Bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCDvới đáy ABCDlà hình vuông có cạnh 2a, SA=a6 và vuông góc với đáy. Góc giữa (SBD)và (ABCD) bằng
90°;
30°;
45°;
60°.
Đáp án đúng là: D
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.
Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.
Mà SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD.
Lại có AO ^ BD nên BD ^ (SAC) ⇒ BD ^ SO.
Do đó góc giữa (SBD)và (ABCD) bằng SOA^.
Xét ∆ABC vuông tại B, có AC=AB2+BC2=2a2.
Mà O là trung điểm AC nên AO=AC2=a2 .
Xét ∆SAO vuông tại A, tanSOA^=SAAO=a6a2=3⇒SOA^=60° .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,ABC^=60°, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).
3
23
36
12
Đáp án đúng là: B
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ∆SBC đều nên SM ^ BC, SM=2a32=a3.
Ta có (SBC) ^ (ABC) và SM ^ BC ⇒ SM ^ (ABC) ⇒ SM ^ AC.
Gọi N là trung điểm của AC ⇒ MN // AB mà AB ^ AC suy ra MN ^ AC.
Ta có SM ^ AC và MN ^ AC ⇒ AC ^ (SMN) ⇒ AC ^ SN .
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng SNM^.
Xét ∆ABC vuông tại A, có AB = BC∙cos60° = a.
Vì MN là đường trung bình của ∆ABC nên MN=AB2=a2.
Xét ∆SMN vuông tại M, tanSNM^=SMMN=23.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO=a32. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
30°;
45°
60°;
90°.
Đáp án đúng là: C
Vì SO ^ (ABCD) nên SO ^ BC.
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ OM ^ BC.
Vì SO ^ BC và OM ^ BC nên BC ^ (SOM) ⇒ BC ^ SM.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng SMO^ .
Vì OM là đường trung bình của ∆ABC nên OM=AB2=a2.
Xét ∆SOM vuông tại O, có tanSMO^=SOOM=3⇒SMO^=60°
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2, BC=23, cạnh bên SA=32 và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC).
413
134
1
22
Đáp án đúng là: B
Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ CM.
Kẻ AH ^ CM tại H.
Vì SA ^ CM và AH ^ CM nên CM ^ (SAH) ⇒ CM ^ SH
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC) bằng .
Vì M là trung điểm của AB nên BM=AB2=1.
Xét ∆CBM vuông tại B, có CM=BM2+BC2=12+232=13 .
Ta có S∆ABC = 2S∆CMA nên 12AB.BC=2.12AH.CM⇒23=AH.13⇒AH=2313.
Xét ∆SAH vuông tại A, tanSHA^=SAAH=134 .
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SA=a3 , SA ^ (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là
45°;
60°;
90°;
30°.
Đáp án đúng là: B
Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AB ^ BC (do tam giác ABC vuông cân tại B) nên BC ^ (SAB) ⇒ BC ^ SB.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SBA^ .
Xét ∆SAB vuông tại A, tanSBA^=SAAB=a3a=3⇒SBA^=60° .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác ABC là cân tại C, AC = a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC=a3 và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
30°;
60°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: B
Vì SAB⊥ABCDSAC⊥ABCDSAB∩SAC=SA⇒SA⊥ABCD .
Kẻ CK ^ AB tại K.
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).
Do đó hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB) là SK.
Do đó .
Xét ∆SCK vuông tại K, có CK = SC.sin30° = a32.
Vì tam giác ABC cân tại C mà CK=a32 nên tam giác ABC đều.
Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC, SA ^ AB.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng BAC^=60°.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a3. Góc tạo bởi (SAB) và (SCD) bằng
30°;
60°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Vì S∈SAB∩SCDAB//CD⇒SAB∩SCD=SxSx//AB//CD.
Vì SA ^ (ABCD) ⇒ SA ^ AB, SA ^ CD.
Vì SA ^ AB mà AB // Sx nên SA ^ Sx.
Vì SA ^ CD mà CD ^ AD nên CD ^ (SAD) ⇒ CD ^ SD mà CD // Sx nên SD ^ Sx.
Do đó góc tạo bởi (SAB) và (SCD) bằng .
Xét ∆SAD vuông tại A, có tanDSA^=ADSA=aa3=13⇒DSA^=30°.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a;AD=a32 . Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết . Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng:
30°;
60°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: B
Gọi H là trung điểm của AB, theo đề ra ta được SH ^ (ABCD).
Dựng T, K lần lượt là hình chiếu của H lên SA, SB ⇒ HT ^ SA, HK ^ SB.
Vì SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ AD, SH ^ BC.
Vì SH ^ AD mà AD ^ AB ⇒ AD ^ (SAB) ⇒ AD ^ HT
Mà HT ^ SA ⇒ HT ^ (SAD).
Tương tự, HK ^ (SBC).
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng KHT^.
Vì tứ giác SKHT có SKH^+STH^=180° nên tứ giác SKHT là tứ giác nội tiếp.
Suy ra KST^+KHT^=180° mà KST^=120° nên KHT^=60°.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có BAD^=120°. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết đường cao của khối chóp là SH=a63 và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SCD).
30°;
60°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: C
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = BC = a và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
30°;
60°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: B
Gọi H là trung điểm cạnh AC. Suy ra BH ^ AC.
Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BH mà BH ^ AC nên BH ^ (SAC) ⇒ BH ^ SC.
Kẻ HK ^ SC tại K.
Do HK ^ SC và BH ^ SC nên SC ^ (BHK) ⇒ SC ^ BK.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng HKB^=φ .
Vì ∆ABC vuông cân tại B nên BH=12AC=12AB2+AC2=a22.
Xét ∆SAC vuông tại A, có SC=SA2+AC2=a2+2a2=a3 .
Vì ∆CKH đồng dạng với ∆CAS (góc - góc) nên CHCS=HKSA⇒HK=CH.SACS=a66.
Vì BH ^ (SAC) ⇒ BH ^ HK.
Xét tam giác BHK vuông tại H, có tanφ=BHHK=3⇒φ=60°.
