Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có lời giải)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y =  - 1}\\{x + y =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \((\, - 1; - 1\,)\). Tức là

\( - 1 =  - 2 \cdot (\, - 1\,) - m\) hay \(m = 3.\)

Vậy \(m = 3\).

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = 2x - 3\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\) hay \(5x - 6 = 4\) suy ra \(x = 2\)

Từ đó \(y = 2.2 - 3 = 1\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {2;1} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 2\\ - 2x + 5y = 1\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có\(x = 2 + 3y\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \( - 2\left( {2 + 3y} \right) + 5y = 1\) hay \( - 4 - y = 1\) suy ra \(y =  - 5\)

Từ đó\(x = 2 + 3.\left( { - 5} \right) =  - 13\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 13; - 5} \right)\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y =  - 1\\7x + 2y =  - 3\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có\(y =  - 1 - 4x\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(7x + 2\left( { - 1 - 4x} \right) =  - 3\) hay \( - x =  - 1\) suy ra \(x = 1\)

Từ đó \(y =  - 1 - 4.\left( 1 \right) =  - 5\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {1; - 5} \right)\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 2\\2x - 2y = 8\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = x + 2\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(2x - 2\left( {x + 2} \right) = 8\) hay \(0x - 4 = 8\left( 1 \right)\)

Do không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn hệ thức \(\left( 1 \right)\) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

e) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\4x - 2y =  - 4\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có\(y = 2x + 3\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(4x - 2\left( {2x + 3} \right) =  - 4\) hay \(0x = 6 =  - 4\) (1)

Do không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn hệ thức \(\left( 1 \right)\) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

f)\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y =  - 2\\3x - 3y = 6\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = x - 2\) (1)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(3x - 3\left( {x - 2} \right) = 6\) hay \(0x + 6 = 6\) suy ra \(0x = 0\) (2)

Ta thấy với mọi giá của của \(x\) đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của \(x\), giá trị tương ứng của \(y\) được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {x;x - 2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

g) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\\3x + 9y =  - 3\,\,\,\,\,\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có\(x =  - 1 - 3y\,\,(1)\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(3\left( { - 1 - 3y} \right) + 9y =  - 3\) hay \(0y - 3 =  - 3\)

Suy ra \(0y = 0\,\,(2)\)

Ta thấy với mọi giá của của \(y\) đều thỏa mãn (2)

Với mỗi giá trị tùy ý của \(y\), giá trị tương ứng của \(x\) được tính bởi (1)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1 - 3y;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

h) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2x - 3y = 5\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có \(y = 3 - 3x\left( 3 \right)\).

Thay \(y = 3 - 3x\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được \( - 2x - 3\left( {3 - 3x} \right) = 5\)

Giải phương trình này ta được \(x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(\left( 3 \right)\) ta được \(y =  - 3\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {2; - 3} \right)\)

a) \[\left\{ \begin{array}{l}(\sqrt 2  - 1)x - y = \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2  + 1)y = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2  - 1)x - \sqrt 2 \\x + (\sqrt 2  + 1)y = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2  - 1)x - \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 2  + 1} \right).\left[ {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y = (\sqrt 2  - 1)x - \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 2  + 1} \right).\left[ {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2  + 3}}{2}\\y = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\]

\[\left( * \right):\,x + x - \sqrt 2 \left( {\sqrt 2  + 1} \right) = 1\]

\[2x = 2 + \sqrt 2  + 1\]

\[2x = 3 + \sqrt 2 \]

\[x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 2  + 3}}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\]

b) \[\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6  + 2y =  - \sqrt 6 \end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 y - 3\\ - \sqrt 6  =  - \sqrt 6 \end{array} \right.\] (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = 2\sqrt 2  - 5x\sqrt 3 \).

