Bài tập Thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều lớp 11 (có lời giải)
35 câu hỏi
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
V = 40;
V = 192;
V = 32;
V = 24.
Đáp án đúng là: C
Vì AB2 + AC2 = BC2 (62 + 82 = 102) nên DABC vuông tại A.
Khi đó .
Do đó .
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
V = 40;
V = 192;
V = 32;
V = 24.
Đáp án đúng là: C
Vì AB2 + AC2 = BC2 (62 + 82 = 102) nên ∆ABC vuông tại A.
Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\).
Do đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.4.24 = 32\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh .Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Đáp án đúng là: B
Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA ^ (ABCD). Do đó chiều cao khối chóp là .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD = AB.BC = 2a2.
Vậy thể tích khối chóp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SA = a\sqrt {15} \). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
\(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{6}\);
\(V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\);
\(V = 2{a^3}\sqrt {15} \);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA ⊥ (ABCD). Do đó chiều cao khối chóp là \(SA = a\sqrt {15} \).
Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD = AB.BC = 2a2.
Vậy thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo athể tích V của khối chóp S.ABC.
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ^ AB (do DSAB đều).
Do (SAB) ^ (ABC) theo giao tuyến AB nên SH ^ (ABC).
Tam giác SAB là đều cạnh a nên .
Tam giác vuông ABC, có .
Diện tích tam giác vuông .
Vậy .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\);
\(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB (do ∆SAB đều).
Do (SAB) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ (ABC).
Tam giác SAB là đều cạnh a nên \[SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Tam giác vuông ABC, có \[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \].
Diện tích tam giác vuông \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\].
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
V = 2a3;
Đáp án đúng là: B
Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI ^ AB.
Do (SAB) ^ (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI ^ (ABCD).
Tam giác vuông SIA, có
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD = a2.
Vậy
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\);
V = 2a3;
\(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI ⊥ AB.
Do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI ⊥ (ABCD).
Tam giác vuông SIA, có
\(SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD = a2.
Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.\]
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
Đáp án đúng là: B
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ^ (ABC).
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì DABC đều nên
Tam giác SAI vuông tại I, có
Diện tích tam giác ABC là
Vậy thể tích khối chóp
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {13} }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{6}\);
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ⊥ (ABC).
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ∆ABC đều nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\[\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]
Tam giác SAI vuông tại I, có
\[SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\]
Diện tích tam giác ABC là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\]
Vậy thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.\]
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: D
Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a .
Thể tích khối chóp
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
\(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\);
\(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);
\(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
\(h = a\sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: D
Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a \[ \Rightarrow \,\,{S_{\Delta ABC}} = {a^2}\sqrt 3 \].
Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.h \Rightarrow h = \frac{{3.{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}\sqrt 3 }} = a\sqrt 3 .\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AC = 5a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
V = 2a3.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác vuông ABC, ta có .
Vì SA ^ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là AB.
Do đó .
Tam giác vuông SAB, có .
Diện tích hình chữ nhật
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AC = 5a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
\(V = 6\sqrt 2 {a^3}\);
\(V = 4\sqrt 2 {a^3}\);
\(V = 2\sqrt 2 {a^3}\);
V = 2a3.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác vuông ABC, ta có \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2\sqrt 6 a\).
Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là AB.
Do đó \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).
Tam giác vuông SAB, có \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \).
Diện tích hình chữ nhật \[{S_{ABCD}} = AB.BC = 2\sqrt 6 {a^2}.\]
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = 2\sqrt 2 {a^3}.\)
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, , SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
V = 3a3;
V = a3;
Đáp án đúng là: C
Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC mà BC ^ AB Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.
Vì nên góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là
Tam giác vuông SAB, có .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Vậy thể tích khối chóp
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, \[AD = a\sqrt 3 \], SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
V = 3a3;
\(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\);
V = a3;
\(V = \frac{{{a^3}}}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \bot BC;{\rm{ }}AB \bot BC\end{array} \right.\) nên góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SBA} = 60^\circ \)
Tam giác vuông SAB, có \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \).
Diện tích hình chữ nhật ABCD là \[{S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 3 .\]
Vậy thể tích khối chóp \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = {a^3}.\)
Một khối chóp cụt đều có chiều cao bằng 6a, diện tích của hai đáy lần lượt bằng 4a2 và 9a2 thì có thể tích bằng
V = 38a3;
V = 76a3;
V = 114a3;
.
