Bài tập Thể tích lăng trụ, khối hộp lớp 11 (có lời giải)
35 câu hỏi
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
Đáp án đúng là: D
Diện tích tam giác đều cạnh a là
Chiều cao của lăng trụ h = AA' = a.
Vậy thể tích khối lăng trụ là
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Đáp án đúng là: D
Diện tích tam giác đều cạnh a là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Chiều cao của lăng trụ h = AA' = a.
Vậy thể tích khối lăng trụ là \[{V_{ABC.A'B'C'}} = S.h = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\]
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác với AB = a, AC = 2a, , . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Đáp án đúng là: B
Diện tích tam giác ABC là .
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác với AB = a, AC = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \), \(AA' = 2a\sqrt 5 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
\(V = 4{a^3}\sqrt 5 \);
\(V = {a^3}\sqrt {15} \);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\);
\(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 5 }}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15} .\)
V = a3;
Đáp án đúng là: A
Đặt cạnh của hình lập phương là x (x > 0).
Khi đó, ta có AA' = x; A'C' = .
Xét DAA'C' vuông tại A', có .
Vậy thể tích của hình lập phương là: V = a3.
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' biết \(AC' = a\sqrt 3 .\)
V = a3;
\(V = \frac{{3\sqrt 6 {a^3}}}{4}\);
\(V = 3\sqrt 3 {a^3}\);
\(V = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Đặt cạnh của hình lập phương là x (x > 0).
Khi đó, ta có AA' = x; A'C' = \(x\sqrt 2 \).
Xét ∆AA'C' vuông tại A', có \[AC' = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{{C'}^2}} = x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a\].
Vậy thể tích của hình lập phương là: V = a3.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10 cm2, 20 cm2, 32 cm2. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.
V = 80 cm3;
V = 160 cm3;
V = 40 cm3;
V = 64 cm3;
Đáp án đúng là: A
Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có
Nhân vế theo vế, ta được (AA'.AB.AD)2 = 6400 Þ AA'.AB.AD = 80 cm3.
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là 10 cm2, 20 cm2, 32 cm2. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.
V = 80 cm3;
V = 160 cm3;
V = 40 cm3;
V = 64 cm3;
Đáp án đúng là: A
Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 10\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\\{S_{ABB'A'}} = 20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\\{S_{ADD'A'}} = 32\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AD = 10\\AB.AA' = 20\\AA'.AD = 32\end{array} \right..\]
Nhân vế theo vế, ta được (AA'.AB.AD)2 = 6400 ⇒ AA'.AB.AD = 80 cm3.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, , mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Đáp án đúng là: A
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'.
Tam giác ABC cân tại A Þ tam giác A'B'C' cân tại A' Þ A'M ^ B'C'.
Lại có B'C' ^ AA' (do AA' ^ (A'B'C')).
Từ đó suy ra B'C' ^ (AA'M) Þ B'C' ^ AM.
Do đó góc giữa mặt phẳng (AB'C') và mặt phẳng (A'B'C') là .
Vì tam giác A'B'C' cân tại A', M là trung điểm của đoạn thẳng B'C' nên A'M ^ B'C' và .
Tam giác vuông A'B'M, có
Tam giác vuông AA'M, có
Diện tích tam giác
Vậy
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ \), mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
\(V = \frac{{3{a^3}}}{8}\);
\(V = \frac{{9{a^3}}}{8}\);
\(V = \frac{{{a^3}}}{8}\);
\(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\);
Đáp án đúng là: A
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'.
Tam giác ABC cân tại A ⇒ tam giác A'B'C' cân tại A' ⇒ A'M ⊥ B'C'.
Lại có B'C' ⊥ AA' (do AA' ⊥ (A'B'C')).
Từ đó suy ra B'C' ⊥ (AA'M) ⇒ B'C' ⊥ AM.
Do đó góc giữa mặt phẳng (AB'C') và mặt phẳng (A'B'C') là \(\widehat {AMA'} = 60^\circ \).
Vì tam giác A'B'C' cân tại A', M là trung điểm của đoạn thẳng B'C' nên A'M ⊥ B'C' và \(\widehat {B'A'M} = 60^\circ \).
