Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Thể tích nước trong hồ là: V = 1,5.50² = 3750 m³.

Đáp án đúng là: C

Thể tích khối gỗ là: V = S.h = 0,25.1,2 = 0,3 (m³).

Vậy khối gỗ đó có giá là: 0,3.5 000 000 = 1 500 000 đồng.

Đáp án đúng là: A

Giả sử tấm bìa ban đầu có cạnh x (cm) (x > 12).

Khi đó đáy của chiếc hộp là hình vuông cạnh x – 12 (cm)

nên diện tích đáy là (x – 12)² (cm²).

Vì thể tích của chiếc hộp bằng 600 cm³ nên

(x – 12)².6 = 600 ⇒ x – 12 = 10 ⇒ x = 22. (vì x > 12).

Đáp án đúng là: D

Ta có S_ABCD = 3² = 9 dm².

S_A'B'C'D' = 2² = 4 dm².

Thể tích của khối chóp cụt là: \(V = \frac{1}{3}.4.\left( {9 + \sqrt {4.9} + 4} \right) = \frac{{76}}{3}\) dm³.

Đáp án đúng là: C

Thể tích của chiếc bánh chưng đó là V = 15.15.6 = 1350 cm³.

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy của khối lăng trụ là \(S = \frac{1}{2}.12.12 = 72\) (cm²).

Thể tích của khối lăng trụ là: V = S.h = 72.10 = 720 (cm³).

Khối lượng của miếng pho mát đó là: 720.3 = 2160 g.

Đáp án đúng là: A

Đổi 20 cm = 0,2 m, 10 cm = 0,1 m, 5 cm = 0,05 m.

Thể tích bồn chứa (gồm cả phần xây gạch) là V₁ = 5.1.2 = 10 m³.

Thể tích bồn chứa (phần xây gạch) là V₂ = 1.0,1.2 + (5 – 0,1).0,1.2 = 1,18 m³.

Thể tích thực của bồn chứa là V = V₁ – V₂ = 10 – 1,18 = 8,820 m³ = 8820 lít.

Thể tích mỗi viên gạch là 0,2.0,1.0,05 = 0,001 m³.

Suy ra cần số viên gạch là: \(\frac{{{V_2}}}{{0,001}} = \frac{{1,18}}{{0,001}} = 1180\) viên.

Đáp án đúng là: B

Thể tích chiếc hộp là V = x.x.h = x².h = 500 \[ \Rightarrow h = \frac{{500}}{{{x^2}}}\] (1).

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hộp (không nắp) là S_tp = S_đáy + S_{xung quanh} = x² + 4h.x (2).

Thay (1) vào (2), ta được: \({x^2} + 4x.\frac{{500}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{2000}}{x} = {x^2} + \frac{{1000}}{x} + \frac{{1000}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{{{1000}^2}}}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = \frac{{1000}}{x} \Leftrightarrow x = 10\).

Đáp án đúng là: A

Chu vi của mỗi ô vuông nhỏ là 4 cm nên độ dài mỗi cạnh nhỏ là 1 cm.

Do đó độ dài cạnh rubic là 3.1 = 3 cm.

Thể tích của khối rubic là 3.3.3 = 27 cm³.

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta dựng được hình chóp đều S.ADCM như hình vẽ.

Ta có OM = x Þ AC = 2x,$AM=x\sqrt{2}$ .

Gọi H là trung điểm của MC.

Suy ra OH là đường trung bình của DACM Þ $OH=\frac{x\sqrt{2}}{2}$ và  $MH=\frac{x\sqrt{2}}{2}$

Ta có độ dài đường chéo hình vuông 20 cm là $20\sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra khi 40 – 4x = x Þ x = 8.

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta dựng được hình chóp đều S.ADCM như hình vẽ.

Ta có OM = x ⇒ AC = 2x, \(AM = x\sqrt 2 \).

Gọi H là trung điểm của MC.

Suy ra OH là đường trung bình của ∆ACM ⇒ \(OH = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\) và \(MH = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có độ dài đường chéo hình vuông 20 cm là \(20\sqrt 2 \).

Suy ra \(SH = 10\sqrt 2 - \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Xét ∆SOH vuông tại O, \(SO = \sqrt {S{H^2} - H{O^2}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 - \frac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - \frac{{{x^2}}}{2}} = \sqrt {20\left( {10 - x} \right)} \).

Do đó \({V_{S.ADCM}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ADCM}} = \frac{1}{3}\sqrt {20\left( {10 - x} \right)} .2{x^2}\)\( = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {40 - 4x} .{x^2}\).

Khi đó

\[V = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {40 - 4x} .{x^2}\]

\[ = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {\left( {40 - 4x} \right).x.x.x.x} \]

\[ \le \frac{{\sqrt {20} }}{3}\sqrt {{{\left( {\frac{{\left( {40 - 4x} \right) + x + x + x + x}}{5}} \right)}^5}} \]\[ = \frac{{\sqrt {20} }}{3}.\sqrt {32768} \].

