Trắc nghiệm Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông tâm O. Góc giữa (SBD) và (ABCD) là
\(\widehat {SOA}\).
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SDA}\).
\(\widehat {SOC}\).
A
Ta có \(BD \bot AC\) và BD ^ SA nên BD ^ (SAC) Þ BD ^ SO.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot AC\\BD = \left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa AC và SO là \(\widehat {SOA}\) (do DSAC vuông tại A).
Cho các đường thẳng \(a,b\) và các mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow b{\rm{//}}\left( \alpha \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\\a \subset \left( \alpha \right)\\b \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\).
A
\(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Cho đường thẳng \[a\] không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \[a\] và vuông góc với \[\left( \alpha \right)\].
\[2\].
\[0\].
Vô số.
\[1\].
D
Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và vuông góc với (α).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương.
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật.
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương.
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
B
Các mệnh đề đúng
Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi và \(SB\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\)?
\(\left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) và \(SA = SC,\)\(SB = SD\). Mệnh đề nào sau đây sai?
\(SC \bot \left( {SBD} \right)\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
A
Từ giả thiết suy ra \[SO \bot AC;SO \bot BD\]\[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\] mà \(SO \subset \left( {SBD} \right),\)\(SO \subset \left( {SAC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right);\)\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Vậy \(SC \bot \left( {SBD} \right)\) là mệnh đề sai.
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), mệnh đề nào sau đây sai ?
\(\left( {ABB'} \right)\,\, \bot \,\left( {ACC'} \right)\).
\(\left( {AC'M} \right)\,\, \bot \,\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {AMC'} \right)\,\, \bot \,\left( {BCC'} \right)\).
\(\left( {ABC} \right)\, \bot \,\left( {ABA'} \right)\).
B
Có AB ^ AC, AA' ^ AB Þ AB ^ (AA'C'C) Þ(ABB'A') ^ (AA'C'C) Þ \(\left( {ABB'} \right)\,\, \bot \,\left( {ACC'} \right)\).
AM ^ BC, AM ^ CC' Þ AM ^ (BCC'B') Þ \(\left( {AMC'} \right)\,\, \bot \,\left( {BCC'} \right)\).
Có \(\left( {ABC} \right)\, \bot \,\left( {ABB'A'} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right)\, \bot \,\left( {ABA'} \right)\). Do đó đáp án B sai.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[B\], \[AB = BC = a\], \[SA = a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] là
\({45^{\rm{o}}}\).
\({60^{\rm{o}}}\).
\({90^{\rm{o}}}\).
\({30^{\rm{o}}}\).
B
Ta có \[BC \bot \left( {SAB} \right)\]\[ \Rightarrow BC \bot SB\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] là góc \[\widehat {SBA}\]. \[\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}}\]\[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a}\]\[ = \sqrt 3 \]\[ \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^{\rm{o}}}\].
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ^ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Xác định góc nhị diện [M, SO, D].
\(\widehat {MOD}\).
\(\widehat {SOM}\).
\(\widehat {SOD}\).
\(\widehat {MOA}\).
A
![Xác định góc nhị diện [M, SO, D]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/05/16-1748660807.png)
Vì SO ^ (ABCD) nên OM, OD cùng vuông góc với SO.
Do đó \(\widehat {MOD}\) là một góc phẳng nhị diện [M, SO, D].
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) và \(AB = a\sqrt 2 \). Biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\)
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
B
Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\) mà BC ^ SA nên BC ^ (SAM) Þ BC ^ SM.
Suy ra \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).
Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} = 2a\) Þ \(AM = \frac{{BC}}{2} = a\).
Ta có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ)
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?
A'D'.
AC'.
AB'.
AC.
A
Vì A'D' ^ (ABB'A') nên A'D' ^ AB.
Tính chất nào sau đây không phải tính chất của hình lăng trụ đứng?
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.
Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng song song và bằng nhau.
Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau.
A
Đáp án A sai vì các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật không phải là những hình bình hành.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = \(a\sqrt 3 \). M là trung điểm của AC.
a) SA ^ BC.
b) BM ^ (SAC).
c) Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
d) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc có số đo là 30°.
a) Vì SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC.
b) SA ^ (ABC) Þ SA ^ BM (1).
DABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC nên BM ^ AC (2).
