Bài tập Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Tam giác BCD cân tại B có I là trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ BI (1).

Tam giác ACD cân tại A có I là trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ AI (2).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là \(\widehat {AIB}\). Suy ra đáp án B đúng.

(1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

Mà CD ⊂ (BCD) ⇒ (BCD) ⊥ (ABI). Suy ra đáp án C đúng.

CD ⊂ (ACD) ⇒ (ACD) ⊥ (ABI). Suy ra đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì SA ⊥ (ABC) mà SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABC). Do đó đáp án A đúng.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB mà AB ⊥ AC suy ra AB ⊥ (SAC).

Lại có AB ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (SAC). Do đó đáp án B đúng.

Có AH ⊥ BC và BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) do đó BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat {SHA}\). Do đó đáp án C đúng.

Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì AB ⊥ (BCD) nên AB ⊥ CD mà BE ⊥ CD suy ra CD ⊥ (ABE).

Lại có CD ⊂ (ADC) nên (ADC) ⊥ (ABE). Do đó đáp án A đúng.

Vì AB ⊥ (BCD) nên AB ⊥ DF mà DF ⊥ BC suy ra DF ⊥ (ABC) ⇒ DF ⊥ AC.

Lại có DK ⊥ AC nên AC ⊥ (DFK).

Mặt khác AC ⊂ (ADC) suy ra (ADC) ⊥ (DFK). Do đó đáp án B đúng.

Vì CD ⊥ (ABE) mà CD ⊂ (BCD) suy ra (BDC) ⊥ (ABE). Do đó đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.

Do SB ⊥ (ABCD) ⇒ SB ⊥ AC mà AC ⊥ BD nên AC ⊥ (SBD).

Lại có AC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (SBD).

Đáp án đúng là: A

Vì ∆ABC cân tại B, BI là đường trung tuyến nên BI đồng thời là đường cao.

Suy ra BI ⊥ AC.

Mà SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BI mà BI ⊥ AC nên BI ⊥ (SAC) ⇒ BI ⊥ SC (1).

Lại có IH ⊥ SC (2).

Từ (1) và (2, suy ra SC ⊥ (BIH) mà SC ⊂ (SBC). Do đó (BIH) ⊥ (SBC).

Đáp án đúng là: A

+) Vì BM là trung tuyến của tam giác vuông cân ABC nên BM ⊥ AC.

+) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BM mà BM ⊥ AC nên BM ⊥ (SAC) ⇒ (SBM) ⊥ (SAC).

+) Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC (do ∆ABC vuông cân) nên BC ⊥ (SAB).

Mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

Đáp án đúng là: A

Gọi O là giao điểm của AC, BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (1).

Vì SA = SC nên ∆SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao hay SO ⊥ AC (2).

Từ (1) và (2), suy ra AC ⊥ (SBD) mà AC ⊂ (ABCD) nên (SBD) ⊥ (ABCD).

Đáp án đúng là: A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì AC = BC nên ∆ACB cân tại C, CI là trung tuyến nên CI ⊥ AB (1).

Vì AD = BD nên ∆ADB cân tại D, DI là trung tuyến nên DI ⊥ AB (2).

Từ (1) và (2), suy ra ((ABC), (ABD)) = (DI, CI) = \(\widehat {CID}\).

Để (ABC) ⊥ (ABD) thì \(\widehat {CID} = 90^\circ \) hay \[IJ = \frac{1}{2}CD\] (1).

Vì BC = BD nên ∆BCD cân tại B, BJ là trung tuyên nên BJ ⊥ CD.

Vì \(\left. \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\BJ \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow BJ \bot \left( {ACD} \right) \Rightarrow BJ \bot AJ\).

Do đó ∆BIJ vuông tại J, mà JI là trung tuyến nên \[IJ = \frac{{AB}}{2}\] (2).

Vì AC = AD = BC = BD nên ∆BIJ vuông cân tại J.

Do đó \(AB = \sqrt 2 BJ\) mà \(BJ = \sqrt {B{D^2} - D{J^2}} = \sqrt {B{D^2} - \frac{{C{D^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (3).

Từ (1), (2) và (3), ta có: \(x = \frac{{\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} }}{2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.

Do ∆SAB đều nên SI ⊥ AB (1).

Lại có (SAB) ⊥ (ABCD) mà (SAB) ∩ (ABCD) = AB nên SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ BC.

Lại có BC ⊥ AB mà SI ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

Tương tự, (SAD) ⊥ (SAB).

