). 300𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝐶(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 = + ∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 𝑥 = 100. 𝑥→100− 𝑥→100− 100−𝑥 Bảng biến thiên:
19. Slide nội dung
• 1 điểm
Đồ thị hàm số như Hình. a) Chi phí cần bỏ ra 𝐶(𝑥) sẽ luôn tăng khi 𝑥 tăng. b) Vì 𝑙𝑖𝑚 𝐶 𝑥 = + ∞ (hàm số 𝐶(𝑥) không xác 𝑥→100− định khi 𝑥 = 100) nên nhà máy không thể loại bỏ 100% chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa).
20. Slide nội dung
• 1 điểm
Luyện tập 1 Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu 𝑃 (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số 25𝑡2 + 125 𝑃 𝑡 = ,0 ≤ 𝑥 ≤ 10 𝑡2 + 1 trong đó thời gian 𝑡 được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.
21. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Ta có: 50𝑡 𝑡2 + 1 −2𝑡 25𝑡2 + 125 200𝑡 𝑃′ = 2 =− 2 2 𝑡 +1 2 𝑡 +1 Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là 250 𝑃′ 5 = − (mmHg/s). 169
22. Slide nội dung
• 1 điểm
0 MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU 2 HOÁ ĐƠN GIẢN
23. Slide nội dung
• 1 điểm
Một trong những ứng dung phổ biến nhất của đạo hàm cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hóa. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hóa diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hóa khoảng cách, thời gian, chi phí. Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hóa toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.
24. Slide nội dung
• 1 điểm
Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa: • Bước 1: Xác định đại lượng 𝑄 mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. • Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là 𝑥, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo 𝑥. Khi đó, đại lượng 𝑄 sẽ là hàm số của một biến 𝑥. Tìm tập xác định của hàm số 𝑄 = 𝑄(𝑥). • Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑄 = 𝑄(𝑥) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
25. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 5. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ, có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimet và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Giải: Đổi 1 lít = 1 000 cm . 3 Gọi 𝑟 (cm) là bán kính đáy của hình trụ, ℎ (cm) là chiều cao của hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ là: 𝑆 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ. Do thể tích của hình trụ là 1 000 cm nên ta có: 3 1 000 1 000 = 𝑉 = 𝜋𝑟 ℎ, hay ℎ = 2 𝜋𝑟 2
26. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: 2 000 Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: 𝑆 = 2𝜋𝑟 + 2 ,𝑟 >0 𝑟 Ta cần tìm 𝑟 sao cho 𝑆 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: 2 000 4𝜋𝑟3 −2 000 3 500 𝑆′ = 4𝜋𝑟− 2 = ; 𝑆′ = 0 ⇔ 𝜋𝑟 3 = 500 ⇔ 𝑟 = 𝑟 𝑟2 𝜋 Bảng biến thiên
27. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: 1 000 1 000 100 Khi đó: ℎ = = =3 𝜋𝑟2 3 250 000 250𝜋 𝜋 𝜋2 3 500 Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy 𝑟 = ≈ 5,42 (cm) 𝜋 100 và chiều cao ℎ = 3 ≈ 10,84 (cm). 250𝜋 Lưu ý: Nếu hình trụ có thể tích V không đổi thì diện tích bề mặt của hình trụ nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy.
28. Slide nội dung
• 1 điểm
Luyện tập 2 Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt. Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
29. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Gọi 𝑥 (km) là độ dài đoạn 𝐶𝐷. Điều kiện: 0 ≤ 𝑥 ≤ 8. Độ dài quãng đường chèo thuyền là: 𝑆1 = 𝑥2 + 9. Do vận tốc chèo thuyền là 6 km/h nên thời gian chèo thuyền là 𝑆1 𝑥 +9 2 𝑡1 = = . 6 6 Độ dài quãng đường chạy bộ là 𝑆2 = 8−𝑥. Do vận tốc chạy bộ là 8 km/h nên thời gian chạy bộ là 𝑆2 8−𝑥 𝑡2 = = . 8 8
30. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: 𝑥2 + 9 8−𝑥 Do đó, tổng thời gian đi từ 𝐴 đến 𝐵 của anh An là 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 = + . 6 8 Ta cần tìm 𝑥 sao cho 𝑡 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: 1 𝑥 1 9 7 𝑡′ = . − ; 𝑡′ = 0 ⇔ 𝑥 = 6 𝑥2 + 9 8 7 Bảng biến thiên: Vậy anh An cần chèo thuyền đến điểm cách 9 7 điểm 𝐶 một khoảng là ≈ 3,402(km) để 7 thời gian đến điểm 𝐵 là ngắn nhất.
