Trắc nghiệm Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

A

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta thấy đáp án A sai.

Ta có\[\]\[f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\]

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 3) = 4\).

Vậy \(f'\left( 1 \right) = 4\).

a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai;   d) Sai.

D

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 2 = f'\left( 3 \right)\).

a) b) Ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - \left( { - 2} \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3\).

Vậy \(f'\left( 0 \right) = 3\).

c) Ta có 3^x = 3Û x = 1 = 3 – 2.

d) log₃9 = 2.

a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng;   d) Sai.

A

Ta có f'(x) = 2x nên f'(−2) = 2.(−2) = −4.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị là k = f(−2) = −4.

a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = f'\left( 3 \right) = 6\).

b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc f'(3) = 6.

Đường thẳng 3x – y + 7 = 0 Û y = 3x + 7 có hệ số góc bằng 3.

c) Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; f(3)) có phương trình là

y – f(3) = f'(3)(x – 3) Û y − 5 = 6(x – 3) Û y = 6x – 13 (D).

d) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {6.6 - \left( { - 11} \right) - 13} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{34}}{{\sqrt {37} }}\).

a) Sai;   b) Sai; c) Sai;   d) Sai.

A

Ta có (C)' = 0.

Hệ số góc của tiếp tuyến tạo điểm M(x₀; f(x₀)): f(x₀).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x₀; f(x₀)): y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là:

\(f'\left( { - 1} \right) = 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 6;f\left( { - 1} \right) = - 2\)

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là: \(y - f( - 1) = 6(x + 1)\)\( \Leftrightarrow y + 2 = 6(x + 1)\)\( \Leftrightarrow y = 6x + 4\).

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0; 4).

c) Phương trình hoành độ giao điểm: 6x + 4 = 3x \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{3}\).

d) Có \(6.\left( {\frac{{ - 1}}{6}} \right) = - 1\) nên phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = - \frac{1}{6}x\).

 a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai;   d) Đúng.

D

Có f'(x) = 4x.

Suy ra tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x₀ = 1 có hệ số f'(1) = 4.1 = 4.

a) Ta có \(S'\left( {\frac{1}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\frac{1}{2}g{t^2} - \frac{1}{8}g}}{{t - \frac{1}{2}}}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{1}{2}g{t^2} - 2g}}{{t - 2}} = f'\left( 2 \right) = 2g\) mà g = 10 m/s² nên V(2) = 20 m/s.

c) V(t) = gt.

d) Ta có \(\frac{1}{2}g{t^2} = 125 \Leftrightarrow 10{t^2} = 250 \Leftrightarrow {t^2} = 25 \Rightarrow t = 5\).

Khi đó sau 5 giây thì chất điểm chạm đất. Khi đó vận tốc của chất điểm là V(t) = 10.5 = 50 m/s.

 a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng;   d) Sai.

D

\(y' = 3{x^2} - 3\)

Ta có \(y\left( 2 \right) = 2\) và \(y'\left( 2 \right) = 9\).

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 9\left( {x - 2} \right) + 2 \Leftrightarrow y = 9x - 16\).

C

Ta có y' = 3x².

Giả sử tiếp tuyến tại điểm M(x₀; y₀).

Theo đề ta có y₀ = 8 Þ \(x_0^3 = 8 \Rightarrow {x_0} = 2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.2² = 12.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

B

Ta có y' = 2x.

Do đó hệ số góc k của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x₀ là k = 2x₀.

D

Phương trình vận tốc của chất điểm được xác định bởi \(v = s' = 4t + 3\).

Suy ra vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0} = 2\) (giây) bằng \(v\left( 2 \right) = 4.2 + 3 = 11\).

A

Có v' = 4t.

Khi đó vận tốc chất điểm tại thời điểm t₀ = 2 là v(2) = 4.2 = 8 (m/s).

Vận tốc tức thời của chất điểm tại \(t = 5\) là:

\(s'\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}{t^2} - \frac{{25}}{2}}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}\left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{1}{2}\left( {t + 5} \right) = 5.{\rm{ }}\)

Vậy \(v\left( 5 \right) = s'\left( 5 \right) = 5(m/s)\).

Trả lời: 5.

\({\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.\)

Vậy \({\rm{ }}f'\left( 2 \right) = 24.{\rm{ }}\)

Trả lời: 24.

Ta có: \(f'(x) = - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(f'\left( 1 \right) = - 6 \cdot {\left( 1 \right)^2} + 1 = - 5\).

Trả lời: −5.

Ta có: \(Q'\left( t \right) = 4t + 1\) nên cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = 4(\;s)\) là \(Q'\left( 4 \right) = 4.4 + 1 = 17(C/s)\).

Trả lời: 17.

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol \(y = - a{x^2}\) (với \(a\) là hằng số dương).

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200\).

Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(|k| = 2a|x| \le 400a\).

Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá \(10^\circ \) nên ta có:

\(400a \le \tan 10^\circ \Leftrightarrow a \le \frac{{4,408174518}}{{10000}}.\)

Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn \(OI\), cũng chính là độ lớn của tung độ điểm \(B\) khi a đạt giá trị lớn nhất.

Do đó, \(OI = \left| { - a \cdot {{200}^2}} \right| = 17,6(\;m)\).

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là \(17,6\;m\).

Trả lời: 17,6.