Dấu “=” xảy ra khi 40 – 4x = x ⇒ x = 8.

Đáp án đúng là: C

Thể tích của chiếc bánh là V = 15⋅15⋅6 = 1350 cm³.

Đáp án đúng là: A

Diện tích đáy của miếng pho mát là:

\[\]\(\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\) (cm²)

Thể tích của miếng pho mát là: 72⋅10 = 720 cm².

Vậy khối lượng của miếng pho mát là: 720⋅3 = 2160 (g).

Đáp án đúng là: D

Thể tích chân tháp là: V = \(\frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 4\) = 84 m³.

Số tiền cần dùng để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

84.1 500 000 = 126 000 000 (đồng).

Đáp án đúng là: D

Mô hình hóa đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi O là tâm của đáy

Tam giác SAC cân tại S nên SO ⊥ AC

Tam giác SBD cân tại S nên SO ⊥ BD

Suy ra SO ⊥ (ABCD)

ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có: AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \)

Suy ra AO = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O (vì SO ⊥ AC) ta có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Có: S_ABCD = AB² = a².

Vậy V_S.ABCD = \(\frac{1}{3}\)S_ABCD·SO = \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi x (m) là chiều dài cạnh hình vuông nhỏ tại mỗi góc của tấm tôn được cắt bỏ đi (với

0 < x < \(\frac{1}{2}\).

Thể tích hình hộp chữ nhật nhận được là:

V = (1 – 2x)²·x = \(\frac{1}{4}\)·(1 – 2x)·( 1 – 2x)·4x \( \le \frac{1}{4} \cdot {\left( {\frac{{1 - 2x + 1 - 2x + 4x}}{3}} \right)^3} = \frac{2}{{27}}\)

Dấu “=” xảy ra khi 1 – 2x = 4x \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{6}\). Vậy để thể tích chiếc thùng là lớn nhất thì các cạnh của hình vuông được cắt bỏ đi là \(\frac{1}{6}\) m.

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

a) Sai. Nếu đáy bể là hình vuông cạnh 50 m, lượng nước trong bể cao 1,5 m thì thể tích nước trong bể là V = 50²·1,5 = 3750 m³.

b) Đúng. Ta có: 2x·x·h = \(\frac{{256}}{3}\) suy ra h = \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\).

c) Sai. Nếu thể tích bể bằng \(\frac{{256}}{3}\) m³, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng bể là x (m) thì chiều cao bể theo x là :

2x·x·h = \(\frac{{256}}{3}\) suy ra h = \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) (m).

Chu vi đáy bể hình chữ nhật là: C = 2·(2x + x) = 6x (m)

Khi đó, diện tích xung quanh của bể là: S_xq = C·h = 6x· \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) = \(\frac{{256}}{x}\) (m²).

d) Sai. Nếu thể tích bể bằng \(\frac{{256}}{3}\) m³, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi chiều rộng bể là x (m) thì chiều cao bể theo x là :

2x·x·h = \(\frac{{256}}{3}\) suy ra h = \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) (m).

Theo ý b, diện tích xung quanh của bể là: S_xq = C·h = 6x· \(\frac{{128}}{{3{x^2}}}\) = \(\frac{{256}}{x}\) (m²).

Diện tích đáy bể là: S_đáy = 2x·x = 2x².

Diện tích toàn phần của bể là: S_tp = S_{xq +} S_{đáy =} \(\frac{{256}}{x}\) + 2x².

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

a) Đúng. Vì H là trung điểm AB, O là trung điểm AC nên khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến trung điểm H của cạnh AB là:

OH = \(\frac{{BC}}{2} = \frac{3}{2}\)= 1,5 m.

b) Đúng. Có: (SAB) ∩ (ABCD) = AB

S ∈ (SAB) và SO ⊥ (ABCD) (Vì S.ABCD là hình chóp đều)

Suy ra SO ⊥ AB

Mà OH ⊥ AB nên AB ⊥ (SOH) suy ra AB ⊥ SH

Do đó, góc giữa (SAB) và (ABCD) là \(\widehat {SHO}\).

Mà theo giả thiết, góc tạo bởi mặt bên lều trại và mặt đáy bằng 60° nên ta có:

\(\widehat {SHO} = 60^\circ \)

SO = OH.tan 60° = \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) m.

c) Sai. V = \(\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)m³.

d) Sai. V = \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)≈ 7,79 m³.

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Đúng.

a) Sai. Khối chóp thu được là khối chóp tứ giác đều.

b) Đúng. Diện tích đáy của khối chóp thu được là S = x².

c) Đúng. Thể tích của khối chóp thu được được tính theo công thức \[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\].

d) Đúng. Vì S = x² nên khi x tăng và chiều cao khối chóp giữ nguyên thì thể tích khối chóp tăng.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Đúng.

a) Đúng. Diện tích đáy lớn là: S₁ = 3² = 9 cm².

b) Sai. V = \(\frac{1}{3} \cdot \left( {9 + 1,{5^2} + \sqrt {9 \cdot 1,{5^2}} } \right) \cdot 3\)= 15,75 cm³.

c) Đúng. Thể tích nước cần cho một khay là: 6.15,75 = 94,5 cm³.

d) Đúng. Lượng nước cần dùng cho 4 khay đá là: 4·6·15,75 = 378 cm³.