Từ (1) và (2), suy ra BM ^ (SAC).
c) Hai mặt phẳng này không vuông góc với nhau.
d) Vì SA ^ BC và BC ^ AB Þ BC ^ (SAB) Þ BC ^ SB.
Có (SBC) Ç (ABC) = BC mà AB ^ BC, SB ^ BC Þ ((SBC), (ABC)) = (SB, AB) = \(\widehat {SBA}\).
Xét DSAB vuông tại A, \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) AA' ^ (ABCD).
b) AC ^ B'D'.
c) Góc giữa hai đường thẳng BA' và CD bằng 45°.
d) Diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác A'BC' lên mặt phẳng (ABCD) bằng a2.
a) Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông nên AA' ^ AB và AA' ^ AD Þ AA' ^ (ABCD).
b) Ta có AC // A'C' mà A'C' ^ B'D' Þ AC ^ B'D'.
c) Có CD // AB Þ (BA', CD) = (BA', BA) = \(\widehat {ABA'} = 45^\circ \) (do ABB'A' là hình vuông).
d) Hình chiếu vuông góc của tam giác A'BC' lên mặt phẳng (ABCD) là tam giác ABC.
Diện tích hình vuông ABCD là a2 suy ra diện tích tam giác ABC là \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng \(2a\) và cạnh bên bằng \(3a\). Khi đó:
a) Gọi \(M\) là trung điểm A'B', ta có \(C'M = a\sqrt 2 \).
b) Góc phẳng nhị diện [C, A'B', C'] bằng 60°.
c) Gọi \(K\) là trung điểm \(AB\),\(M\) là trung điểm A'B', khi đó: A'B' ^ MK.
d) Góc phẳng nhị diện [A, A'B', C] bằng 30°.
a) Gọi \(M\) là trung điểm A'B', suy ra C'M ^ A'B' (do tam giác A'B'C' đều).
Ta có: \(C'M = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
b) Mặt khác CC' ^ A'B' (do ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng).
Suy ra A'B' ^ (CMC') hay A'B' ^ CM.
Vậy \(\left( {CM,C'M} \right) = \widehat {CMC'}\) là góc phẳng nhị diện [C, A'B', C'] .
Suy ra \(\tan \widehat {CMC'} = \frac{{CC'}}{{C'M}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {CMC'} = 60^\circ \).
c) Gọi \(K\) là trung điểm \(AB\) thì \(MK\) là đường trung bình của hình chữ nhật \(ABB'A' \Rightarrow MK//AA' \Rightarrow A'B' \bot MK\).
d) ta lại có A'B' ^ CM (câu a).
Vậy \((MK,CM) = \widehat {CMK}\) là góc phẳng nhị diện [A, A'B', C'] với \(\widehat {CMK} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó
a) Độ dài đường chéo của hình lập phương là 3a.
b) Hai mặt phẳng (ACC'A') và (BDD'C') vuông góc nhau.
c) Hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD) là A'C.
d) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C'] là \(\widehat {COC'}\).
a) Độ dài đường chéo \(AC' = \sqrt {A{C^2} + A{{A'}^2}} = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} + A{{A'}^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \).
b) Ta có AC ^ BD (do ABCD là hình vuông).
AC ^ BB' (tính chất của hình lập phương).
Nên AC ^ (BDD'B') suy ra (ACC'A') ^ (BDD'C').
c) Vì CC' ^ (ABCD) nên C là hình chiếu của C' trên (ABCD).
Vậy AC là hình chiếu của AC' trên (ABCD).
d) Ta có BD ^ AC, BD ^ CC' Þ BD ^ (ACC'A') Þ BD ^ C'O.
Vì BD ^ CO và BD ^ C'O nên \(\widehat {COC'}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C'].
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SA \bot (ABC)\). Khi đó:
a) \((SAC) \bot (ABC)\).
b) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Khi đó: \((SAH) \bot (SBC)\).
c) \(\left( {AB,SC} \right) = 60^\circ \)
d) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SC\). Khi đó: \(\left( {(ABK),(SBC)} \right) = 60^\circ \).