Thay vào phương trình thứ hai ta được

\(x\sqrt 6  - \left( {2\sqrt 2  - 5\sqrt 3 x} \right).\sqrt 2  = 2 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Từ đó \(y = 2\sqrt 2  - 5.\frac{{\sqrt 6 }}{6}.\sqrt 3  = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right)\).

b) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có \(x = \sqrt 2  - \sqrt 3 .y\).

Thay vào phương trình thứ nhất ta được

\(\sqrt 2 .\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 .y} \right) - \sqrt 3 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}\)

Từ \(x = \sqrt 2  - \sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }} = 1\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \(\left( {1;\frac{1}{{\sqrt 6  + \sqrt 3 }}} \right)\)

a) Thay \(m =  - 2\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = 2x + 3\). Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\( - 8x + 9\left( {2x + 3} \right) = 3\) hay \(10x + 27 = 3\) suy ra \(x =  - \frac{{12}}{5}\)

Từ đó \(y = 2.\left( { - \frac{{12}}{5}} \right) + 3 =  - \frac{9}{5}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - \frac{{12}}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\)

b) Thay \(m =  - 3\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\ - 18x + 9y = 0\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = 2x + 3\). Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \( - 18x + 9\left( {2x + 3} \right) = 0\) hay \(0x + 27 = 0\)(1)

Do không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm,

c) Thay \(m = 3\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\ - 18x + 9y =  - 18\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(y = 2x + 3\). Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

\( - 18x + 9\left( {2x + 3} \right) = 18\) hay \(0x = 0\)

Ta thấy mọi giá trị của \(x\) đều thỏa mãn (1)

Với giá trị tùy ý của \(x\) thì giá trị tương ứng của \(y\) được tính bởi phương trình \(y = 2x + 3\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;2x + 3} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}5\left( {x + 2y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 99\\x - 3y = 7x - 4y - 17\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}5x + 10y - 3x + 3y = 99\\x - 3y - 7x + 4y =  - 17\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + 13y = 99\\ - 6x + y =  - 17\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {4;7} \right)\]

b) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}(x + 1)(y - 1) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y =  - 12\end{array} \right.\]

\[x = y = 2\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x - 3y}}{4} - \frac{{x + y - 1}}{5} = 2x - y - 1\\\frac{{4x + y - 2}}{4} = \frac{{2x - y - 3}}{6} - \frac{{x - y - 1}}{3}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}5(2x - 3y) - 4(x + y - 1) = 20(2x - y - 1)\\3(4x + y - 2) = 2(2x - y - 3) - 4(x - y - 1)\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{14}}{{23}}\\y = \frac{{ - 76}}{{23}}\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{14}}{{23}};\frac{{ - 76}}{{23}}} \right)\]

a. \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  - 3\sqrt {y + 2}  = 2\\2\sqrt {x - 1}  + 5\sqrt {y + 2}  = 15\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {x \ge 1;y \ge  - 2} \right)\]. Đặt \[\sqrt {x - 1}  = u \ge 0;\,\,\sqrt {y + 2}  = v \ge 0\,\,\]

Ta có HPT: \[\left\{ \begin{array}{l}u - 3v = 2\\2u + 5v = 15\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 5\\\sqrt {y + 2}  = 1\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 26\\y =  - 1\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {26; - 1} \right)\]

b. \[\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt {x + 3}  - 9\sqrt {y + 1}  = 2\\5\sqrt {x + 3}  + 3\sqrt {y + 1}  = 31\end{array} \right.\]

Điều kiện: \[x \ge  - 3;y \ge  - 1\]

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 3\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {22;3} \right)\]

a) Vì \[\left( {1;\,\, - 1} \right)\] là một nghiệm của phương trình (I), nên thay giá trị này vào hệ phương trình (I) ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}4.1 + a.\left( { - 1} \right) = 6\\b.1 - 2a.\left( { - 1} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - a = 6\\b + 2a = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 8 - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 12\end{array} \right.\]

Vậy \[a =  - 2;\,\,b = 12\]

b) Tương tự ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - \sqrt 2 } \right) + a.3 = 6\\b.\left( { - \sqrt 2 } \right) - 2a.3 = 8\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\\b.\left( { - \sqrt 2 } \right) = 2a.3 + 8\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\\b.\left( { - \sqrt 2 } \right) = 6.\left( {2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}} \right) + 8\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\\b =  - 10\sqrt 2  - 8\end{array} \right.\]

Vậy \[a = 2 + \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\,\,\,b =  - 10\sqrt 2  - 8\].