Đáp án: a) Sai.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.

a) Sai. Khoảng cách từ tâm O của đáy đến đỉnh A ở đáy là OA = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

b) Sai. Chiều cao của hình chóp là \(SO' = \sqrt {S{{A'}^2} - O'{{A'}^2}} = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2}\).

c) Sai. Chiều cao của toàn bộ chiếc tháp là: SO′ + OO′ = \(\frac{{\sqrt {206} }}{2} + 12 \approx 19,2\)m.

d) Đúng. Thể tích hình hộp là: V₁ = 5²·12 = 300 m³

Chiều cao của khối chóp là \(SO' = \sqrt {S{{A'}^2} - O'{{A'}^2}} = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2}\).

Thể tích khối chóp: V₂ = \(\frac{1}{3} \cdot {S_{A'B'C'D'}} \cdot SO' = \frac{1}{3} \cdot {5^2} \cdot \frac{{\sqrt {206} }}{2}\)≈ 59,8 m³

Thể tích toàn bộ chiếc tháp làm tròn đến hàng đơn vị là: 300 + 59,8 ≈ 360 m³.

Đáp án: 3750

Thể tích nước trong hồ là V = 1,5·50² = 3750 m³.

Đáp án: 67,1

Nửa chu vi tam giác đáy: p = \(\frac{{7 + 7 + 4}}{2}\)= 9

Diện tích đáy: \(\sqrt {9\left( {9 - 7} \right)\left( {9 - 7} \right)\left( {9 - 4} \right)} = 6\sqrt 5 \)

Suy ra V = \(6\sqrt 5 \)·5 ≈ 67,1 cm³.

Đáp án: 749

Thể tích khối hộp chữ nhật là: V₁ = 8·8·6 = 384 dm³.

Gọi O là tâm của đáy.

Khoảng cách từ tâm O của đáy đến đỉnh A của đáy là: OA = \(\frac{{8\sqrt 2 }}{2} = 4\sqrt 2 \)(dm)

Gọi S là đỉnh chóp.

Chiều cao khối chóp là: h = \(\sqrt {S{{C'}^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{18}^2} - {{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\sqrt {73} \)

Thể tích khối chóp là: V₂ = \(\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 2\sqrt {73} = \frac{{128\sqrt {73} }}{3}\)dm³

Vậy thể tích khối bê tông là: V = V₁ + V₂ = 384 + \(\frac{{128\sqrt {73} }}{3}\)≈ 749 dm³.

Đáp án: 8380

Kẻ D'H ⊥ BD tại H

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì A'B'C'D' là hình vuông có diện tích là 400 cm² nên \(A'B' = B'C' = C'D' = A'D' = \sqrt {400} = 20\) (cm)

Vì ABCD là hình vuông có diện tích là 900 cm² nên

\(AB = BC = CD = AD = \sqrt {900} = 30\) (cm)

Vì OO' ⊥ (ABCD) nên OO' ⊥ OH, OO' ⊥ (A'B'C'D') nên OO' ⊥ O'D'

Mà D'H ⊥ BD

Do đó, OHD'O' là hình chữ nhật

Suy ra OH = O'D', OO' ∥ HD' và OO' = HD'

Suy ra OH = O'D' = \[\frac{{20\sqrt 2 }}{2} = 10\sqrt 2 \]

Vì O' là trung điểm BD nên DO = \(\frac{{DB}}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{2} = 15\sqrt 2 \) (cm)

Ta có: HD = DO – OH = \(15\sqrt 2 - 10\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \)

Xét tam giác DHD' vuông tại H có:

D'H = \(\sqrt {D{{{\rm{D'}}}^2} - H{D^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = 5\sqrt 7 \)

Do đó, chiều cao chiếc sọt là: OO' = D'H = \(5\sqrt 7 \)

Thể tích của chiếc sọt là: V = \(\frac{1}{3}\left( {{{20}^2} + {{30}^2} + \sqrt {{{20}^2} \cdot {{30}^2}} } \right) \cdot 5\sqrt 7 \)≈ 8380 cm³.

Đáp án: 100

Gọi x (m) là chiều dài của hồ (x > 0)

Diện tích hình thang vuông là: \(\frac{{\left( {3 + 0,5} \right) \cdot x}}{2} = 1,75x\)

Thể tích hồ là: V = 1,75x·6 = 10,5x (m³)

Theo đề bài, ta có phương trình: 10,5x = 25·42

Suy ra x = 100 (thỏa mãn)

Vậy chiều dài hồ là 100 m.