Trắc nghiệm Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có đáp án - phần 1)

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Nhận biết

Đáp án đúng là: B

Cách 1. ⦁ Thay \(x = - 11\) và \(y = 8\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l} - 11 + 8 = - 3 \ne 3\\ - 11 + 2 \cdot 8 = 5 \ne - 5\end{array} \right.\].

Do đó cặp số \(\left( { - 11;\,\,8} \right)\) không là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x + 2y = - 5\end{array} \right.\].

⦁ Tương tự, ta thay lần lượt các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho thì thấy rằng chỉ có cặp số \(\left( {11;\,\, - 8} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đó.

Vậy ta chọn phương án B.

Cách 2. Bấm máy tính.

Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x + 2y = - 5\end{array} \right.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 MODE    5     1      1     =     1     =    3    =    1    =    2    =    −5    =    = .

Trên màn hình hiện ra kết quả \[x = 11\] ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \[y = - 8\].

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {11; - 8} \right).\)

Cách 3. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + 2y = - 5\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1) ta có \(x = 3 - y\).

Thế \(x = 3 - y\) vào phương trình (2) ta được phương trình \(3 - y + 2y = - 5\) hay \(y = - 8\)

Thay \(y = - 8\) vào phương trình \(x = 3 - y\), ta được \(x = 3 - \left( { - 8} \right) = 3 + 8 = 11\).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {11; - 8} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Từ hệ phương trình đã cho, cách đơn giản nhất để thu được phương trình bậc nhất một ẩn bằng phương pháp cộng đại số là trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2).

Khi đó ta thu được \[x + y - 2x - y = 5 - \left( { - 3} \right)\]

Tức là \[ - x = 8\], đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x + y = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[y = 7 - 3x.\]

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Từ hệ phương trình đã cho, cách đơn giản nhất để thu được phương trình bậc nhất một ẩn bằng phương pháp cộng đại số là nhân phương trình (2) với 4, ta được phương trình mới là \( - 4x - 20y = 0,\) rồi cộng từng vế của phương trình này với phương trình (1).

Khi đó ta thu được \[4x + \left( { - 4x} \right) + 7y + \left( { - 20y} \right) = 1 + 0\], tức là \[ - 13y = 1.\]

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Khi tìm nghiệm (đúng hoặc gần đúng) của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, trước tiên, ta cần mở chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi đó ta ấn liên tiếp các phím: . MODE    5     1  ..

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Vì hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ax - 3y = 1\\x + by = - 5\end{array} \right.\] nhận cặp số \(\left( {2;\,\, - 3} \right)\) là nghiệm nên ta thay \(x = 2\) và \(y = - 3\) vào hai phương trình của hệ đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 1\\2 + b \cdot \left( { - 3} \right) = - 5\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}2a = - 8\\ - 3b = - 7\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

Vậy \[a = - 4;\] \[b = \frac{7}{3}\].

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(3x + 3y + 2x - 2y = 6\) hay \(5x + y = 6.\)

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: \(x + y + 3x - 3y = 4\) hay \(4x - 2y = 4\) suy ra \(2x - y = 2\).

Từ đó, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y = 6\\2x - y = 2\end{array} \right..\)

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 MODE    5     1     5    =     1     =    6    =    2    =    −     1     =    2    =    = 

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = \frac{8}{7},\) ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = \frac{2}{7}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{2}{7}} \right)\).

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 MODE    5     1      1     =    3    =     1     =    2    =    −     1     =    −    5    =    = 

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = 3,\) ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = - 1.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {3;\,\, - 1} \right)\).

Khi đó, \(x + y = 3 + \left( { - 1} \right) = 2\).

Cách 2. Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - 5y = 11\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1) ta có \(x = 2 - y\).

Thế \(x = 2 - y\) vào phương trình (2) ta được phương trình \(2\left( {2 - y} \right) - 5y = 11\).

Giải phương trình:

\(2\left( {2 - y} \right) - 5y = 11\)

\(4 - 2y - 5y = 11\)

\( - 7y = 7\)

\(y = - 1\)

Thay \(y = - 1\) vào phương trình \(x = 2 - y\), ta được \(x = 2 - \left( { - 1} \right) = 3\).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {3;\,\, - 1} \right).\)

Khi đó, \(x + y = 3 + \left( { - 1} \right) = 2\).

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = - 2,\) ấn thêm phím ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = 1.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\).

Khi đó, \[{x^3} + {y^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {1^3} = - 7\].

Cách 2. Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y = - 5\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1) suy ra \(x = 1 - 3y\). Thế \(x = 1 - 3y\) vào (2) ta được phương trình \(2\left( {1 - 3y} \right) - y = - 5\).

Giải phương trình:

\(2\left( {1 - 3y} \right) - y = - 5\)

\(2 - 6y - y = - 5\)

\( - 7y = - 7\)

\(y = 1\).

Thay \(y = 1\) vào phương trình \(x = 1 - 3y\), ta được: \(x = 1 - 3 \cdot 1 = - 2.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\).

Khi đó, \[{x^3} + {y^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {1^3} = - 7\].

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 MODE    5     1     3    =     1     =     1     9    =     1     =    −    2    =    4    =    = 

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = 6,\) ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = 1.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {6;\,\,1} \right)\).

Khi đó, \[{\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {6 - 1} \right)^2} = {5^2} = 25.\]

Cách 2. Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 19\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - 2y = 4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2) ta có \(x = 4 + 2y\).

Thế \(x = 4 + 2y\) vào phương trình (1) ta được phương trình \(3\left( {4 + 2y} \right) + y = 19\).