Thay \[x = 1;y =  - 3\] vào hệ phương trình ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {3a + b} \right).1 + \left( {4a - b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 35\\b.1 + 4a.\left( { - 3} \right) = 29\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}3a + b - 12a + 3b - 3 = 35\\b - 12a = 29\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} - 9a + 4b = 38\\b - 12a = 29\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 5\end{array} \right.\]

Vậy \[a =  - 2;b = 5\]

Theo giả thiết \[P\left( x \right)\] đồng thời chia hết cho đa thức \[x + 2\] và \[x - 1\], do đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}P\left( { - 2} \right) = 0\\P\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.\]\[\left\{ \begin{array}{l}m.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( {m - 5} \right).{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {2n + 1} \right).\left( { - 2} \right) + 3n = 0\\m{.1^3} + \left( {m - 5} \right){.1^2} - \left( {2n + 1} \right).1 + 3n = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 7n = 18\\2m + n = 6\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 7\left( {6 - 2m} \right) = 18\\n = 6 - 2m\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} - 18m =  - 24\\n = 6 - 2m\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{4}{3}\\n = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\]

Vậy \[m = \frac{4}{3}\] và \[n = \frac{{10}}{3}\].

Vì \[{d_1},\,\,{d_2}\] cắt nhau tại điểm \[I\left( {2; - 5} \right)\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}I \in {d_1}\\I \in {d_2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}2m - 2\left( {3n + 2} \right).\left( { - 5} \right) = 6\\\left( {3m - 1} \right).2 + 2n.\left( { - 5} \right) = 56\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n =  - 1\end{array} \right.\]

Vậy \[m = 8;n =  - 1\] là các giá trị cần tìm.

Hệ phương trình tương đương \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5m - 1\\x - 2y = 2\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m - 1\end{array} \right.\]

a. Với \[m = 1\] ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\]

b. Hệ có nghiệm \[\left( {x,y} \right)\] thỏa mãn \[{x^2} - 2{y^2} = 1\] khi và chỉ khi:

\[4{m^2} - 2{(m - 1)^2} = 1\]

\[2{m^2} + 4m - 3 = 0\]

\[m = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {10} }}{2}\]

Vậy \[m = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {10} }}{2}\] là các giá trị cần tìm.

a. Từ (1) ta có: \[y = m - \left( {m - 1} \right)x\], thay vào phương trình (2) ta được:

\[x + \left( {m - 1} \right)\left[ {m - \left( {m - 1} \right)x} \right] = 2\]

\[\left( {{m^{\rm{2}}} - 2m} \right)x = {m^2} - m - 2\]

\[m\left( {m - 2} \right)x = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right)\]

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m + 1}}{m}\\y = \frac{1}{m}\end{array} \right. \Rightarrow x - y = 1\] là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b. Ta có: \[x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1;\] \[2{(y + 1)^2} - 7y = 1\]

\[2{y^2} - 3y + 1 = 0\]

\[y = 1\] hoặc \[y = \frac{1}{2}\]

+) Với \[y = 1\] thì \[\frac{1}{m} = 1\] hay \[m = 1\]

+) Với \[y = \frac{1}{2}\] thì \[\frac{1}{m} = \frac{1}{2}\] hay \[m = 2\] (loại)

Vậy \[m = 1\] là giá trị cần tìm.

c. Ta có \[\frac{{2x - 3y}}{{x + y}} = \frac{{2(y + 1) - 3y}}{{2y + 1}}\]\[ = \frac{{2 - y}}{{2y + 1}} = \frac{{2m - 1}}{{m + 2}}\]\[ = 2 - \frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}\]

Khi đó \[\frac{5}{{m + 2}} \in \mathbb{Z}\] nên \[m + 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\], suy ra \[m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}\].