31. Slide nội dung
• 1 điểm
Nhắc lại Nếu 𝐶(𝑥) là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất 𝑥 đơn vị của một sản phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của 𝐶 đối với 𝑥, tức là đạo hàm 𝐶′(𝑥). Gọi 𝑝(𝑥) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán 𝑥 đơn vị. Khi đó, 𝑝 được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của 𝑥. Nếu 𝑥 đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là 𝑝(𝑥) thì tổng doanh thu là 𝑅 𝑥 = 𝑥.𝑝(𝑥) Và 𝑅(𝑥) được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm 𝑅′(𝑥) của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra. Nếu 𝑥 đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là 𝑃 𝑥 = 𝑅 𝑥 −𝐶(𝑥) và 𝑃(𝑥) được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm 𝑃′(𝑥) của hàm lợi nhuận.
32. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 6. Giải bài toán trong tình huống mở đầu Giải: Gọi 𝑝 (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; 𝑥 là số khán giả mua vé. Ta cần xác định hàm cầu 𝑝 = 𝑝(𝑥). Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của 𝑥 tỉ lệ với tốc độ thay đổi của 𝑝 nên hàm số 𝑝 = 𝑝(𝑥) là hàm số bậc nhất. Giá vé 𝑝1 = 100 ứng với 𝑥1 = 27 000 Giá vé 𝑝1 = 90 ứng với 𝑥1 = 27 000 + 3 000 = 30 000.
33. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Do đó, phương trình đường thẳng 𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 đi qua hai điểm (27 000; 100) và (30 000; 90) là 100−90 𝑝−100 = 𝑥−27 000 27 000 −30 000 1 hay 𝑝−100 = − (𝑥−27 000) 300 tức là 𝑥 = −300𝑝 + 57 000. Hàm doanh thu từ tiền bán vé là 𝑅(𝑝) = 𝑝𝑥 = 𝑝(−300𝑝 + 57 000) = −300𝑝 + 57 000 𝑝. 2
34. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Ta cần tìm 𝑝 sao cho 𝑅 đạt giá trị lớn nhất. Ta có: 𝑅′(𝑝) = −600𝑝 + 57 000; 𝑅′(𝑝) = 0 ⇔ 𝑝 = 95. Bảng biến thiên: Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.
35. Slide nội dung
• 1 điểm
Ví dụ 7. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán 𝑥 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là 𝑃 𝑥 = −0,3𝑥3 + 36𝑥2 + 1 800𝑥−48 000 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑃(𝑥), 𝑥 ≥ 0. Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau: a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn? b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay không?
36. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Xét hàm số 𝑦 = 𝑃 𝑥 = −0,3𝑥3 + 36𝑥2 + 1 800𝑥−48 000, 𝑥 ≥ 0 Ta có: 𝑦′ = 𝑃′ 𝑥 = −0,9𝑥2 + 72𝑥 + 1 800; 𝑦′ = 0 ⇔ 𝑥 = 100 (vì 𝑥 ≥ 0) 𝑃′(𝑥) > 0 với mọi 𝑥 𝜖 [0;100), 𝑃′(𝑥) < 0 với mọi 𝑥 𝜖 (100; + ∞) Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0;100) và nghịch biến trên khoảng (100; + ∞) Tại 𝑥 = 100, hàm số đạt cực đại và 𝑌𝐶Đ = 𝑃(100) = 192 000 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑥) = −∞ 𝑥→+∞
37. Slide nội dung
• 1 điểm
Bảng biến thiên Đồ thị hàm số như Hình 1.36 (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng 1000 đơn vị trên trục tung).
