Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta dựng được hình chóp đều S.ADCM như hình vẽ.

Ta có OM = x ⇒ AC = 2x, \(AM = x\sqrt 2 \).

Gọi H là trung điểm của MC.

Suy ra OH là đường trung bình của ∆ACM ⇒ \(OH = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\) và \(MH = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có độ dài đường chéo hình vuông 20 cm là \(20\sqrt 2 \).

Suy ra \(SH = 10\sqrt 2 - \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Xét ∆SOH vuông tại O, \(SO = \sqrt {S{H^2} - H{O^2}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 - \frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - \frac{{{x^2}}}{2}} = \sqrt {20\left( {10 - x} \right)} \).

Do đó \({V_{S.ADCM}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ADCM}} = \frac{1}{3}\sqrt {20\left( {10 - x} \right)} .2{x^2}\)\( = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {40 - 4x} .{x^2}\).

Khi đó

\[V = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {40 - 4x} .{x^2}\]

\[ = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {\left( {40 - 4x} \right).x.x.x.x} \]

\[ \le \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {{{\left( {\frac{{\left( {40 - 4x} \right) + x + x + x + x}}{5}} \right)}^5}} \]\[ = \frac{{\sqrt {20} }}{3}.\sqrt {32768} \].

Dấu “=” xảy ra khi 40 – 4x = x ⇒ x = 8.

Đáp án đúng là: C

Thể tích của chiếc bánh là V = 15⋅15⋅6 = 1350 cm³.

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy của miếng pho mát là:

\[\]\(\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\) (cm²)

Thể tích của miếng pho mát là: 72⋅10 = 720 cm².

Vậy khối lượng của miếng pho mát là: 720⋅3 = 2160 (g).

Đáp án đúng là: D

Thể tích chân tháp là: V = \(\frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 4\) = 84 m³.

Số tiền cần dùng để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

84.1 500 000 = 126 000 000 (đồng).

Đáp án đúng là: D

Mô hình hóa đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi O là tâm của đáy

Tam giác SAC cân tại S nên SO ⊥ AC

Tam giác SBD cân tại S nên SO ⊥ BD

Suy ra SO ⊥ (ABCD)

ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có: AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \)

Suy ra AO = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O (vì SO ⊥ AC) ta có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Có: S_ABCD = AB² = a².

Vậy V_S.ABCD = \(\frac{1}{3}\)S_ABCD·SO = \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi x (m) là chiều dài cạnh hình vuông nhỏ tại mỗi góc của tấm tôn được cắt bỏ đi (với

0 < x < \(\frac{1}{2}\).

Thể tích hình hộp chữ nhật nhận được là:

V = (1 – 2x)²·x = \(\frac{1}{4}\)·(1 – 2x)·( 1 – 2x)·4x \( \le \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{1 - 2x + 1 - 2x + 4x}}{3}} \right)^3} = \frac{2}{{27}}\)

Dấu “=” xảy ra khi 1 – 2x = 4x \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{6}\). Vậy để thể tích chiếc thùng là lớn nhất thì các cạnh của hình vuông được cắt bỏ đi là \(\frac{1}{6}\) m.

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

a) Sai. Nếu đáy bể là hình vuông cạnh 50 m, lượng nước trong bể cao 1,5 m thì thể tích nước trong bể là V = 50²·1,5 = 3750 m³.

b) Đúng. Ta có: 2x·x·h = \(\frac{{256}}{3}\) suy ra h = \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\).

c) Sai. Nếu thể tích bể bằng \(\frac{{256}}{3}\) m³, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng bể là x (m) thì chiều cao bể theo x là :

2x·x·h = \(\frac{{256}}{3}\) suy ra h = \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) (m).

Chu vi đáy bể hình chữ nhật là: C = 2·(2x + x) = 6x (m)

Khi đó, diện tích xung quanh của bể là: S_xq = C·h = 6x· \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) = \(\frac{{256}}{x}\) (m²).

d) Sai. Nếu thể tích bể bằng \(\frac{{256}}{3}\) m³, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng bể là x (m) thì chiều cao bể theo x là :

2x·x·h = \(\frac{{256}}{3}\) suy ra h = \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) (m).

Theo ý b, diện tích xung quanh của bể là: S_xq = C·h = 6x· \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) = \(\frac{{256}}{x}\) (m²).

Diện tích đáy bể là: S_đáy = 2x·x = 2x².

Diện tích toàn phần của bể là: S_tp = S_{xq +} S_{đáy =} \(\frac{{256}}{x}\) + 2x².

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

a) Đúng. Vì H là trung điểm AB, O là trung điểm AC nên khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến trung điểm H của cạnh AB là:

OH = \(\frac{{BC}}{2} = \frac{3}{2}\)= 1,5 m.

b) Đúng. Có: (SAB) ∩ (ABCD) = AB

S ∈ (SAB) và SO ⊥ (ABCD) (Vì S.ABCD là hình chóp đều)

Suy ra SO ⊥ AB

Mà OH ⊥ AB nên AB ⊥ (SOH) suy ra AB ⊥ SH

Do đó, góc giữa (SAB) và (ABCD) là \(\widehat {SHO}\).

Mà theo giả thiết, góc tạo bởi mặt bên lều trại và mặt đáy bằng 60° nên ta có:

\(\widehat {SHO} = 60^\circ \)

SO = OH.tan 60° = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) m.

c) Sai. V = \(\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)m³.

d) Sai. V = \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)≈ 7,79 m³.

