Bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm cạnh AC. Suy ra BH ⊥ AC.

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BH mà BH ⊥ AC nên BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC.

Kẻ HK ⊥ SC tại K.

Do HK ⊥ SC và BH ⊥ SC nên SC ⊥ (BHK) ⇒ SC ⊥ BK.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng $\widehat{HKB}=\phi$.

Vì ∆ABC vuông cân tại B nên $BH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét ∆SAC vuông tại A, có $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$.

Vì ∆CKH đồng dạng với ∆CAS (góc - góc) nên $\frac{CH}{CS}=\frac{HK}{SA}\Rightarrow HK=\frac{CH.SA}{CS}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vì BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK.

Xét tam giác BHK vuông tại H, có $tan\phi =\frac{BH}{HK}=\sqrt{3}\Rightarrow \phi =60°$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD

Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD (1)

Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD (2)

Từ (1), (2) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD tại D

Ta có: AD ⊂ (ABCD) và AD ⊥ CD tại D; SD ⊂ (SCD) và SD ⊥ CD tại D

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SD và AD, tức là góc \(\widehat {SDA}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC)

Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc \(\widehat {SBA}\) = 30°

Xét △SAB vuông tại A, ta có: SA = AB ⋅ tan\(\widehat {SBA}\) = 2a ⋅ tan30° = \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Gọi H là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC và AH = \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Mặt khác, BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) nên BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH

(SBC) ∩ (ABC) = BC. Vì AH ⊥ BC và SH ⊥ BC nên góc giữa (SBC) và (ABC) là góc

x = \(\widehat {SHA}\)

Xét tam giác SAH vuông tại A, ta có: tan x = tan = \(\frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}}}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{2}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC

Gọi H là trung điểm của cạnh BC

Vì △ABC vuông cân tại A ⇒ AH ⊥ BC tại H (1)

Mặt khác, do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Từ AH ⊥ BC, SA ⊥ BC, mà AH và SA cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAH)

⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH tại H (2).

Từ (1), (2) ⇒ ((SBC), (ABC)) = (SH, AH) = \(\widehat {SHA}\)

Xét △ABC vuông cân tại A:

BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC:

⇒ AH = \(\frac{{BC}}{2}\) = \(\frac{{2a}}{2}\) = a

Do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AH ⇒ △SAH vuông tại A

⇒ tan\(\widehat {SHA}\) = \(\frac{{SA}}{{AH}}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1 ⇒ \(\widehat {SHA}\) = 45°.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của cạnh BC

Ta có OB = OC nên trong tam giác cân OBC, đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao ⇒ OI ⊥ BC (1)

Mặt khác, OA ⊥ OB, OA ⊥ OC

Vì OB và OC là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (OBC), nên OA ⊥ (OBC)

⇒ OA ⊥ BC (2)

Từ (1), (2) ⇒ BC ⊥ (AOI)

Lại có: AB = AC nên trong tam giác cân ABC, đường trung tuyến AI đồng thời là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

Có: AI ⊂ (ABC) và AI ⊥ BC; OI ⊂ (OBC) và OI ⊥ BC

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) chính là góc \(\widehat {OIA}\)

Xét tam giác OBC vuông tại O:

BC = \(\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} \) = \(\sqrt {6{a^2} + 6{a^2}} \) = 2a\(\sqrt 3 \) (định lý Pytago)

Do I là trung điểm của BC: OI = \(\frac{{BC}}{2}\) = \(a\sqrt 3 \)

Vì OA ⊥ (OBC), OI ⊂ (OBC) ⇒ OA ⊥ OI ⇒ tam giác OAI vuông tại O

⇒ tan\(\widehat {OIA}\) = \(\frac{{OA}}{{OI}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ \(\widehat {OIA}\) = 30°.

Đáp án đúng là: B

Ta có: SA ⊥ (ABCD)⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ BC

Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB ⊥ BC

⇒ SA ⊥ BC, AB ⊥ BC, mà SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB)

Mặt khác, (SAB) ∩ (SBC) = SB, (SAB) ∩ (ABCD) = AB

⇒ ((SBC), (ABCD)) = (SB, AB) = \(\widehat {SBA}\) = 60°

Vì SA ⊥ AB ⇒ Tam giác SAB vuông tại A

Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tan\(\widehat {SBA}\) = \(\frac{{SA}}{{AB}}\) = \(\frac{x}{a}\)

Do \(\widehat {SBA}\) = 60° ⇒ tan60° = \(\frac{x}{a}\) ⇒ x = \(a\sqrt 3 \).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Sai. Góc φ giữa hai mặt phẳng có số đo thỏa mãn 0° ≤ φ ≤ 90°.

c) Sai. Khi hai mặt phẳng song song thì góc giữa chúng bằng 0°.