Vậy \[m \in \left\{ { - 1; - 3;3; - 7} \right\}\].

Từ (1) \[ \Rightarrow y = \frac{{(2m + 1)x - 3m + 2}}{3}\] thay vào phương trình (2) ta được:

\[(m + 3)x - \frac{{(m + 1)\left[ {\left( {2m + 1} \right)x - 3m + 2} \right]}}{3} = 2m\]

\[3(m + 3)x - (m + 1)(2m + 1)x + (m + 1)(3m - 2) = 6m\]

\[2({m^2} - 4)x = 3{m^2} - 5m - 2\,\,\,\,\,(*)\]

a. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3{m^2} - 5m - 2 = 0\end{array} \right.\\{m^2} - 4 \ne 0\end{array} \right.\]

\[\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  \pm 2\end{array} \right.\]

Vậy điều kiện: \[m \ne 2\].

b. Hệ có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\]

Khi đó: \[(*) \Leftrightarrow x = \frac{{(3m + 1)(m - 2)}}{{2(m - 2)(m + 2)}} = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\]

\[ \Rightarrow y = \frac{{\frac{{(2m + 1)(3m + 1)}}{{2(m + 2)}} - 3m + 2}}{3} = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\]

Do đó: \[x \ge 2y \Leftrightarrow \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}} \ge \frac{{2(3 - m)}}{{2(m + 2)}}\]

\[\frac{{5m - 5}}{{2(m + 2)}} \ge 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m <  - 2\end{array} \right.\]

Vậy \[m > 2\] hoặc \[1 \le m < 2\] hoặc \[m <  - 2\] là các giá trị cần tìm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất khi \[m \ne  \pm 2\], khi đó nghiệm của hệ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\\y = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\end{array} \right.\]

\[P = \frac{{{{(3m + 1)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} + \frac{{3{{(3 - m)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 3m + 7}}{{{m^2} + 4m + 4}}\]

\[P - \frac{3}{4} = \frac{{{{(3m - 4)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}} \ge 0\].

Do đó \[P \ge \frac{3}{4}\] nên \[m = \frac{4}{3}\]

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \(8y = 16\) suy ra \(y = 2\)

Thế \(y = 2\) vào phương trình thứ hai ta được \(2x + 3.2 = 4\) hay \(2x =  - 2\) suy ra \(x =  - 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( { - 1;2} \right)\)

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {5x - 5x} \right) + \left( { - 7y + 3y} \right) = 9 - 1\) hay \( - 4y = 8\) suy ra \(y =  - 2\)

Thế \(y =  - 2\) vào phương trình thứ nhất, ta được \(5x - 7.\left( { - 2} \right) = 9\) hay \(5x + 14 = 9\) suy ra \(x =  - 1\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 1; - 2} \right)\)

c) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \( - 2y =  - 8\) suy ra \(y = 4\)

thế \(y = 4\) vào phương trình thứ nhất ta được \( - 4x + 3.4 = 0\) hay \( - 4x =  - 12\) suy ra \(x = 3\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {3;4} \right)\)

d) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(3x =  - 9\) suy ra \(x =  - 3\)

Thế \(x =  - 3\) vào phương trình thứ nhất ta được \(4.\left( { - 3} \right) + 3.y = 0\) hay \(3y = 12\) suy ra \(y = 4\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 3;4} \right)\)

e) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ 2, ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}9x + 6y = 21\\2x - 6y =  - 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(13x = 13\) hay \(x = 1\). Thế \(x = 1\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có \(3.1 + 2y = 7\) suy ra \(y = 2\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {1;2} \right)\)

f) Nhân hai vế của phương trình thứ nhát cho 5 và nhân của hai vế của phương trình thứ hai cho 4 ta được hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}20x + 15y = 30\\ - 20x + 8y = 16\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(23y = 46\) suy ra \(y = 2\)

Thế \(y = 2\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho ta có \(4x + 3.2 = 6\) hay \(4x = 0\) suy ra \(x = 0\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {1;2} \right)\)

g) Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 3x + 5y =  - 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(0x + 0y = 0\). Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của \(x\) và \(y\).

