Trắc nghiệm Thể tích lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho khối chóp \(S.ABC\) có chiều cao bằng \(3\), đáy \(ABC\) có diện tích bằng \(10\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
\(2\).
\(15\).
\(10\).
\(30\).
C
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.10.3 = 10\).
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\). Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
\(V = \frac{1}{3}Bh\).
\(V = \frac{4}{3}Bh\).
\(V = 6Bh\).
\(V = Bh\).
D
Định nghĩa thể tích khối lăng trụ là \(V = Bh\).
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là \(3{a^2}\)và chiều cao \[2a.\] Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
\({a^3}\).
\(6{a^3}\).
\(3{a^3}\).
\(2{a^3}\).
B
Ta có: \(V = B.h = 3{a^2}.2a = 6{a^3}\).
Thể tích khối lập phương cạnh \(2\) bằng
\(6\).
\(8\).
\(4\).
\(2\).
B
Vậy thể tích khối lập phương cạnh \(2\) là: \(V = {2^3} = 8\).\(\)
Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước \(3;4;5\). Thể tích của khối hộp đã cho bằng?
\(10\).
\(20\).
\(12\).
\(60\).
D
Thể tích của khối hộp đã cho bằng \(V = 3.4.5 = 60\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\) và \(A'B = a\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{{a^3}}}{6}\).
\(\frac{{{a^3}}}{2}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
D
Ta có \(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \), \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V = AA'.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\]có đáy\[ABCD\] là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 2 \). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \[S.ABCD\]
\(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\).
\(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}\).
\(V = \sqrt 2 {a^3}\).
\(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).
D
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA\) là đường cao của hình chóp.
Thể tích khối chóp\[S.ABCD\]: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}\). Tính cạnh bên \(SA\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(a\sqrt 3 \).
\(2a\sqrt 3 \).
C
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA \Rightarrow SA = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = a\sqrt 3 \).
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), tam giác \(SAC\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên \(SA\) tạo với đáy góc \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABCD\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
B
Kẻ \(SH \bot AC\), \(H \in AC\) suy ra \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\].
\(AC = 2a\), tam giác \(SAC\) vuông ở \(S\), góc \(\widehat {SAC} = 60^\circ \) nên \(SA = a,\,SC = a\sqrt 3 ,\,SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích hình chóp là \(V = \frac{1}{3}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Tính thể tích của hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông, cạnh \(6\;cm\), đáy nhỏ là hình vuông cạnh \(3\;cm\) và chiều cao của hình chóp cụt là \(4\;cm\).
\(84\).
\(32\).
\(12\).
\(96\).
A
Trước khi tính thể tính hình chóp cụt bạn cần phải tính được diện tích đáy lớn, đáy bé của hình chóp cụt. Theo đó diện tích đáy lớn, đáy bé lần lượt là:
\({S_{{\rm{1 }}}} = 6.6 = 36;{S_2} = 3.3 = 9\)
Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp cụt ta có:
\(V = \frac{4}{3}(36 + \sqrt {36.9} + 9) = 84\left( {\;c{m^3}} \right)\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là H trung điểm của BC. Khi đó:
a) A'H là đường cao hình lăng trụ.
b) Tam giác A'HA vuông tại A'.
c) Đường cao của khối lăng trụ trên là \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
d) Thể tích của khối lăng trụ là \(\frac{{{a^3}\sqrt {18} }}{{24}}\).
a) Vì A'H ^ (ABC) nên A'H là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
Do đó A'H là đường cao hình lăng trụ.
b) Ta có A'H ^ (ABC) Þ A'H ^ HA. Suy ra tam giác A'HA vuông tại H.
c) Có \(BH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2};AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {18} }}{8}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
a) AC ^ BD.
b) (A'BO) ^ (A'AO).
c) Thể tích khối chóp O.A'AB bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}\).
d) Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A'BD) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
a) Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD.
b) Có BD ^ AC và BD ^ AA' nên BD ^ (A'AO) Þ (A'BO) ^ (A'AO).
c) Ta có \({S_{\Delta ABO}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
Ta có \({V_{O.A'AB}} = {V_{A'.ABO}} = \frac{1}{3}{S_{ABO}}AA' = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{4}.a = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
d) Ta có \(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên A'O.
Khi đó \(AH = \frac{{AO.AA'}}{{\sqrt {A'{A^2} + O{A^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 2 \), \(AC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \((ABCD)\). Khi đó:
a) \(AD//(SBC)\).
b) Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD,AB\) bằng: \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
d) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng: \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).
a) b) Ta có: \(AD//BC \Rightarrow AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\).
Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot (SBC)\) hay \(d(A,(SBC)) = AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Vậy \(d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
c) Trong mặt phẳng \((SAD)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SAD) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\).(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)
Vậy \(d(AB,SD) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
c) Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích khối chóp cần tìm là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt bên \((SAB)\) vuông góc với mặt đáy và tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\). Biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) và cạnh \(AC = a\sqrt 3 \). Khi đó:
a) \(SH \bot (ABC)\) với H là trung điểm của AB.
b) \(d(S,(ABC)) = a\sqrt 3 \).
c) \(d(C,(SAB)) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
d) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
a) Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), mà tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).
Ngoài ra \((SAB) \bot (ABC)\) nên \(SH \bot (ABC)\).
b) Ta có: \(d(S,(ABC)) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 (\)do tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a)\).
c) Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow d(C,(SAB)) = CK} \right.\).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a;CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(d(C,(SAB)) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
d) Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Thể tích khối chóp là: \({V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, \(SB = a\sqrt 3 \), góc giữa SC và (SAB) là 45° và \(\widehat {ASB} = 30^\circ \).
a) Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Tam giác SBC vuông cân tại C.
c) Hai đường thẳng AB và CB vuông góc với nhau.
d) Nếu gọi thể tích khối chóp S.ABC là V thì tỷ số \(\frac{{{a^3}}}{V}\) bằng \(\frac{3}{8}\).
a) Theo giả thiết, DSAB vuông tại A có \(SB = a\sqrt 3 ;\widehat {ASB} = 30^\circ \).
Khi đó \(SA = SB.\cos 30^\circ = \frac{{3a}}{2}\) và \(AB = SB.\sin 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Do SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC).
b) Vì (SAB) ^ (ABC) và (SAB) ^ (SBC) nên (SBC) ^ (ABC) .
Suy ra BC ^ (SAB) Þ (SC, (SAB)) = (SC, SB) = \(\widehat {CSB} = 45^\circ \).
Suy ra DSBC vuông cân tại B Þ BC = SB = \(a\sqrt 3 \).
c) BC ^ (SAB) Þ CB ^ AB ÞDABC vuông tại B.
d) Có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{3{a^2}}}{4}\) và \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{3{a^3}}}{8}\).
Vậy tỉ số \(\frac{{{a^3}}}{V} = \frac{8}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một bể cá được làm bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 0,6 m; 2 m; 0,8 m. Tính thể tích của bể cá đó.
Thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật là V = abc = 0,6.2.0,8 = 0,96 (m3).
Trả lời: 0,96.
Một khối rubik 3×3 (được chia làm 27 khối lập phương nhỏ) có dạng một hình lập phương với kích thước cạnh bằng 6 cm. Tìm thể tích của khối rubik đó, biết khoảng hở giữa các khối lập phương nhỏ không đáng kể.
Thể tích khối rubik là V = 63 = 216 (cm3).
Trả lời: 216.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 3 và đường chéo AC = 3. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa (SCD) và đáy bằng 45°. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD (đơn vị thể tích).
Ta có diện tích đáy \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi H là trung điểm AB Þ SH ^ AB.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do DABC đều nên AB ^ CH và AB ^ SH nên AB ^ (SHC) mà CD // AB
Þ CD ^ (SHC) Þ CD ^ SC.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SC \bot CD,SC \subset \left( {SCD} \right)\\HC \bot CD,HC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc \(\widehat {SCH}\)\( \Rightarrow \widehat {SCH} = 45^\circ \)
Suy ra DSHC vuông cân tại H \( \Rightarrow SH = CH = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{27}}{4} \approx 6,75\).
Trả lời: 6,75.
Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = 4\), \(AB = 6\), \(BC = 10\) và \(CA = 8\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) suy ra \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\).
\({S_{ABC}} = 24\), \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = 32\).
Trả lời: 32.
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(30^\circ \), tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \(8\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Đặt \(AB = x,\left( {x > 0} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Vì DABC đều Þ AM ^ BC và AA' ^ BC Þ BC ^ (AA'M) Þ BC ^ A'M.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC\\A'M \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'MA} = 30^\circ \].
Xét \(\Delta A'AM\), có \[A'M = \frac{{AM}}{{cos30^\circ }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 3 }} = x\].
\({S_{A'BC}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A'M.BC = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = 4\)
Suy ra \(A'A = AM.\tan 30^\circ = \frac{{4.\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 2\); \({S_{ABC}} = \frac{{16.\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \approx 13,9\).
Trả lời: 13,9.