Vì AB // CD mà SI ⊥ AB nên SI ⊥ CD.

Lại có IJ ⊥ CD nên CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ SJ (2).

Vì \(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB//CD\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx(Sx//AB//CD)\) (3).

Từ (1), (2), (3), ta có: ((SAB), (SCD)) = (SI, SJ) = \[\widehat {{\rm{IS}}J} \ne 90^\circ \].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA}\\{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SA} \right. \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Gọi H là trung điểm của BC và ∆ABC vuông cân ⇒ AH ⊥ BC

mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ (SBC) ⊥ (SAH).

Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)

Thì suy ra O ∈ SH.

Khi đó góc giữa (SBC) và (ABC) là góc \(\widehat {SHA}\).

Vậy đáp án B đúng.

Đáp án đúng là: A

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AC

Mặt khác: SA, AC ⊂ (SAC)

Tuy nhiên, để (SAB) ⊥ (SAC) ⇒ mặt phẳng (SAB) phải chứa một đường thẳng vuông góc với (SAC)

Ta có: SA ⊂ (SAC), nên SA không thể vuông góc với (SAC)

AB ⊥ SA, nhưng AB không vuông góc với AC, nên AB không vuông góc với (SAC)

SB cũng không vuông góc với (SAC)

⇒ (SAB) không vuông góc với (SAC).

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình vuông nên BC ⊥ AB

Mặt khác, vì SA ⊥ (ABCD), BC ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB, SA cùng nằm trong mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Ta có: BC ⊂ (SBC)

Do BC ⊥ (SAB) và BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau ⇒ AC ⊥ BD (1)

Do SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD (2)

Mà AC và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAC) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ BD ⊥ (SAC)

Mà BD ⊂ (SBD)

Do đó, (SAC) ⊥ (SBD).

Đáp án đúng là: B

Vì △ABC vuông tại A ⇒ AB ⊥ AC

Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB

Do AB ⊥ AC, AB ⊥SA và hai đường thẳng SA và AC cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (SAC)

⇒ AB ⊥ (SAC). Mà AB ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (SAC).

Đáp án đúng là: A

B. Vì AB ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)), AB ⊥ AD (do ABCD là hình thang vuông tại A, D)

AD, SA ⊂ (SAD), AD ∩ SA = A

⇒ AB ⊥ (SAD). Mà AB ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (SAD).

C. Vì SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABCD)

D. Vì CD ⊥ AD (ABCD là hình thang vuông tại A và D), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

AD, SA ⊂ (SAD), AD ∩ SA = A

⇒ CD ⊥ (SAD). Mà DC ⊂ (SCD) ⇒ (SAD) ⊥ (SCD)

A. Vì trong các đường thẳng thuộc (SBD), không có đường thẳng nào vuông góc với (SAC) ⇒ (SBD) không vuông góc với (SAC).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Theo định nghĩa, nếu góc giữa hai mặt phẳng bằng 90° thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

b) Đúng. Theo định nghĩa: m, n lần lượt thuộc (P), (Q); m, n cùng đi qua O ∈ Δ; m ⊥ Δ, n ⊥ Δ

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa hai đường thẳng m và n.

c) Sai. Theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng thỏa mãn 0° ≤ φ ≤ 90°.

d) Đúng.

Theo định nghĩa: góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng m và n

Do đó: (P) ⊥ (Q) ⇔ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90° ⇔ m ⊥ n.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo giả thiết: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC

Mà hai đường thẳng OB và OC cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (OBC)

⇒ OA ⊥ (OBC).

b) Đúng. Từ câu a), ta có: OA ⊥ (OBC)

Mà OA ⊂ (OAB)

Mặt phẳng (OAB) chứa đường thẳng OA vuông góc với mặt phẳng (OBC)

⇒ (OAB) ⊥ (OBC).

c) Đúng. Từ câu a), ta có: OA⊥ (OBC)

Mà OA ⊂ (OAC)

Mặt phẳng (OAC) chứa đường thẳng OA vuông góc với mặt phẳng (OBC)

⇒ (OAC) ⊥ (OBC).

d) Sai. Ta có: (OAB) ∩ (OAC) = OA

Theo giả thiết: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC

Mà OB không vuông góc với mặt phẳng (OAC), OC không vuông góc với mặt phẳng (OAB)

⇒ Mặt phẳng(OAB) không vuông góc với mặt phẳng (OAC).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khi ABCD là hình vuông, ta có AC ⊥ BD

Lại có: SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD

Do BD ⊥ AC, BD ⊥ SO, hai đường thẳng AC và SO cắt nhau tại O và cùng thuộc mặt phẳng (SAC)

⇒ BD ⊥ (SAC). Mà BD ⊂ (SBD)

⇒ (SAC) ⊥ (SBD).

b) Đúng. Ta có: (SAC) ∩ (SBD) = SO

Vì SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

Do đó, AC và BD lần lượt là hai đường thẳng nằm trong các mặt phẳng (SAC), (SBD) và cùng vuông góc với giao tuyến SO.