Giải phương trình:

\(3\left( {4 + 2y} \right) + y = 19\)

\(12 + 6y + y = 19\)

\(7y = 7\)

\(y = 1\)

Thay \(y = 1\) vào phương trình \(x = 4 + 2y\), ta được: \(x = 2 + 4 \cdot 1 = 6\).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {6;\,\,1} \right)\).

Khi đó, \[{\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {6 - 1} \right)^2} = {5^2} = 25.\]

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(xy + x - y - 1 = xy - 2\) suy ra \(x - y = - 1.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(xy - x + 2y - 2 = xy + 6\) suy ra \( - x + 2y = 8.\)

Khi đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - x + 2y = 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 MODE    5     1      1     =    −     1     =    −     1     =    −     1     =    2    =    8    =    = 

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = 6,\) ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = 7.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {6;\,\,7} \right)\).

Khi đó, \[{x^2} + {y^2} = {6^2} + {7^2} = 85.\]

Đáp án đúng là: C

Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {1;\,\,13} \right)\) nên ta có \(13 = a \cdot 1 + b\) hay \(a + b = 13\).

Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 5;\,\,1} \right)\) nên ta có \(1 = a \cdot \left( { - 5} \right) + b\) hay \( - 5a + b = 1\).

Khi đó, ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\ - 5a + b = 1\end{array} \right.\]

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(6a = 12,\) suy ra \(a = 2.\)

Thay \(a = 2\) vào phương trình \(a + b = 13,\) ta được: \(2 + b = 13\) nên \(b = 11.\)

Vậy \(a = 2\) và \(b = 11.\)

Đáp án đúng là: B

Hệ phương trình cho điều kiện xác định là \(x \ne 0\) và \(y \ne 0.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với 2 và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, ta được hệ mới: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{x} + \frac{4}{y} = 14\\\frac{6}{x} - \frac{{15}}{y} = - 81\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:

\(\frac{{19}}{y} = 95,\) suy ra \(\frac{1}{y} = 5\) nên \(y = \frac{1}{5}\) (thỏa mãn).

Thay \(\frac{1}{y} = 5\) vào phương trình \[\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 7\], ta được:

\[\frac{3}{x} + 2 \cdot 5 = 7\] suy ra \[\frac{3}{x} = - 3\] nên \(x = - 1\) (thỏa mãn).

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,\frac{1}{5}} \right)\).

Tổng bình phương của \(x\) và \(y\) là: \({\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{26}}{{25}} < 20\).

Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng là (i). Ta chọn phương án B.

</>

Đáp án đúng là: B

Cách 1. ⦁ Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\3x + 2y = 7\end{array} \right.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

 MODE    5     1     2    =     1     =    3    =    3    =    2    =    7    =    = 

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = - 1,\) ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = 5.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;\,\,5} \right)\) và ta thấy \(x \ne y\). Do đó trường hợp \(m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta thay lần lượt các giá trị \(m\) vào hệ phương trình đã cho, sau đó sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình nhận được, thì thấy rằng chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy \(m = 2.\)

Cách 2. Thay \[x = y\] vào hệ phương trình đã cho, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}2y + y = 3\\\left( {2m + 1} \right)y + 2y = 7\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\\left( {2m + 3} \right)y = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Với \[3y = 3,\] ta có: \[y = 1.\]

Thay \[y = 1\] vào phương trình (1), ta được:

\[\left( {2m + 3} \right) \cdot 1 = 7\]

\[2m + 3 = 7\]

\[2m = 4\]

\[m = 2.\]

Vậy \[m = 2\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Cách 3. Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {2m + 1} \right)x + 2y = 7\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1) ta có: \(y = 3 - 2x\).

Thế \(y = 3 - 2x\) vào phương trình (2), ta được:

\[\left( {2m + 1} \right)x + 2\left( {3 - 2x} \right) = 7\]

\(\left( {2m + 1} \right)x + 6 - 4x = 7\)

\(\left( {2m - 3} \right)x = 1\,\,\,\left( * \right)\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( * \right)\) phải có nghiệm duy nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2m - 3 \ne 0\) hay \[m \ne \frac{3}{2}\].

Khi đó giải phương trình \(\left( * \right)\) ta được: \[x = \frac{1}{{2m - 3}}\].

Thay \[x = \frac{1}{{2m - 3}}\] vào phương trình \(y = 3 - 2x\) ta được:

\[y = 3 - 2 \cdot \frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 9}}{{2m - 3}} - \frac{2}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}\].

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x = y\) thì \[\frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}\].

Giải phương trình chứa ẩn \(m\) ở mẫu:

\[\frac{1}{{2m - 3}} = \frac{{6m - 11}}{{2m - 3}}\]

\(1 = 6m - 11\)

\(6m = 12\)

\[m = 2\] (thỏa mãn \[m \ne \frac{3}{2})\]

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.\]

Thay \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y\] vào phương trình (1), ta được:

\[m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1\]

\[2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1\]

\[\left( { - {m^2} + m} \right)y = - m + 1\]

\[ - m\left( {m - 1} \right)y = - \left( {m - 1} \right)\]

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \[m \ne 0\] và \[m \ne 1.\]

Khi đó ta có \[y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.\]

Suy ra \[x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.\]

Vì vậy \[A = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.\]

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{m}\] nhận giá trị nguyên.

Suy ra \[m \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\]

So với điều kiện \[m \ne 0\] và \[m \ne 1,\] ta nhận \[m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.\]

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C.