Với giá trị tùy ý của \(x\) giá trị của \(y\) tính được nhờ hệ thức \(3x - 5y = 2\) suy ra \(y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

h) Nhân hai vế của phương trình thứu nhất cho 4 ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 4\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới ta được \(0x + 0y = 12\). Không tìm được bất kì giá trị \(x,y\) nào thỏa mãn hệ thức này.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

a) Thể tích của dung dịch acid \(HCl\) nồng độ \(10\% \) nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là \(x + y\)

Tổng số gam acid \(HCl\) nguyên chất có trong hai dung dịch acid là \(20\% x + 5\% y\)

b) Theo câu a ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2000\\20\% x + 5\% y = 2000.10\% \end{array} \right.\)

Ta có \(x = \frac{{2000}}{9}\) và \(y = \frac{{16\,\,000}}{9}\) nên thể tích dung dịch \(HCl\,\,10\% \) ban đầu là \(\frac{{2000}}{9}\,\,ml\) và thể tích dung dịch \(HCl\,\,5\% \) ban đầu là \(\frac{{16\,\,000}}{9}\,\,\left( {ml} \right)\)

a) Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\)

Đặt \(\frac{1}{x} = u;\frac{1}{y} = v\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\3u - 4v =  - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}v = 2 - u\\3u - 4\left( {2 - u} \right) =  - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}v = 2 - u\\u = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\)

Trở lại ẩn \(x,y\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = 1\\\frac{1}{y} = 1\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {1;1} \right)\)

a) Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có phương trình \(2a + b =  - 2\left( 1 \right)\)

Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 1;3} \right)\) nên ta có phương trình \( - a + b = 3\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b =  - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}3a =  - 5\\ - a + b = 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{5}{3}\\b = 3 + a\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 5}}{3}\\b = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{4}{3}} \right)\)

Vậy khi \(a =  - \frac{5}{3};b = \frac{4}{3}\) thì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 1;3} \right)\)

b) Hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên ta có hệ phương trình ẩn \(a,b\) là

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\a + b = 2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\a + b = 2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 3\end{array} \right.\)

Vậy với \(a =  - 1;b = 3\) thì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {1;2} \right)\)

c) Hai điểm \(A\left( {3; - 6} \right)\) và \(B\left( { - 2;4} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = ax + b\) nên ta có hệ phương trình ẩn \(a,b\) là

\(\left\{ \begin{array}{l}3a + b =  - 6\\ - 2a + b = 4\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}5a = 10\\ - 2a + b = 4\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 0\end{array} \right.\)

Vậy với \(a =  - 2;b = 0\) thì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 6} \right)\) và \(B\left( { - 2;4} \right)\)

a) Tọa độ gioa điểm \(M\) của \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là \(\left( {2;1} \right)\)

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {2;1} \right)\)

b) Tọa độ giao điểm \(M\) của \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2\\x + \frac{1}{2}y = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 2x\\x + \frac{1}{2}\left( {2 - 2x} \right) = 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 2x\\0.x = 0\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 2x\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Hệ đã cho có vô số nghiệm nên \(\left( d \right)\) trùng với \(\left( {d'} \right)\)

Tọa độ giao điểm \(M\left( {x;2 - 2x} \right),x \in \mathbb{R}\)

Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(x = {a^2} + 4a - ay\). Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được

\(\left( {a + 1} \right).\left( {{a^2} - 4a - ay} \right) - ay = 5 \Rightarrow a\left( {a + 2} \right)y = {a^3} + 5{a^2} + 4a - 5\) (3)