Và theo câu a), do (SAC) ⊥ (SBD) nên góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°

⇒ AC ⊥ BD.

c) Sai. Ta có: (SAB) ∩ (SBC) = SB

Để kết luận hai mặt phẳng vuông góc, cần chứng minh một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại

Mà AB không vuông góc với mặt phẳng (SBC) hoặc BC không vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Vì vậy không thể kết luận (SAB) ⊥ (SBC).

d) Đúng. Ta có: SO ⊂ (SBD)

Mặt khác: SO ⊥ (ABCD)

⇒ (SBD) ⊥ (ABCD).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB

Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

Do BC ⊥ AB, BC ⊥ SA, hai đường thẳng SA và AB cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB). Mà BC ⊂ (SBC)

⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

b) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật ⇒ CD ⊥ AD

Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD

Do CD ⊥ AD, CD ⊥ SA, hai đường thẳng SA và AD cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAD)

⇒ CD ⊥ (SAD). Mà CD ⊂ (SCD)

⇒ (SCD) ⊥ (SAD).

c) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật ⇒ CD ⊥ AD

Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD

Do CD vuông góc với hai đường thẳng SA, AD cắt nhau trong mặt phẳng (SAD)

⇒ CD ⊥ (SAD). Mà AD′ ⊂ (SAD) ⇒ CD ⊥ AD′

Do D′ là hình chiếu của A trên SD ⇒ AD′ ⊥ SD

Mà AD′ ⊥ SD, AD′ ⊥ CD, hai đường thẳng SD và CD cắt nhau tại D, cùng nằm trong mặt phẳng (SCD)

⇒ AD′ ⊥ (SCD). Vì AD′ ⊂ (AB′D′)

⇒ (AB′D′) ⊥ (SCD).

d) Đúng. Ta có: BC ⊥ AB; SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

Mà hai đường thẳng SA và AB cắt nhau tại A, cùng nằm trong mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB). Mà AB′ ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB′

Lại có: vì B′ là hình chiếu của A trên SB ⇒ AB′ ⊥ SB

Do AB′ ⊥ SB, AB′ ⊥ BC, hai đường thẳng SB và BC cắt nhau tại B, cùng nằm trong mặt phẳng (SBC)

⇒ AB′ ⊥ (SBC). Mà AB′ ⊂ (AB′D′)

⇒ (AB′D′) ⊥ (SBC).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo giải thiết: (SAB) ⊥ (ABC), (SAC) ⊥ (ABC) và (SAB) ∩ (SAC) = SA

⇒ SA ⊥ (ABC).

b) Đúng. Theo câu a), SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Vì tam giác ABC vuông tại B ⇒ AB ⊥ BC

Do BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, hai đường thẳng SA và AB cắt nhau tại A và cùng thuộc mặt phẳng (SAB)

⇒ BC ⊥ (SAB). Mà BC ⊂ (SBC)

⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

c) Đúng. Theo câu b), (SBC) ⊥ (SAB), (SBC) ∩ (SAB) = SB

Vì AH ⊂ (SAB), AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC)

Mà AH ⊂ (AHC) ⇒ (AHC) ⊥ (SBC).

d) Sai. Ta có: (SAC) ∩ (SBC) = SC

(SAC) ⊥ (SBC) ⇔ một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại

Mà không có đường thẳng nào thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia

⇒ Mặt phẳng (SAC) không vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Đáp án: 1

Lấy điểm M ∈ d

Qua điểm M, dựng đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). Theo định lí, chỉ có một đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P).

Vì d không vuông góc với (P) nên d và a là hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại M. Do đó, chúng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

Khi đó: a ⊂ (Q); a ⊥ (P).