38. Slide nội dung
• 1 điểm
Từ đồ thị đã vẽ suy ra: a) Đồ thị xuất phát từ điểm (0; – 48 000), ở phía dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lỗ), và giao với trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ 𝑥 = 20. Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn.
39. Slide nội dung
• 1 điểm
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là 𝑦CĐ = 𝑃(100) = 192 000 (nghìn đồng), tức là 192 triệu đồng, đạt được khi sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng. Khi sản xuất hơn 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận càng giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.
40. Slide nội dung
• 1 điểm
VẬN DỤNG Một nhà sản suất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần. a) Tìm hàm cầu. b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất? c) Nếu hàm chi phí hàng tuần là 𝐶(𝑥) = 12 000−3𝑥 (triệu đồng), trong đó 𝑥 là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
41. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: a) Gọi 𝑝 (triệu đồng) là giá của mỗi chiếc ti vi, 𝑥 là số lượng ti vi bán ra mỗi tuần. Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của 𝑥 tỉ lệ với tốc độ thay đổi của 𝑝 nên hàm số 𝑝 = 𝑝 𝑥 là hàm số bậc nhất. Giá bán 𝑝1 = 14 tương ứng với 𝑥1 = 1 000 và giá bán 𝑝2 = 13,5 tương ứng với 𝑥2 = 1 100. Khi đó phương trình đường thẳng 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 đi qua hai điểm (1000;14) và (1100;13,5) nên ta có hệ phương trình: 1 1000𝑎 + 𝑏 = 14 𝑎 = − ⇔ 200 1100𝑎 + 𝑏 = 13,5 𝑏 = 19 1 Do đó, hàm cầu: 𝑝 = − 𝑥 + 19 200
42. Slide nội dung
• 1 điểm
1 b) Ta có 𝑝 = − 𝑥 + 19 ⇔ 𝑥 = −200𝑝 + 3800 200 Hàm doanh thu là: 𝑅 𝑝 = 𝑝𝑥 = 𝑝 −200𝑝 + 3800 = −200𝑝2 + 3800𝑝. Ta cần tìm 𝑝 sao cho 𝑅 đạt giá trị lớn nhất. Ta có: 𝑅′ 𝑝 = −400𝑝 + 3800;𝑅′ 𝑝 = 0 ⇔ 𝑝 = 9,5. Bảng biến thiên: Vậy công ty nên giảm 14 – 9,5 = 4,5 triệu cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.
43. Slide nội dung
• 1 điểm
c) Ta có hàm lợi nhuận là 1 1 2 𝑃 𝑥 = 𝑅 𝑥 −𝐶 𝑥 = − 𝑥 + 19 .𝑥− 12 000−3𝑥 = − 𝑥 + 22𝑥−12000. 200 200 Ta cần tìm 𝑥 sao cho 𝑃(𝑥) đạt giá trị lớn nhất. Ta có 1 𝑃′ 𝑥 = − 𝑥 + 22; 𝑃′ 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 2200 100 Bảng biến thiên: Với 𝑥 = 2200 thì 𝑝 = 8. Vậy bán với giá là 8 triệu thì lợi nhuận là lớn nhất.