Đáp án đúng là: A
Ta có .
Một khối chóp cụt đều có chiều cao bằng 6a, diện tích của hai đáy lần lượt bằng 4a2 và 9a2 thì có thể tích bằng
V = 38a3;
V = 76a3;
V = 114a3;
\(V = \frac{{19{a^3}}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(V = \frac{1}{3}.6a.\left( {4{a^2} + \sqrt {4{a^2}.9{a^2}} + 9{a^2}} \right) = 38{a^3}\).
Tính thể tích của hình chóp cụt đều có kích thước như trong hình
V = 185 m3;
Đáp án đúng là: B
Diện tích đáy lớn là: S = 16 (m2).
Diện tích đáy bé là: S' = 9 (m2).
Thể tích khối chóp cụt là: (m3).
Tính thể tích của hình chóp cụt đều có kích thước như trong hình
V = 185 m3;
\(V = \frac{{185}}{3}{m^3}\);
\(V = \frac{{185}}{2}{m^3}\);
\(V = \frac{{845}}{3}\) m3.
Đáp án đúng là: B
Diện tích đáy lớn là: S = 16 (m2).
Diện tích đáy bé là: S' = 9 (m2).
Thể tích khối chóp cụt là: \[S = \frac{1}{3}h.\left( {S + \sqrt {S.S'} + S'} \right) = \frac{1}{3}.5.\left( {16 + \sqrt {16.9} + 9} \right) = \frac{{185}}{3}\] (m3).
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là
V = S⋅h.
V = \(\frac{1}{3}\)⋅S⋅h.
V = \(\frac{1}{2}\)⋅S⋅h.
V = 3⋅S⋅h.
Đáp án đúng là: B
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V = \(\frac{1}{3}\).S.h.
Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy nhỏ S′ và chiều cao h là
\[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right) \cdot h\].
\[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {S + S' + S \cdot S'} \right) \cdot h\].
\[V = \left( {S + S' + S \cdot S'} \right) \cdot h\].
\[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {S - S' - \sqrt {S \cdot S'} } \right) \cdot h\].
Đáp án đúng là: A
Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy nhỏ S′ và chiều cao h là\[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right) \cdot h\].
Cho khối chóp tam giác có ba cạnh bên đôi một vuông góc. Nếu độ dài ba cạnh bên đó lần lượt là a, b, c thì thể tích của khối chóp được tính theo công thức nào sau đây?
\[V = \frac{1}{3}abc\].
\[V = \frac{1}{2}abc\].
\[V = abc\].
\[V = 3abc\].
Đáp án đúng là: A
Thể tích của khối chóp tam giác có ba cạnh bên đôi một vuông góc có độ dài lần lượt là a, b, c là \[V = \frac{1}{3}abc\].
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}\).
\[V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\].
V = 2a3.
\[V = \frac{{2{a^3}}}{3}\].
Đáp án đúng là: B
Gọi H là trung điểm của cạnh AB
\( \Rightarrow \,SH \bot AB\).
Mặt khác \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\, \Rightarrow \,SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
\(SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
\({S_{ABCD}} = {a^2}\).
Do đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {15} }}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\).
Cho khối chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng 6a, BC = 3a,
B′C′ = 2a. Thể tích của khối chóp cụt ABC.A′B′C′ là
\(\frac{{21{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{19{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
\[8{a^3}\sqrt 3 \].
\[10{a^3}\sqrt 3 \].
Đáp án đúng là: B
Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a nên ta có:
\[{S_{ABC}} = \frac{{{{\left( {3a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
Vì A′B′C′ là tam giác đều cạnh 2a nên ta có:
\[{S_{A'B'C'}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \]
Do đó:
\[\begin{array}{l}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {{S_{ABC}} + {S_{A'B'C'}} + \sqrt {{S_{ABC}} \cdot {S_{A'B'C'}}} } \right) \cdot 6a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\sqrt 3 + \sqrt {\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot {a^2}\sqrt 3 } } \right) \cdot 6a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{19{a^3}\sqrt 3 }}{2}\end{array}\]
Cho khối chóp cụt đều ABC.A′B′C′. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Hai tam giác ABC và A′B′C′ luôn bằng nhau.