d) Đúng. Khi hai mặt phẳng trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông) và BC ⊥ SA

⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, mà SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB

Lại có: (SAB) ∩ (SBC) = SB, (SAB) ∩ (ABCD) = AB

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SBA}\).

b) Sai. Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD; AD ⊥ CD

⇒ CD ⊥ (SAD)

Lại có: (SAD) ∩ (SCD) = SD, (SAD) ∩ (ABCD) = AD

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\)

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD và SA = AD = a ⇒ tam giác SAD vuông cân tại A

⇒ \(\widehat {SDA}\) = 45°.

c) Đúng. Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD

Trong hình vuông, hai đường chéo vuông góc nên AC ⊥ BD

Vì O ∈ AC, nên AO ⊥ BD

⇒ BD ⊥ SA, BD ⊥ AO, mà SA và AO cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAO), nên BD ⊥ (SAO)

Lại có: (SAO) ∩ (SBD) = SO, (SAO) ∩ (ABCD) = AO

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là \(\widehat {SOA}\).

d) Đúng. Theo câu c), góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là \(\widehat {SOA}\)

Vì SA ⊥ AO, nên tam giác SAO vuông tại A

Xét tam giác vuông SAO: tan\(\widehat {SOA}\) = \(\frac{{SA}}{{AO}}\) = \(\frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}\) = \(\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC, AB ⊥ BC

⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, mà SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB)

Lại có: (SAB) ∩ (SBC) = SB, (SAB) ∩ (ABCD) = AB

Do đó góc giữa (SBC) và (ABCD) là β = \(\widehat {SBA}\)

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA = AB = a ⇒ Tam giác SAB vuông cân tại A

⇒ β = \(\widehat {SBA}\) = 45°.

b) Sai. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD

Mà ABCD là hình chữ nhật ⇒ AD ⊥ CD

⇒ CD ⊥ SA, CD ⊥ AD, mà SA và AD cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAD)

⇒ CD ⊥ (SAD)

Mặt khác, (SAD) ∩ (SCD) = SD, (SAD) ∩ (ABCD) = AD

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\) = α

Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ Tam giác SAD vuông tại A

Xét tam giác vuông SAD tại A: tan α = \(\frac{{SA}}{{AD}}\) = \(\frac{a}{{a\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ α = 30°.

c) Đúng. Theo câu b), góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\) = α

Xét tam giác vuông SAD tại A:

SD = \(\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} \) = 2a (định lý Pytago)

⇒ sin α = sin\(\widehat {SDA}\) = \(\frac{{SA}}{{SD}}\) = \(\frac{a}{{2a}}\) = \(\frac{1}{2}\).

d) Đúng. Theo câu a), b): β = 45°, α = 30°

⇒ β > α.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có SA⊥(ABC) nên SA ⊥ BC

Vì ABC là tam giác đều nên M là trung điểm của BC, do đó AM ⊥ BC

⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AM, mà SA và AM cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAM)

⇒ BC ⊥ (SAM). Mà SM ⊂ (SAM) ⇒ SM ⊥ BC

Ta có: SM ⊂ (SBC), SM ⊥ BC và AM ⊂ (ABC), AM ⊥ BC

⇒ Góc giữa (SBC) và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng SM và AM, tức là góc \(\widehat {SMA}\).

b) Đúng. Theo chứng minh câu a), ta có góc giữa (SBC) và (ABC) chính là góc \(\widehat {SMA}\)

⇒ α = \(\widehat {SMA}\).

c) Sai. Theo câu a), ta có: α = \(\widehat {SMA}\)

Vì tam giác ABC đều cạnh a ⇒ AM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AM ⇒ △SAM vuông tại A

Xét tam giác vuông SAM (vuông tại A): tan α = \(\frac{{SA}}{{AM}}\) = \(\frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ≠ \(\sqrt 3 \).

d) Đúng. Theo câu c), tan α = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ⇒ α = 30°.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là tứ diện đều nên các mặt đều là tam giác đều

⇒ AM ⊥ BC (vì M là trung điểm của BC trong tam giác đều ABC) và DM ⊥ BC (vì M là trung điểm của BC trong tam giác đều BCD)

Mà AM ⊂ (ABC) và DM ⊂ (BCD)

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa (ABC) và (BCD) là góc α = \(\widehat {AMD}\).

b) Sai. Ta có: (ABC) ∩ (ACD) = AC

Vì N là trung điểm của CD nên AN ⊥ CD (trong tam giác đều ACD);

BN ⊥ CD (trong tam giác đều BCD)

⇒ AN và BN đều vuông góc với CD, không phải vuông góc với giao tuyến AC

⇒ \(\widehat {ANB}\) không phải là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD).

c) Đúng. Theo câu a), α = \(\widehat {AMD}\)

Xét tam giác AMD: AM = DM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), AD = a.