44. Slide nội dung
• 1 điểm
LUYỆN TẬP
45. Slide nội dung
• 1 điểm
RUNG CHUÔNG VÀNG
46. Slide nội dung
• 1 điểm
CÂU HỎI 1 Công suất P (đơn vị W ) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin 12V được cho bởi công thức P = 24I – I với I (đơn vị A ) là cường độ 2 dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện. A. 144. B. 24 . C. 72. D. 12. Đáp án: A
47. Slide nội dung
• 1 điểm
CÂU HỎI 2 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0,25𝑥 2 (30 – x) trong đó x(mg) và x>0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu: A. 15 mg B. 30 mg C. 40 mg D. 20 mg Đáp án: D
48. Slide nội dung
• 1 điểm
CÂU HỎI 3 Một nhà xuất bản nhận in 4 000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, Chi phí cài đặt máy in là 12 USD/máy, chi phí giám sát là 9 USD/giờ. Tính số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí là nhỏ nhất? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Đáp án: B
49. Slide nội dung
• 1 điểm
CÂU HỎI 4 Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là P(n) = 480 – 20n (g). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 Đáp án: C
50. Slide nội dung
• 1 điểm
CÂU HỎI 5 Để giảm nhiệt độ trong phòng từ 28 độ C, một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi T (đơn vị độ C ) là nhiệt độ phòng ở phút thứ t được cho bởi công thức T = −0,008𝑡3 −0,16𝑡 + 28 với t ∈ [1;10]. Tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động. A. 27,832 B. 18,4 C. 26,2. D. 25,312 Đáp án: B
51. Slide nội dung
• 1 điểm
Câu trắc nghiệm đúng sai
52. Slide nội dung
• 1 điểm
Câu trắc nghiệm đúng sai
53. Slide nội dung
• 1 điểm
Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 1: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất ................................................................................................................................................ 460 triệu đồng
54. Slide nội dung
• 1 điểm
Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 2: Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: Biết hàm chi phí biên là C’(x). Tìm C'(100) ............................................................................................................................ 𝟐,𝟓 𝐭𝐫ă𝐦 𝐧𝐠𝐡ì𝐧 đồ𝐧𝐠
55. Slide nội dung
• 1 điểm
Bài tập Bài 1.26 (SGK-tr40) Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm 𝑡 (giây) là 𝑦 = 𝑡 −12𝑡 + 3, 𝑡 ≥ 0. 3 a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới. c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ 𝑡 ≤ 3. d) Khi nào hạt tăng tốc? khi nào hạt giảm tốc?
56. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: a) Hàm vận tốc: 𝑣 = 𝑦′ = 3𝑡 −12. 2 Hàm gia tốc: 𝑎 = 𝑣′ = 6𝑡. b) Nếu coi chiều dương của trục là chiều thẳng đứng hướng lên trên thì hạt chuyển động lên trên khi 𝑣 > 0, chuyển động xuống dưới khi 𝑣 < 0. Ta có: 𝑣 > 0 ⇔ 3𝑡2 −12 > 0 ⇔ 𝑡 > 2 𝑣 < 0 ⇔ 3𝑡2 −12 < 0 ⇔ 0 ≤ 𝑡 < 2 Do đó, vật chuyển động lên trên khi 𝑡∈(2; + ∞) và chuyển động xuống dưới khi 𝑡∈[0;2).
57. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: c) Từ 𝑡 = 0 đến 𝑡 = 2, vật chuyển động từ tọa độ 𝑦 = 3 đến tọa độ 𝑦 = −13, tức là vật đi được quãng đường 16 đơn vị độ dài. Từ 𝑡 = 2 đến 𝑡 = 3, vật chuyển động từ tọa độ 𝑦 = −13 đến tọa độ 𝑦 = −6, tức là vật đi được quãng đường 7 đơn vị độ dài. Do đó, trong khoảng thời gian 0 ≤ 𝑡 ≤ 3, vật đi được quãng đường 23 đơn vị độ dài. d) Hạt tăng tốc khi 𝑎 > 0, hạt giảm tốc khi 𝑎 < 0. Mà 𝑎 = 6𝑡 > 0, ∀𝑡 ≥ 0, nên hạt luôn tăng tốc.
58. Slide nội dung
• 1 điểm
Bài 1.27 (SGK-tr41) Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất 𝑥 đơn vị hàng hóa nào đó là: 𝐶 𝑥 = 23 000 + 50𝑥−0,5𝑥2 + 0,00175𝑥3 . a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm 𝐶′(100) và giải thích ý nghĩa của nó. c) So sánh 𝐶′(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101. Giải: a) Hàm chi phí biên 𝐶′ 𝑥 = 50−𝑥 + 0,00525𝑥2. b) 𝐶′ 100 = 2,5. Chi phí biên tại 𝑥 = 100 là 2,5 (trăm nghìn đồng), nghĩa là ta dự đoán chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị hàng hóa thứ 101) là khoảng 250 nghìn đồng. c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là 𝐶 101 −𝐶 100 ≈ 2,527 (trăm nghìn đồng).