Hai đáy ABC và A′B′C′ nằm trên hai mặt phẳng song song.
BB′ = CC′.
Khối chóp cụt đều ABC.A′B′C′ có hai đáy là hai tam giác đều đồng dạng.
Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Đúng.
a) Sai. Hai đáy của khối chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng.
b) Đúng. Khối chóp cụt đều có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
c) Đúng. Khối chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau.
d) Đúng. Khối chóp cụt đều có hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng.
Cho khối chóp có diện tích đáy S, chiều cao h. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Thể tích khối chóp bằng \(\frac{1}{3}\).S.h.
Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng gấp đôi diện tích đáy thì thể tích tăng gấp đôi.
Nếu giữ nguyên diện tích đáy và giảm một nửa chiều cao thì thể tích giảm một nửa.
Thể tích khối chóp luôn bằng thể tích lăng trụ có cùng diện tích đáy và chiều cao.
Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Đúng.d) Sai.
a) Đúng. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V = \(\frac{1}{3}\).S.h.
b) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với diện tích đáy khi chiều cao h không đổi.
c) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao h khi diện tích đáy không đổi.
d) Sai. Thể tích khối chóp bằng \(\frac{1}{3}\) thể tích lăng trụ.
Cho khối chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông cạnh 6 cm, đáy nhỏ là hình vuông cạnh 3 cm và chiều cao là 4 cm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Diện tích đáy lớn của hình chóp cụt bằng 36 cm2.
Thể tích của khối chóp cụt đều là 96 cm3.
Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao lên 8cm thì thể tích của hình chóp cụt đều bằng 168 cm3.
Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao thêm 2 cm thì thể tích tăng thêm 36 cm3.
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.
a) Đúng. Diện tích đáy lớn của hình chóp cụt là: 62 = 36 cm2.
b) Sai. Thể tích khối chóp cụt đều là: \[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 4 = 84\] cm3.
c) Đúng. Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao lên 8cm thì thể tích của hình chóp cụt đều bằng \[V' = \frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 8 = 168\] cm3.
d) Sai. Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao thêm 2 cm thì thể tích tăng thêm \[V' = \frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 2 = 42\].
Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 6 cm, chiều cao SO = 4 cm (O là trọng tâm tam giác ABC). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Diện tích đáy của khối chóp bằng \(9\sqrt 3 \) cm2.
Thể tích khối chóp đều bằng \(12\sqrt 3 \) cm3.
Nếu chiều dài cạnh đáy tăng gấp đôi và chiều cao giữ nguyên thì thể tích tăng gấp đôi.
Nếu cạnh đáy và chiều cao cùng tăng gấp đôi thì thể tích tăng gấp 4.
Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.
a) Đúng. S△ABC = \(\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \).
b) Đúng. V = \(\frac{1}{3} \cdot 9\sqrt 3 \cdot 4 = 12\sqrt 3 \).
c) Sai. Nếu chiều dài cạnh đáy tăng gấp đôi và chiều cao giữ nguyên thì thể tích khối chóp là: \(V' = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{{12}^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 = \frac{{144\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{\frac{{144\sqrt 3 }}{3}}}{{12\sqrt 3 }} = 4\). Vậy Nếu chiều dài cạnh đáy tăng gấp đôi và chiều cao giữ nguyên thì thể tích khối chóp tăng gấp 4.
d) Sai. Nếu cạnh đáy và chiều cao cùng tăng gấp đôi thì thể tích khối chóp là:
\(V' = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{{12}^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot 8 = \frac{{288\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(\frac{{V'}}{V} = \frac{{\frac{{288\sqrt 3 }}{3}}}{{12\sqrt 3 }} = 8\)
Vậy Nếu cạnh đáy và chiều cao cùng tăng gấp đôi thì thể tích khối chóp tăng gấp 8.
Cho hai khối chóp S.ABCD và S′.A′B′C′D′ có cùng chiều cao và có diện tích đáy lần lượt là 24 cm2 và 36 cm2. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABCD và S′.A′B′C′D′ là \(\frac{2}{3}\).