Tam giác vuông A'B'M, có \[A'M = A'B'.\cos \widehat {MA'B'} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}.\]
Tam giác vuông AA'M, có \[AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{a}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]
Diện tích tam giác \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\]
Vậy \[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{8}.\]
Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA' = a, hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
V = a3;
Đáp án đúng là: B
Vì H là trung điểm của AB nên .
Theo giả thiết, ta có A'H ^ (ABCD) Þ A'H ^ AB.
Tam giác vuông A'HA, có .
Diện tích hình vuông SABCD = a2.
VậyCho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA' = a, hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\);
V = a3;
\(V = \frac{{{a^3}}}{3}\);
Đáp án đúng là: B
Vì H là trung điểm của AB nên \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).
Theo giả thiết, ta có A'H ⊥ (ABCD) ⇒ A'H ⊥ AB.
Tam giác vuông A'HA, có \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Diện tích hình vuông SABCD = a2.
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A'O = a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết, ta có A'O ^ (ABC).
Diện tích tam giác đều . Chiều cao khối lăng trụ A'O = a.
Vậy thể tích khối lăng trụ
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A'O = a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\);
\(V = \frac{{{a^3}}}{4}\);
\(V = \frac{{{a^3}}}{6}\);
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết, ta có A'O ⊥ (ABC).
Diện tích tam giác đều \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Chiều cao khối lăng trụ A'O = a.
Vậy thể tích khối lăng trụ \(V = {S_{\Delta ABC}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Biết rằng A'A = A'B = A'C = a.
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm BC.
Vì DABC vuông tại A nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC.
Từ A'A = A'B = A'C = a, suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Suy ra A'I ^ (ABC).
Tam giác ABC, có
Tam giác vuông A'IB, có .
Diện tích tam giác ABC là .
Vậy
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Biết rằng A'A = A'B = A'C = a.
\(V = \frac{{{a^3}}}{2}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\);
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm BC.
Vì ∆ABC vuông tại A nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Từ A'A = A'B = A'C = a, suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Suy ra A'I ⊥ (ABC).
Tam giác ABC, có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác vuông A'IB, có \(A'I = \sqrt {A'{B^2} - B{I^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'I = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a3.
V = 6a3;
V = 4a3;
V = 3a3;
Đáp án đúng là: D
Ta có thể tích khối chóp
Suy ra
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết thể tích khối chóp A.BCB'C' bằng 2a3.
V = 6a3;
\(V = \frac{{5{a^3}}}{2}\);
V = 4a3;
V = 3a3;
Đáp án đúng là: D
Ta có thể tích khối chóp \[{V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}.\]
Suy ra \({V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.\)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 12cm3. Tính thể tích V của khối tứ diện AB'CD'.
V = 2 cm3;
V = 3 cm3;
V = 4 cm3;
V = 5 cm3;
Đáp án đúng là: C
Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.
Thể tích khối hộp VABCD.A'B'C'D' = S.h = 12 cm3.
Chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành khối tứ diện AB'CD' và khối chóp: A.A'B'D', C.B'C'D', B'.BAC, D'.DAC (như hình vẽ).
Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng
Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng
Vậy thể tích khối tứ diện
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 12cm3. Tính thể tích V của khối tứ diện AB'CD'.
V = 2 cm3;
V = 3 cm3;
V = 4 cm3;
V = 5 cm3;
Đáp án đúng là: C
Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.
Thể tích khối hộp VABCD.A'B'C'D' = S.h = 12 cm3.
Chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành khối tứ diện AB'CD' và \[4\] khối chóp: A.A'B'D', C.B'C'D', B'.BAC, D'.DAC (như hình vẽ).
Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng \(\frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h.\)
Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng \(V' = \frac{2}{3}Sh.\)
Vậy thể tích khối tứ diện \[{V_{AB'CD'}} = Sh - \frac{2}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.12 = 4{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\]
Công thức tính thể tích khối lăng trụ diện tích đáy S và chiều cao h là
V = S.h.
V = \(\frac{1}{3}\).S.h.
V = \(\frac{1}{2}\).S.h.
V = 3.S.h.
Đáp án đúng là: A
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = S.h.
Thể tích của khối hộp bằng?
Một phần ba tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối tứ diện ứng với mặt đó.
Ba lần tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.
Một phần hai tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối tứ diện ứng với mặt đó.
Tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.
Cho khối lăng trụ có độ dài đường cao bằng 5, diện tích đáy bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
45.
8.
5.
15.
Đáp án đúng là: D
Ta có: V = S.h = 5.3 = 15.
Cho khối lăng trụ có đáy là tam giác đều. Nếu độ dài mỗi cạnh đáy của khối lăng trụ tăng lên 2 lần thì thể tích khối lăng trụ tăng bao nhiêu lần?
2 lần.
8 lần.
4 lần.
6 lần.
Đáp án đúng là: C
Giả sử độ dài cạnh đáy bằng a
Ta có: V1 = S1.h = \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).h
Độ dài mỗi cạnh đáy của khối lăng trụ tăng lên hai lần thì thể tích khối lăng trụ là
V2 = S2.h = \(\frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot h = {a^2}\sqrt 3 \cdot h\)
Suy ra, \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 \cdot h}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot h}}\) = 4.
Cho khối hộp ABCD. A′B′C′D′ có AB = 8 cm, AD = 5 cm, AA = 6 cm, \[\widehat {BAD} = 30^\circ \], góc giữa AA′ và (ABCD) bằng 45°. Tính thể tích của khối hộp.
\(30\sqrt 2 \).
\(60\sqrt 3 \).
\(60\sqrt 2 \).
\[30\sqrt 6 \].
Đáp án đúng là: C
Vì ABCD là hình bình hành nên SABCD = AB.AD.sin\[\widehat {BAD}\] = 20 (cm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABCD)
Khi đó A′H là chiều cao của khối hộp.
Góc giữa AA′ và (ABCD) là \[\widehat {AA'H} = 45^\circ \]
Xét tam giác AA′H vuông tại H:
A′H = AA′.sin45° = \(3\sqrt 2 \)(cm)
Thể tích khối hộp ABCD. A′B′C′D′ là:
V = SABCD. A′H = 20. \(3\sqrt 2 \)= \(60\sqrt 2 \)cm3.
Cho khối lập phương có cạnh là a. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Thể tích khối lập phương trên là V = a3.
Nếu cạnh của khối lập phương tăng gấp đôi thì thể tích tăng gấp 8 lần.
Nếu cạnh của khối lập phương giảm một nửa thì thể tích giảm một nửa.
Hai khối lập phương có cạnh bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Đúng.
a) Đúng. Thể tích khối lập phương có cạnh là a là: V = a3.
b) Đúng. Nếu cạnh của khối lập phương tăng gấp đôi thì thể tích khối lập phương là:
V′ = (2a)3 = 8a3
Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{8{a^3}}}{{{a^3}}} = 8\). Vậy nếu cạnh của khối lập phương tăng gấp đôi thì thể tích khối lập phương tăng gấp 8 lần.
c) Sai. Nếu cạnh của khối lập phương giảm một nửa thì thể tích khối lập phương là:
\(V' = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = \frac{{{a^3}}}{8}\).
Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{\frac{{{a^3}}}{8}}}{{{a^3}}} = \frac{1}{8}\). Vậy nếu cạnh của khối lập phương giảm một nửa thì thể tích khối lập phương giảm 8 lần.
d) Đúng. Hai khối lập phương có cạnh bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy S, chiều cao h. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Thể tích khối lăng trụ bằng \(\frac{1}{3}\).S.h.
Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng gấp đôi diện tích đáy thì thể tích tăng gấp đôi.
Nếu giữ nguyên diện tích đáy và giảm một nửa chiều cao thì thể tích giảm một nửa.
Thể tích khối chóp luôn bằng thể tích lăng trụ có cùng diện tích đáy và chiều cao.
Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Sai.
a) Sai. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = S.h.
b) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với diện tích đáy khi chiều cao h không đổi.
c) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao h khi diện tích đáy không đổi.
d) Sai. Thể tích khối chóp bằng \(\frac{1}{3}\) thể tích lăng trụ.
Cho khối hộp chữ nhật có kích thước lần lượt là 3 cm, 4 cm và 12 cm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Thể tích của khối hộp chữ nhật là 144 cm3.
Diện tích đáy của khối hộp là 12 cm2.
Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tăng thêm 244 cm3.