Áp dụng định lí côsin: AD² = AM² + DM² – 2 ⋅ AM ⋅ DM ⋅ cos α

⇔ a² = 2\({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\) – 2\({\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\)cos α ⇔ a² = \(\frac{{3{a^2}}}{2}\)(1 – cos α) ⇔ 1 – cos α = \(\frac{2}{3}\)

⇔ cos α = \(\frac{1}{3}\).

d) Đúng. Theo câu c), cos α = \(\frac{1}{3}\)

Vì cos 60° = \(\frac{1}{2}\) > \(\frac{1}{3}\), mà hàm số cosx nghịch biến trên khoảng (0°; 180°), nên α > 60°.

Đáp án: 0,6

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB mà AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ (SAC)

Kẻ AH ⊥ SC tại H

Vì AB ⊥ (SAC) ⇒ AB ⊥ SC mà AH ⊥ SC

⇒ AB ⊥ SC, AH ⊥ SC, mà AB và AH cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (ABH)

⇒ SC ⊥ (ABH) ⇒ SC ⊥ BH

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) chính là góc giữa hai đường thẳng AH và BH, tức là góc \(\widehat {AHB}\)

Xét ∆SAC vuông tại A có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}}\)

⇒ AH = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vì AB ⊥ (SAC) ⇒ AB ⊥ AH

Xét ∆ABH vuông tại A, ta có:

BH = \(\sqrt {A{B^2} + A{H^2}} \) = \(\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) (định lý Pytago)

⇒ cos\(\widehat {AHB}\) = \(\frac{{AH}}{{BH}}\) = \(\frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) ≈ 0,6.

Đáp án: 60

Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD

Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD

Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD

Do CD ⊥ SA, CD ⊥ AD, mà SA và AD cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAD)

⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ SD ⊥ CD

Ta có: AD ⊂ (ABCD), AD ⊥ CD và SD ⊂ (SCD), SD ⊥ CD

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là \(\widehat {SDA}\)

Vì SA ⊥ (ABCD), AD ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ Tam giác SAD vuông tại A

Xét tam giác vuông SAD (vuông tại A), ta có: tan\(\widehat {SDA}\) = \(\frac{{SA}}{{AD}}\) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{a}\) = \(\sqrt 3 \)

⇒ \(\widehat {SDA}\) = 60°.

Đáp án: 12

Ta có: (SBD) ∩ (ABCD) = BD

Gọi O là giao điểm của AC và BD (tâm của hình vuông ABCD)

Vì ABCD là hình vuông ⇒ AC ⊥ BD. Mà AO ⊂ AC ⊂ (ABCD) ⇒ AO ⊥ BD

Mặt khác, do SA ⊥ (ABCD nên SA ⊥ BD.

Vì BD ⊥ AO và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAO) ⇒ BD ⊥ SO

Ta có:

AO ⊂ (ABCD) và AO ⊥ BD

SO ⊂ (SBD) và SO ⊥ BD

(SBD) ∩ (ABCD) = BD

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là α = \(\widehat {SOA}\)

Trong hình vuông ABCD cạnh a, đường chéo AC = \(a\sqrt 2 \) nên: AO = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AO ⇒ △SAO vuông tại A

Xét tam giác SAO vuông tại A, ta có: tan α = \(\frac{{SA}}{{AO}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}\) = 2

Vậy P = 3tan² α = 3 ⋅ 2² = 12.

Đáp án: 1,2

Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC

Gọi H là trung điểm của BC

Vì ABC là tam giác đều nên AH ⊥ BC

Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Do BC ⊥ SA, BC ⊥ AH, mà SA và AH cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAH)

⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ SH ⊥ BC

Ta có: AH ⊂ (ABC), SH ⊂ (SBC) và AH ⊥ BC, SH ⊥ BC

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là \(\widehat {SHA}\)

Vì tam giác ABC đều cạnh a, AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AH nên tam giác SAH vuông tại A

Xét tam giác SAH vuông tại A: tan\(\widehat {SHA}\) = \(\frac{{SA}}{{AH}}\) = \(\frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\) = \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\) = \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) ≈ 1,2.

Đáp án: 6,93

Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC

Vì △ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC

Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Do BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, mà SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SB ⊥ BC

Ta có: AB ⊂ (ABC), SB ⊂ (SBC) và AB ⊥ BC, SB ⊥ BC

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là \(\widehat {SBA}\) = 60°

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ △SAB vuông tại A

Xét △SAB (vuông tại A), ta có:

tan\(\widehat {SBA}\) = \(\frac{{SA}}{{AB}}\) ⇔ tan 60° = \(\frac{{SA}}{4}\) ⇔ \(\sqrt 3 \) = \(\frac{{SA}}{4}\) ⇔ SA = \(4\sqrt 3 \) ≈ 6,93.