+ nếu \(a = 0\) hoặc \(a =  - 2\) thì phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm

+ Điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là \(a \ne 0;a \ne  - 2\). Khi đó

\(y = \frac{{{a^3} + 5{a^2} + 4a - 5}}{{a\left( {a + 2} \right)}} \Rightarrow x = \frac{{{a^2} + 4a + 5}}{{a + 2}}\)

+ Trước hết ta tìm \(a \in \mathbb{Z}\) để \(x \in \mathbb{Z}\)

\(x = \frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} + 1}}{{a + 2}} = a + 2 + \frac{1}{{a + 2}}\)

Để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(a + 2 \in U\left( 1 \right)\) hay \(a + 2 =  \pm 1 \Rightarrow a =  - 3;a =  - 1\)

+ Với \(a =  - 3\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 3} \right)}^2} + 4.\left( { - 3} \right) - 5}}{{ - 3.\left( { - 3 + 2} \right)}} = \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\)

+ Với \(a =  - 1\) thì \(y = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 5.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 4.\left( { - 1} \right) - 5}}{{ - 1.\left( { - 1 + 2} \right)}} = 5 \in \mathbb{Z}\)

Vậy với \(a =  - 1\) thì hệ có nghiệm nguyên là \(\left( {2;5} \right)\).

a) + Với \(m = 0\) thì hệ có nghiệm \(\left( {2; - \frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn đề bài

+ Với \(m \ne 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}mx + {m^2}y = 2m\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{m^2} + 2} \right)y = 2m - 1\\mx - 2y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}\\x = \frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}} < 0\\\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\m + 4 > 0\end{array} \right. \Rightarrow  - 4 < m < \frac{1}{2}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3, - 2; - 1;0} \right\}\)

Vậy với \(m \in \left\{ { - 3, - 2; - 1;0} \right\}\)thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) mà \(x > 0;y < 0\)

b) + Với \(m = 0\) thì hệ có nghiệm \(\left( {2; - \frac{1}{2}} \right)\) thỏa mãn đề bài

+ Với \(m \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}};\frac{{2m - 1}}{{{m^2} + 2}}} \right)\)

Trước hết tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(x \in \mathbb{Z}\) thì \(m + 4 \vdots {m^2} + 2\)

\( \Rightarrow {m^2} + 4m \vdots {m^2} + 2 \Rightarrow 4m - 2 \vdots {m^2} + 2\)

\( \Rightarrow 4\left( {m + 4} \right) - \left( {4m - 2} \right) \vdots {m^2} + 2 \Rightarrow 18 \vdots {m^2} + 2\)

Mà \({m^2} + 2 > 2\) nên \({m^2} + 2 \in \left\{ {3;6;9;18} \right\}\)\( \Rightarrow {m^2} \in \left\{ {1;4;7;16} \right\}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\).

a) Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) là \(m \ne  \pm 2\). Khi đó hệ có nghiệm \(\left( {\frac{{8 - m}}{{2 + m}};\frac{5}{{2 + m}}} \right)\).

Mặt khác, theo điều kiện \(x > 0,y > 0.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{8 - m}}{{2 + m}} > 0\\\frac{5}{{2 + m > 0}}\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 < m < 8\)

Với \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;...;7} \right\}\)

b) \(m = \left\{ { - 1;3} \right\}\)

a) Khi \(m = 1\) hệ phương trình có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\2x + y = 9\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được nghiệm là \(\left( {4;1} \right)\)

b) + Với mọi \(m\) hệ luôn có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 9}}{{{m^2} + 2}}\\y = \frac{{9m - 6}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\)

+Xét \(A = 3x - y = \frac{{33}}{{{m^2} + 2}}\)

Để \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow {m^2} + 2 \in U\left( {33} \right)\) mà \({m^2} + 2 \ge 2;m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m \in \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}\)