Khối chóp S′.A′B′C′D′ có thể tích nhỏ hơn khối chóp S.ABCD.
Nếu tăng chiều cao hai khối chóp lên 5 cm thì tỉ số thể tích vẫn bằng \(\frac{2}{3}\).
Nếu tăng gấp 3 diện tích đáy của cả hai khối chóp thì tỉ số thể tích thay đổi.
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.
a) Đúng. Vì hai khối chóp có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng \(\frac{{24}}{{36}} = \frac{2}{3}\).
b) Sai. Vì 36 > 24 nên khối chóp S′.A′B′C′D′ có thể tích lớn hơn khối chóp S.ABCD.
c) Đúng. Vì chiều cao của hai khối vẫn bằng nhau nên nếutăng chiều cao hai khối chóp lên 5 cm thì tỉ số thể tích vẫn bằng \(\frac{2}{3}\).
d) Sai. Nếu tăng gấp 3 diện tích đáy của cả hai khối chóp thì tỉ số thể tích không đổi.
Thể tích khối chóp có độ dài đường cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8 là
Đáp án: 16
Ta có: V = \(\frac{1}{3}\).S.h = \(\frac{1}{3}\).8.6 = 16.
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Đáp án: 32
Ta có: AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102 = BC2
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Do đó diện tích tam giác ABC là: SABC = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = \(\frac{1}{2}\).6.8 = 24
Vậy VS.ABC = \(\frac{1}{3}\). SABC.SA = \(\frac{1}{3}\).4.24 = 32.
Cho hình chóp cụt đều trong đó hai mặt đáy là hai tam giác đều có diện tích lần lượt là S và S′, S′ = 9S, chiều cao hình chóp cụt đều là 3 cm, thể tích của khối chóp cụt đều bằng 169 cm3. Tính diện tích S′. (đơn vị: cm3)
Đáp án: 117
Vì S′ = 9S nên ta có: \[\frac{1}{3} \cdot \left( {S + 9S + \sqrt {9{S^2}} } \right) \cdot 3\]= 10S + 3S = 13S
Do đó 13S = 169
Suy ra S = 13 cm2
Vậy S′ = 9.13 = 117 cm2.
Người ta định đào một cái hầm dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135°. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 291
Ta có góc nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ là 135° nên góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
180° − 135° = 45°
Hiệu khoảng cách từ tâm đến cạnh của hai đáy là
\(\frac{{14 - 10}}{2}\)= 2 (m)
Suy ra chiều cao hình chóp cụt là:
h = 2.tan45° = 2 (m).
Diện tích hai đáy:
S1= 142 = 196, S2 = 102 = 100
Thể tích hình chóp cụt là:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {196 + 100 + \sqrt {196 \cdot 100} } \right) \cdot 2\]≈ 291 m3.
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh 20 cm, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA = 30 cm. Gọi B′, D′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB′D′) cắt SC tại C′. Tính thể tích khối chóp S.AB′C′D′ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 1466
Có: VS.ABCD = \(\frac{1}{3}\).SA.SABCD = \(\frac{1}{3}\).30.202 = 4000 (cm3)
Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, ta có BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ AB'.
Mà SB ⊥ AB' (do B' là hình chiếu của A lên SB), suy ra AB' ⊥ (SBC) suy ra AB' ⊥ SC.
Tương tự, ta có AD' ⊥ SC. Từ đó suy ra SC ⊥ (AB'D').
Vì C' là giao điểm của SC với mặt phẳng (AB'D') nên AC' ⊥ SC.
\[\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \frac{{{{30}^2}}}{{{{30}^2} + {{20}^2} + {{20}^2}}} = \frac{9}{{17}}\]
\[\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \frac{{{{30}^2}}}{{{{30}^2} + {{20}^2}}} = \frac{9}{{13}}\]
Ta có: \[\frac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{2{V_{SAC'D'}}}}{{2{V_{SACD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}} \cdot \frac{{SC'}}{{SC}} \cdot \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SC'}}{{SC}} \cdot \frac{{SD'}}{{SD}}\]
\[{V_{S.AB'C'D'}} = \frac{9}{{17}} \cdot \frac{9}{{13}} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{{81}}{{221}} \cdot 4000\]≈ 1466 cm3.