Độ dài đường chéo của khối hộp chữ nhật bằng 13 cm.
Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Đúng.
a) Đúng. Thể tích V = 3.4.12 = 144 cm3.
b) Đúng. Diện tích đáy của khối hộp là 3.4 = 12 cm2.
c) Sai. Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tăng thêm 3⋅4⋅24 – 144 = 144 cm3.
d) Đúng. Độ dài đường chéo d = \(\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{12}^2}} \)= 13 cm.
Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = \(a\sqrt 3 \) và cạnh bên AA′ = 2a. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Thể tích của khối lăng trụ là V = \({a^3}\sqrt 3 \).
Thể tích khối chóp A′.ABC bằng \(\frac{1}{2}\) thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C′.
Chiều cao của khối lăng trụ này bằng 3a.
Diện tích đáy ABC bằng \[\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\].
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Sai.
a) Đúng. V = \[\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\].2a = \({a^3}\sqrt 3 \).
b) Sai. Thể tích khối chóp A′.ABC bằng \(\frac{1}{3}\) thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C′.
c) Sai. Vì ABC. A′B′C′ là lăng trụ đứng nên AA′ vuông góc với đáy, do đó độ dài AA′ = 2a là chiều cao của lăng trụ.
d) Sai. Diện tích đáy ABC bằng\[\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]
Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên AA′ = \(a\sqrt 2 \). Biết hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Độ dài đoạn AH bằng a.
Chiều cao A′H của khối hộp bằng \(\frac{{a\sqrt 7 }}{3}\).
Thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′ bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{2}\).
Thể tích khối tứ diện A′.ABD bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{12}}\).
Đáp án: a) Sai.b) Sai.c) Đúng.d) Đúng.
a) Sai. Vì H là trung điểm của AB nên AH = \(\frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).
b) Sai. A′H = \[\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\].
c) Đúng. V = SABCD. A′H = a2. \[\frac{{a\sqrt 7 }}{2}\] = \(\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{2}\).
d) Đúng. VA′ABD = \(\frac{1}{3}\). SABD. A′H = \(\frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 7 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{12}}\).
Thể tích khối hộp chữ nhật có chiều dài bằng 8 cm, chiều rộng 5 cm và chiều cao 6 cm là
Đáp án: 240
V = 8⋅5⋅6 = 240.
Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, biết mặt bên của khối lăng trụ là hình vuông và có chu vi bằng 8 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 3,46
Ta có: ABA′B′ là hình vuông cạnh a có chu vi bằng 4a = 8 hay a = 2 = AB = AA′.
Tam giác ABC đều nên SABC = \(\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \)
Vậy thể tích khối lăng trụ là V = AA′. SABC = \(2\sqrt 3 \)≈ 3,46.
Một khối hộp chữ nhật có tổng độ dài chiểu rộng, chiều dài, chiều cao là 18 cm. Tỉ số ba khích thước đó là 2 : 3 : 4. Thể tích của khối hộp là (đơn vị: cm3)
Đáp án: 192
Gọi ba kích thước lần lượt là 2x, 3x, 4x.
Ta có: 2x + 3x + 4x = 18
Suy ra 9x = 18 hay x = 2
Vậy V = 4⋅6⋅8 = 192 cm3.
Một tấm bìa hình vuông cạnh 50 cm. Người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 16 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Thể tích khối hộp chữ nhật đó là bao nhiêu cm3?
Đáp án: 5184
AA′ = BB′ = CC′ = DD′ = 16 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 50 – 2⋅16 = 18 cm.
VABCD.A′B′C′D′ = AB⋅AC⋅AD = 18⋅18⋅16 = 5184 cm3.
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có cạnh bên bằng AA′ = 12 và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60°, diện tích tam giác ABC bằng 36. Tính thể tích lăng trụ ABC.A′B′C′ (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 374
Giả sử đường cao là AH.
Vì cạnh bên AA′ tạo với đáy một góc 60° nên \[\widehat {AA'H} = 60^\circ \]
Xét tam giác vuông AA′H ta có: sin60° = \[\frac{{AH}}{{AA'}}\]
Do đó, AH = \(6\sqrt 3 \)
Vậy thể tích lăng trụ là: V = 36⋅\(6\sqrt 3 \)= \(216\sqrt 3 \)≈ 374.
