10 Bài tập Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc phẳng nhị diện [A', BD, A] bằng 30° . Tính độ dài cạnh AA'.
2a33
a3
a36
a33
Đáp án đúng là: D
![Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc phẳng nhị diện [A', BD, A] bằng 30 . Tính độ dài cạnh AA'. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/blobid0-1709102754.png)
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.
Vì AA' ^ (ABCD) ⇒ AA' ^ BD mà AO ^ BD nên BD ^ (AOA') ⇒ BD ^ A'O.
Khi đó: A'BD∩ABD=BDA'O⊥BDAO⊥BD⇒A',BD,A=A'OA^=30°.
Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD mà O là tâm hình vuông nên AO=AC2=a.
Xét DA'AO vuông tại A, ta có:tanA'OA^=AA'AO⇒AA'=13.a=a33.
Xét các mệnh đề sau:
(1) Hình hộp là hình lăng trụ đứng.
(2) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
(3) Hình lập phương là hình lăng trụ đứng.
(4) Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
4;
3;
2;
1.
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề (1) sai. Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng?
(AB'C) ^ (B'BD);
(AB'C) ^ (BA'C');
(AB'C) ^ (D'BC);
(AB'C) ^ (D'AB).
Đáp án đúng là: A
Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AC (1).
Do ABCD là hình vuông nên BD ^ AC (2).
Từ (1) và (2), suy ra AC ^ (BB'D) mà AC Ì (AB'C) nên (AB'C) ^ (BB'D).
Chohình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Diện tích của thiết diện là:
33a22
3a24
33a24
3a216
Đáp án đúng là: C
Gọi M là trung điểm BC, khi đó MA=MC'=a2+a22=a52 nên M thuộcmặt phẳng trung trực của AC'. Tương tự ta cũng có các điểm N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm DC, DD', D'A', A'B', B'B và cũng thuộc mặt phẳng trung trực.
Vậy thiết diện cần tìm là lục giác đều MNPQRS.
Có MN=a24+a24=a22 .
Do đó diện tích của lục giác đều bằng 6.a222.34=334a2
Chohình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh bên bằng a và ADD'A' là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:
a;
2a2
3a3
a2
Đáp án đúng là: D
Tổng số đo các góc của hình lục giác là 720°. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là 120° ⇒FAB^=120° .
Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:
AD là tia phân giác của góc FAB^ và EDC^. ⇒FAD^=FAB^2=60°
Tam giác AFD vuông tại F có FAD^=60° và AD = a ta suy ra: cosFAD^=AFAD⇒AF=AD.cosFAD^=a.cos60°=a.12=a2.
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC') có số đo bằng 60°. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
3a
a3
2a
a2
Đáp án đúng là: B
Ta có: (ABCD) Ç (ABC') = AB.
Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AB mà AB ^ BC ⇒ AB ^ (BB'C'C) ⇒ AB ^ BC'.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC') bằng góc giữa hai đường thẳng BC và BC'.
Mà (BC, BC') = CBC'^=60°.
Xét DCBC' vuông tại C, có tanCBC'^=CC'CB⇒CC'=CB.tanCBC'^=a.tan60°=a3 .
Cho hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
13
13
12
12
Đáp án đúng là: B
Hình chóp tam giác đều A.BCD có H là trọng tâm của tam giác đáy BCD và DH cắt BC tại I.
Ta có AH ^ (BCD) ⇒ AH ^ BC (1).
Tam giác BCD đều và H là trọng tâm của tam giác BCD nên DI ^ BC (2).
Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AHI) ⇒ BC ^ AI.
Do đó góc giữa mặt bên (ABC) và mặt đáy (BCD) là AIH^.
Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên AI là đường cao và AI=a32.
Tam giác BCD đều có H là trọng tâm nên IH=13DI=a36.
Có AH ^ (BCD) nên tam giác AIH vuông tại H. Khi đó cosAIH^=IHAH=13.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và chiều cao SO=32AB . Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy.
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: B
.
Vì SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ AB mà OI ^ AB nên AB ^ (SOI) ⇒ AB ^ SI.
Do đó góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) là .
Vì OI là đường trung bình của DABC nên OI=BC2=a2 vàSO=32AB=32a.
Xét DSOI vuông tại O, có tanSIO^=SOOI=32a12a=3⇒SIO^=60°.
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho AM=3a4 . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là:
2;
12
32
22
Đáp án đúng là: C
Gọi D là trung điểm của BC.
Vì DABC đều nên AD ^ BC và AD=a32.
Vì AA' ^ (ABC) nên AM ^ BC mà AD ^ BC ⇒ BC ^ (ADM) ⇒ BC ^ MD.
Do đó góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là MDA^ .
Xét DMAD vuông tại A, có tanα=AMAD=3a4.2a3=32.
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính độ dài đường cao SH của khối chóp
SH=a32
SH=a23
SH=a2
SH=a32
Đáp án đúng là: C
Vì S.ABC là hình chóp đều nên SH ^ (ABC) (H là trọng tâm DABC).
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì ABC là tam giác đều nên AI ^ BC (1) và AI=a32.
Mà SH ^ (ABC) nên SH ^ BC (2).
Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (SAI) ⇒ BC ^ SI.
Do đó góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SIH^=60°.
Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên HI=13AI=a36.
Xét DSHI vuông tại H, có SH = HI.tan60° = a36.3=a2 .
