Va chạm và định luật Kêp le

Hướng dẫn

* Va chạm là một quá trình tương tác đặc biệt giữa hai vật có những tính chất sau: Thời gian tương tác rất ngắn (cỡ 10^-3s), lực tương tác có độ lớn đáng kể, ngay sau va chạm, vị trí của hai vật chưa kịp biến đổi nhưng vận tốc của hai vật biến đổi.

* Va chạm đàn hồi (va chạm xuyên tâm) có các đặc điểm sau: Trước và sau va chạm, các vật đều chuyển động trên một đường thẳng duy nhất. Trong va chạm đàn hồi, tổng động lượng của hai vật trước và sau va chạm bằng nhau, tổng động năng của hai vật trước và sau va chạm bằng nhau.

* Va chạm mềm có những đặc điểm sau: Sau va chạm hai vật nhập vào nhau làm một, chuyển động cùng vận tốc. Trong va chạm mềm, tổng đồng lượng của hai vật trước và sau va chạm bằng nhau, một phần động năng của vật chuyển hóa thành dạng năng lượng khác.

Hướng dẫn

* Va chạm đàn hồi trực diện: Xét hai vật được coi là hai chất điểm có khối lượng m₁ và m₂ chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang không ma sát đến va chạm với nhau.

  Gọi v→1,v→1/,v→2,v→2/  là vecto vận tốc của các vật trước và sau va chạm,  là các giá trị đại số của chúng. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang và chú ý rằng động năng của hệ bảo toàn ta được kết quả như sau:

v1/=(m1−m2)v1+2m2v2m1+m2;v2/=(m2−m1)v2+2m1v1m1+m2

* Va chạm mềm: Xét hai vật được coi là hai chất điểm có khối lượng m₁ và m₂ chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang không ma sát đến va chạm mềm với nhau. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta thu được kết quả sau:

Gọi v→1,v→1/,v→2,v→2/  là vecto vận tốc của các vật trước và sau va chạm, v1,v1/,v2,v2/  là các giá trị đại số của chúng thì: v1/=v2/=m1v1+m2v2m1+m2

Trong va chạm mềm, động năng của hệ giảm đi một lượng, lượng này chuyển hoá thành các dạng năng lượng khác như nhiệt toả ra chẳng hạn.

Hướng dẫn

* Định luật Kêp-le I: Mọi hành tinh đều chuyển động trên các quỹ đạo hình elip trong đó Mặt trời nằm tại một tiêu điểm.

* Định luật Kêp-le II: Đoạn thẳng nối Mặt Trời và một hành tinh bất kì quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau.

* Định luật Kêp-le III: Tỉ số giữa lập phương bán trục lớn và bình phương chu kì quay là giống nhau cho mọi hành tinh quay quanh Mặt Trời.

Biểu thức: a13T12=a23T22=...=ai3Ti2

Đối với hai hành tinh bất kì ta có:  a1a23=T1T22

Hướng dẫn

* Một vật chuyển động quanh Trái Đất dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Trái Đất gọi là vệ tinh nhân tạo của Trái Đất.

* Tốc độ vũ trụ:

- Vận tốc cần thiết để đưa một vệ tinh lên quỹ đạo quanh Trái Đất mà không rơi trở về Trái Đất gọi là vận tốc quỹ đạo cấp I: vI=7,9km/s

- Nếu vận tốc lớn hơn vI=7,9km/s thì vệ tinh sẽ chuyển động theo một quỹ đạo Elip và khi đạt tới giá trị vII=11,2km/s (gọi là vận tốc quỹ đạo cấp II) thì vệ tinh sẽ đi xa khỏi Trái Đất theo một quỹ đạo parabol và trở thành hành tinh nhân tạo của Mặt Trời.

- Nếu tăng vận tốc phóng vệ tinh đến giá trị vIII=16,7km/s (gọi là vận tốc quỹ đạo cấp III) thì vệ tinh có thể thoát ra khỏi hệ Mặt Trời.

Theo tính chất của và chạm thì: v→1≠v→1/,v→2≠v→2/

    Theo phương ngang động lượng của hệ được bảo toàn nên ta có:

m1v1/+m2v2/=m1v1+m2v2              (1)

    Động năng của hệ được bảo toàn:

m1v1/22+m2v2/22=m1v122+m2v222 (2)

    Từ (1) ⇒m1(v1−v1/)=m2(v2/−v2) (3)

    Từ (2)⇒m1(v12−v1/2)=m2(v2/2−v22) (4)

    Chia (4) cho (3) vế theo vế ta được:v1+v1/=v2/+v2 (5)

    Từ (5) ⇒v2/=v1+v1/−v2 (6)

    Thay (6) vào (3) ta được:

v1/=(m1−m2)v1+2m2v2m1+m2;v2/=(m2−m1)v2+2m1v1m1+m2

Xét hệ hai vật có khối lượng m₁, m₂ chuyển động với vận tốc v₁, v₂ đến va chạm mềm với nhau. Vận tốc sau va chạm là v.

    Động năng của hệ trước va chạm: WđI=m1v122+m2v222

    Theo định luật bảo toàn động lượng, vận tốc của các vật ngay sau va chạm là:

                   v=m1v1+m2v2m1+m2

    Động năng của hệ sau va chạm:

                   WđII=(m1+m2)v22=12m1v1+m2v22m1+m2

    Độ biến thiên động năng của hệ:

   ΔWđ=WđII−WđI=12m1v1+m2v22m1+m2−m1v122−m2v222  

ΔWđ=−12m1m2m1+m2(v1−v2)2<0

Điều này chứng tỏ trong va chạm mềm giưa hai vật, động năng không bảo toàn.

Sử dụng định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn cơ năng cho va chạm giữa hai vật, ta thu được kết quả sau:

a/ v2=m1v1m2=4.3,26=2,13m/s

b/  v=m1(v1+v1/)m2=4(3,2+3)6=4,13m/s

Gọi m và M là khối lượng của Trái Đất và của Mặt Trời, T là chu kì quay của Trái Đất quanh Mặt Trời. Coi quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời gần đúng là tròn.

    Theo định luật III Kêp-le đối với 1 hành tinh thì a3T2≈R3T2=K=const

    Ta cần tìm hằng số K để từ đó suy ra khối lượng Mặt Trời.

    Gia tốc hướng tâm của Trái Đất quanh Mặt Trời:

         aht=v2R=ω2R=2πT2R=4π2T2R

    Lực hấp dẫn giữa Mặt Trời và Trái Đất gây ra gia tốc hướng tâm:

         Fhd=mahthayGmMR2=m4π2T2R⇒R3T2=GM4π2=K

          Suy ra khối lượng Mặt Trời: M=4π2R3GT2

a/ Chu kì chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời là 1 năm, tức là:

T=365,25.24.3600=3,16.107s

b/ Trong 1 chu kì tâm Trái Đất đi được quãng đường bằng chu vi hình tròn có bán kính là 150 triệu km: s=2πR=2.3,14.150.106=9,42.108km

c/ Vận tốc trung bình  vtb=sT=9,42.1083,16.107=29,8km/s

Theo định luật Kêp-le III thì R13T12=R23T22

Chú ý rằng nên biểu thức định luật Kêp-le III có thể viết là:

R134π2R12v12=R234π2R12v12⇒R1R2=v2v1