59. Slide nội dung
• 1 điểm
VẬN DỤNG
60. Slide nội dung
• 1 điểm
Bài 1.28 (SGK-tr41) Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất? Giải: Gọi 𝑝 (triệu đồng) là giá thuê căn hộ một tháng. Ta cần xác định hàm cầu. Giá thuê 𝑝 = 8 ứng với 𝑥 = 100, và giá thuê 𝑝 = 8,1 ứng với 𝑥 = 99. Do đó, ta có: 8−8,1 1 𝑝−8 = 𝑥−100 hay 𝑝−8 = − 𝑥−100 , tức là 𝑥 = −10𝑝 + 180 100−99 10
61. Slide nội dung
• 1 điểm
Giải: Hàm doanh thu từ tiền cho thuê căn hộ là 𝑅 𝑝 = 𝑝𝑥 = 𝑝 −10𝑝 + 180 = −10𝑝2 + 180𝑝 Ta cần tìm 𝑝 sao cho 𝑅 đạt giá trị lớn nhất. Ta có: 𝑅′ 𝑝 = −20𝑝 + 180; 𝑅′ 𝑝 = 0 ⇔ 𝑝 = 9 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, giá thuê là 9 triệu đồng thì doanh thu là lớn nhất.
62. Slide nội dung
• 1 điểm
Bài 1.29 (SGK-tr41) Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức 354 𝑝= ,𝑥 ≥0 1 + 0,01𝑥 trong đó 𝑝 là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và 𝑥 là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán. a) Tìm công thức tính 𝑥 như là hàm số của 𝑝. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑥 = 𝑥(𝑝). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: - Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán 𝑝 tăng; - Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn lim 𝑥 𝑝 . 𝑝→0+
63. Slide nội dung
• 1 điểm
35400−100𝑝 a) Ta có: 𝑥 = 𝑝 Giải: Do 𝑥 ≥ 0 và 𝑝 > 0 nên suy ra 0 < 𝑝 < 354. Vậy tập xác định của hàm số 𝑥 = 𝑥 𝑝 là nửa khoảng 0;354 . 35400 b) Ta có: 𝑥′ 𝑝 = − 2 < 0,∀𝑥∈ 0;354 . 𝑝 Suy ra hàm số 𝑥 = 𝑥 𝑝 nghịch biến trên nửa khoảng 0;354 . 35400−100𝑝 Ta có: lim 𝑥 𝑝 = lim = + ∞. 𝑝→0+ 𝑝→0+ 𝑝 35400−100𝑝 Xét hàm số 𝑥 𝑝 = trên nửa khoảng 0;354 𝑝
64. Slide nội dung
• 1 điểm
Bảng biến thiên: Đồ thị:
65. Slide nội dung
• 1 điểm
Do đó, số lượng đơn vị sản phẩm bán được 𝑥 sẽ giảm khi giá bán 𝑝 tăng. 35400−100𝑝 Ta có: lim 𝑥 𝑝 = lim =+ ∞ 𝑝→0+ 𝑝→0+ 𝑝 Điều này chứng tỏ khi giá bán 𝑝 dần về 0 đồng thì số lượng đơn vị sản phẩm bán ra được sẽ lên vô hạn.
66. Slide nội dung
• 1 điểm
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ 1. Ghi nhớ kiến thức trong bài. 2. Hoàn thành bài tập trong SBT. 3. Chuẩn bị bài sau “Bài tập cuối chương I”.
67. Slide nội dung
• 1 điểm
Nội dung nhập

Gợi ý cho bạn

Xem tất cả
67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có đáp án - phần 2)

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Một số bài toán tối ưu đơn giản lớp 12 (có lời giải)

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Bài toán tốc độ thay đổi của một đại lượng lớp 12 (có lời giải)

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 5. Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

(Trả lời ngắn) 23 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)

67 câu hỏi71 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

(Đúng sai) 12 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)