⇒ (Q) ⊥ (P). Vậy chỉ tồn tại một mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Đáp án: 3

Theo giả thiết, ta có: (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông)

⇒ BC ⊥ (SAB). Mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB)

Tương tự, ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, AD ⊥ AB (do ABCD là hình vuông)

⇒ AD ⊥ (SAB). Mà AD ⊂ (SAD) ⇒ (SAD) ⊥ (SAB)

Xét mặt phẳng (SCD):

Ta có: CD ∥ AB ⇒ Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB, CD

Trong mặt phẳng (SCD), kẻ SI ⊥ CD (I ∈ CD). Vì d ∥ CD ⇒ SI ⊥ d

Trong mặt phẳng (SAB), kẻ SJ ⊥ AB (J ∈ AB). Vì d ∥ AB ⇒ SJ ⊥ d

Hai đường thẳng SI và SJ cùng vuông góc với giao tuyến d tại S nên góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) là \(\widehat {ISJ}\) ≠ 90°

⇒ Mặt phẳng (SCD) không vuông góc với mặt phẳng (SAB).

Vậy có đúng 3 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) là (ABCD), (SBC), (SAD).

Đáp án: 90

Vì hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' ⊥ (ABC)

⇒ AA′ ∥ BB′ ∥ CC′.

M, N lần lượt là trung điểm của BC, B′C′ nên MN ∥ BB′ ∥ CC′ ∥ AA′.

Do đó: MN ⊂ (AMNA′); MN ⊂ (BCC′B′).

⇒ (AMNA′) ∩ (BCC′B′) = MN

Ta có:

AM ⊂ (ABC), AA′ ⊥ (ABC), mà MN ∥ AA′, nên AM ⊥ MN.

BC ⊂ (ABC), AA′ ⊥ (ABC), mà MN ∥ AA′, nên BC ⊥ MN.

Vì tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, nên AM ⊥ BC

Vậy AM và BC lần lượt là hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng (AMNA′) và (BCC′B′), đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến MN.

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (AMNA′) và (BCC′B′) bằng góc giữa AM và BC và bằng 90°.

Đáp án: 0

Ta có: SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB)

⇒ Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

⇒ (SAB) ⊥ (ABCD)

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là α = 90°

⇒ cos α = cos 90° = 0.

Đáp án: 1

Ta có: (A′BD) ∩ (MBD) = BD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình chữ nhật và AB = AD ⇒ ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD

⇒ OA ⊥ BD, OC ⊥ BD

Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD, CC′ ⊥ (ABCD) ⇒ CC′ ⊥ BD

Do BD cùng vuông góc với hai đường thẳng OA và AA′ cùng thuộc mặt phẳng (AA′O)

⇒ BD ⊥ (AA′O) ⇒ A′O ⊥ BD

Chứng minh tương tự ⇒ BD ⊥ (OCC′) ⇒ OM ⊥ BD

Mà A′O ⊂ (A′BD), OM ⊂ (MBD)

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (MBD) là \(\widehat {A'OM}\)

Để (A′BD) ⊥ (MBD) thì A′O ⊥ OM

⇔ Tam giác A′OM vuông tại O ⇔ A′M² = A′O² + OM² (theo định lý Pytago) (*)

* Ta có: AO = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Do AA′ ⊥ OA ⇒ Tam giác A′AO vuông tại A

⇒ A′O² = OA² + AA′² = \(\frac{{{a^2}}}{2}\) + b² (định lý Pytago) (1)

* Xét tam giác OCM: CC′ ⊥ (ABCD), OC ⊂ (ABCD) ⇒ OC ⊥ CM ⇒ Tam giác OCM vuông tại C

Lại có: OC = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), vì M là trung điểm của CC′: CM = \(\frac{{CC'}}{2} = \frac{b}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago: OM² = OC² + CM² = \(\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{4}\) (2)

* Vì M là trung điểm của CC′: C′M = \(\frac{{CC'}}{2} = \frac{b}{2}\)

Vì ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp chữ nhật ⇒ A′C′ ⊥ CC′ ⇒ tam giác A′C′M vuông tại C′

Xét tam giác A′C′M vuông tại C′:

A′M² = A′C′² + C′M² = \({\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2}\) = 2a² + \(\frac{{{b^2}}}{4}\) (định lý Pytago) (3)

Thay (1), (2), (3) vào (*), ta được:

2a² + \(\frac{{{b^2}}}{4}\) = \(\left( {{b^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right)\) + \(\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\) ⇔ a² = b²

Vì a, b > 0 nên \(\frac{a}{b}\) = 1.