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Đúng.

a) Sai. Khối chóp thu được là khối chóp tứ giác đều.

b) Đúng. Diện tích đáy của khối chóp thu được là S = x².

c) Đúng. Thể tích của khối chóp thu được được tính theo công thức \[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\].

d) Đúng. Vì S = x² nên khi x tăng và chiều cao khối chóp giữ nguyên thì thể tích khối chóp tăng.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Đúng.

a) Đúng. Diện tích đáy lớn là: S₁ = 3² = 9 cm².

b) Sai. V = \(\frac{1}{3} \cdot \left( {9 + 1,{5^2} + \sqrt {9 \cdot 1,{5^2}} } \right) \cdot 3\)= 15,75 cm³.

c) Đúng. Thể tích nước cần cho một khay là: 6.15,75 = 94,5 cm³.

d) Đúng. Lượng nước cần dùng cho 4 khay đá là: 4·6·15,75 = 378 cm³.

Đáp án: a) Sai.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.

a) Sai. Khoảng cách từ tâm O của đáy đến đỉnh A ở đáy là OA = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

b) Sai. Chiều cao của hình chóp là \(SO' = \sqrt {S{{A'}^2} - O'{{A'}^2}} = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2}\).

c) Sai. Chiều cao của toàn bộ chiếc tháp là: SO′ + OO′ = \(\frac{{\sqrt {206} }}{2} + 12 \approx 19,2\)m.

d) Đúng. Thể tích hình hộp là: V₁ = 5²·12 = 300 m³

Chiều cao của khối chóp là \(SO' = \sqrt {S{{A'}^2} - O'{{A'}^2}} = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2}\).

Thể tích khối chóp: V₂ = \(\frac{1}{3} \cdot {S_{A'B'C'D'}} \cdot SO' = \frac{1}{3} \cdot {5^2} \cdot \frac{{\sqrt {206} }}{2}\)≈ 59,8 m³

Thể tích toàn bộ chiếc tháp làm tròn đến hàng đơn vị là: 300 + 59,8 ≈ 360 m³.

Đáp án: 3750

Thể tích nước trong hồ là V = 1,5·50² = 3750 m³.

Đáp án: 67,1

Nửa chu vi tam giác đáy: p = \(\frac{{7 + 7 + 4}}{2}\)= 9

Diện tích đáy: \(\sqrt {9\left( {9 - 7} \right)\left( {9 - 7} \right)\left( {9 - 4} \right)} = 6\sqrt 5 \)

Suy ra V = \(6\sqrt 5 \)·5 ≈ 67,1 cm³.

Đáp án: 749

Thể tích khối hộp chữ nhật là: V₁ = 8·8·6 = 384 dm³.

Gọi O là tâm của đáy.

Khoảng cách từ tâm O của đáy đến đỉnh A của đáy là: OA = \(\frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \)(dm)

Gọi S là đỉnh chóp.

Chiều cao khối chóp là: h = \(\sqrt {S{{C'}^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{18}^2} - {{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\sqrt {73} \)

Thể tích khối chóp là: V₂ = \(\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 2\sqrt {73} = \frac{{128\sqrt {73} }}{3}\)dm³

Vậy thể tích khối bê tông là: V = V₁ + V₂ = 384 + \(\frac{{128\sqrt {73} }}{3}\)≈ 749 dm³.

Đáp án: 8380

Kẻ D'H ⊥ BD tại H

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì A'B'C'D' là hình vuông có diện tích là 400 cm² nên \(A'B' = B'C' = C'D' = A'D' = \sqrt {400} = 20\) (cm)

Vì ABCD là hình vuông có diện tích là 900 cm² nên

\(AB = BC = CD = AD = \sqrt {900} = 30\) (cm)

Vì OO' ⊥ (ABCD) nên OO' ⊥ OH, OO' ⊥ (A'B'C'D') nên OO' ⊥ O'D'

Mà D'H ⊥ BD

Do đó, OHD'O' là hình chữ nhật

Suy ra OH = O'D', OO' ∥ HD' và OO' = HD'

Suy ra OH = O'D' = \[\frac{{20\sqrt 2 }}{2} = 10\sqrt 2 \]

Vì O' là trung điểm BD nên DO = \(\frac{{DB}}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{2} = 15\sqrt 2 \) (cm)

Ta có: HD = DO – OH = \(15\sqrt 2 - 10\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \)

Xét tam giác DHD' vuông tại H có:

D'H = \(\sqrt {D{{{\rm{D'}}}^2} - H{D^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = 5\sqrt 7 \)

Do đó, chiều cao chiếc sọt là: OO' = D'H = \(5\sqrt 7 \)

Thể tích của chiếc sọt là: V = \(\frac{1}{3}\left( {{{20}^2} + {{30}^2} + \sqrt {{{20}^2} \cdot {{30}^2}} } \right) \cdot 5\sqrt 7 \)≈ 8380 cm³.

Đáp án: 100

Gọi x (m) là chiều dài của hồ (x > 0)

Diện tích hình thang vuông là: \(\frac{{\left( {3 + 0,5} \right) \cdot x}}{2} = 1,75x\)

Thể tích hồ là: V = 1,75x·6 = 10,5x (m³)

Theo đề bài, ta có phương trình: 10,5x = 25·42

Suy ra x = 100 (thỏa mãn)

Vậy chiều dài hồ là 100 m.