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot (ABC)}\\{(SAC) \supset SA}\end{array} \Rightarrow (SAC) \bot (ABC)} \right.\).
b) Có SA ^ BC (do SA ^ (ABC)) và AH ^ BC Þ BC ^ (SAH).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot (SAH)}\\{(SBC) \supset BC}\end{array} \Rightarrow (SBC) \bot (SAH)} \right.\).
c) Có SA ^ AB, AB ^ AC Þ AB ^ (SAC) Þ AB ^ SC.
d) Hạ \(AK \bot SC\) và AB ^ SC, nên \(SC \bot (ABK)\).
Vậy ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \bot (ABK)}\\{(SBC) \supset SC}\end{array} \Rightarrow (SBC) \bot (ABK)} \right.\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một khối gỗ có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng AB = 10 cm, BC = 15 cm và góc giữa hai mặt phẳng (BCD'A'), (ABCD) bằng 30°. Tổng diện tích tất cả các mặt của khối gỗ đó đạt bao nhiêu cm2? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BC = \left( {BCD'A'} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\BC \bot AB\\BC \bot A'B\left( {BC \bot \left( {ABB'A'} \right)} \right)\end{array} \right.\]Þ ((BCD'A'), (ABCD)) = (AB, A'B) = \(\widehat {ABA'} = 30^\circ \).
Tam giác A'AB vuông tại A có \(\tan \widehat {ABA'} = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Tổng diện tích của sáu mặt khối gỗ là: \(2\left( {10.15 + 10.\frac{{10\sqrt 3 }}{3} + 15.\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right) \approx 589\) cm2.
Trả lời: 589.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B có \(AC = a\sqrt 3 \), cạnh bên AA' = 3a. Góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABC) bằng bao nhiêu độ?
Ta có hình chiếu của A'C lên (ABC) là AC.
Nên (A'C, (ABC)) = (A'C, AC) = \(\widehat {A'CA}\).
Ta có \(\tan \widehat {A'CA} = \frac{{A'A}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {A'CA} = 60^\circ \).
Do vậy (A'C, (ABC)) = 60°.
Trả lời: 60.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy nhỏ là 1 cm, cạnh đáy lớn là 2 cm và chiều cao là 3 cm. Tính độ dài cạnh bên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Kẻ C'H ^ OC.
Ta có: \(HC = OC - OH = \frac{{2\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow C'C = \sqrt {C'{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {38} }}{2}\) ≈ 3,1
Vậy độ dài cạnh bên của hình chóp cụt đã cho là 3,1 cm.
Trả lời: 3,1.
Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng \(8,2\;cm\) và đáy của nó có hai kích thước là \(8,5\;cm;10,5\;cm\) (xem hình vẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện [A, B'D', A'] (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
![Tìm góc phẳng nhị diện [A, B'D', A'] (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần mười). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/05/31-1748661368.png)
Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), kẻ A'H ^ B'D' tại \(H\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B'D' \bot A'H}\\{B'D' \bot AA'\left( {{\rm{do }}AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow B'D' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'D' \bot AH} \right.\).
Do đó \(\widehat {AHA'}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,B'D',A'} \right]\).
Tam giác A'B'D' vuông tại A' có đường cao A'H nên
\(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{{B'}^2}}} + \frac{1}{{A'{{D'}^2}}} \Rightarrow A'H = \frac{{A'B' \cdot A'D'}}{{\sqrt {A'{{B'}^2} + A'{{D'}^2}} }} = \frac{{357}}{{2\sqrt {730} }}{\rm{. }}\)
Tam giác \(AHA'\) vuông tại \(A'\) có:
\(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{{8,2}}{{\frac{{357}}{{2\sqrt {730} }}}} \Rightarrow \widehat {AHA'} \approx 51,1^\circ \).
Trả lời: 51,1.
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Tính góc phẳng nhị diện \([M,BD,A]\)?
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Þ SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BD.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot OM} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(MBD) \cap (ABD) = BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} (MBD),MO \bot BD \Rightarrow [M,BD,A] = \widehat {MOA}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} (ABD),AO \bot BD}\end{array}} \right.\)
Xét \(\Delta MOC\) có: \(OM = MC = \frac{a}{2},OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
nên \(\Delta MOC\) vuông cân tại \(M\)\( \Rightarrow \widehat {MOC} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {MOA} = 135^\circ \).
Trả lời: 135.
