Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án
27 câu hỏi
Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta có thể tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là
s = f(t) = 12gt2
trong đó, g là gia tốc rơi tự do, lấy g = 9,8 m/s2; s (m) là quãng đường nó rơi từ vị trí ban đầu tới mặt đất; t (giây) là thời gian vật rơi từ vị trí ban đầu cho tới khi chạm đất.
Gọi v(t) (m/s) là vận tốc của quả bóng tại thời điểm t. Khi đó v(t) = f'(t) = gt = 9,8t.
Mặt khác, vì chiều cao của tòa nhà là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm t1, với s = f(t1) = 461,3 m. Từ đó, ta có
12.9,8t12=461,3⇔t1=2.461,39,8 (giây)
Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là
v(t1) = 9,8t1 = 9,8 .2.461,39,8 ≈ 95,1 (m/s).s
Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
a)
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: s(t) – s(t0).
Thời gian vật đi được trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: t – t0.
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:
v=s(t)−s(t0)t−t0.
b) Giới hạn limt→t0s(t)−s(t0)t−t0 cho ta biết điều gì ?
b)
Giới hạn limt→t0s(t)−s(t0)t−t0 cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần t0, có nghĩa là (t – t0) càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0.
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
a)
Cường độ điện lượng truyền trong dây dẫn trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:
Q(t) – Q(t0).
Thời gian truyền điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: t – t0.
Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:
v=Q(t)−Q(t0)t−t0.
b) Giới hạn limt→t0Q(t)−Q(t0)t−t0 cho ta biết điều gì ?
b)
Giới hạn limt→t0Q(t)−Q(t0)t−t0 cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần t0, có nghĩa là (t – t0) càng nhỏ thì cường độ trung bình của dòng điện càng thể hiện được chính xác hơn mức độ mạnh yếu của dòng điện tại thời điểm t0.
Tính đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1.
Đặt f(x) = y = –x2 + 2x + 1.
Ta có: f(x) – f(– 1) = – x2 + 2x + 1 – [– (– 1)2 + 2 . (– 1) + 1] = – x2 + 2x + 3.
Với x ≠ – 1, ta có fx−f−1x−−1=−x2+2x+3x+1=(x+1)(3−x)x+1=3−x.
Khi đólimx→−1f(x)−f(−1)x−(−1)=limx→−1−x2+2x+3x+1=limx→−13−x=4, .
Vậy đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1 có giá trị là 4.
Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:
a) f(x) = c (c là hằng số);
a) Ta có f(x) = c nên f(x) = f(x0) = c.
Khi đó, f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0c−cx−x0=limx→x00=0
Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:
b) f(x) = x.
b) Ta có f(x) = x nên f(x0) = x0.
Khi đó, f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x−x0x−x0=1 .
Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:
a) y = x2 + 1
a) Đặt f(x) = y = x2 + 1.
Ta có: f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x2+1−(x02+1)x−x0
=limx→x0(x−x0)(x+x0)x−x0=limx→x0x+x0=2x0.
Vậy hàm số y = x2 + 1 có đạo hàm là hàm số y' = 2x.
Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:
b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).
b) Đặt f(x) = y = kx + c (với k, c là các hằng số).
Ta có: f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0kx+c−(kx0+c)x−x0
=limx→x0k(x−x0)x−x0=limx→x0k=k.
Vậy hàm số y = kx + c (với k, c là các hằng số) có đạo hàm là hàm số y' = k.
Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x0; f(x0)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x0.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.
a) Ta có: PQ→=x−x0; fx−fx0. Suy ra n→PQ=fx−fx0;x0−x .
Phương trình đường thẳng PQ là
[f(x) – f(x0)](x – x0) + (x0 – x)[y – f(x0)] = 0
Hay [f(x) – f(x0)]x – (x – x0)y – f(x)x0 + xf(x0) = 0
Tức là y = fx−fx0x−x0x+xfx0−x0fxx−x0 .
Do đó, hệ số góc của cát tuyến PQ là kPQ=f(x)−f(x0)x−x0.
b) Khi x → x0 thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?
b)
Khi thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P(x0; f(x0)) và khi x = x0 hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
c)
Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến gần đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = 12.
Ta có: y' = (x2)' = 2x nên y'12=2.12=1.
Vậy hệ số của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = 12 là k = 1.
Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường parabol (P).
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (P) tại điểm có hoành độ x0 = 1.
a)
Ta có: y' = (x2)' = 2x nên y'(1) = 2.1 = 2.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = 1 là k = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
b)
Ta có: x0 = 1 nên y0 = 12 = 1.
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 nên phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2x + c.
Suy ra: 1 = 2.1 + c ⇒ c = –1.
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2x – 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x2 tại điểm có hoành độ x0 = –1.
Ta có: y' = (–2x2) = –4x.
Nên hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = –1 là y'(–1) = –4.(–1) = 4.
Ngoài ra, ta có y(–1) = –2 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y – (–2) = 4(x + 1) hay y = 4x + 2.
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm AB. Tia Ox trùng với tia OB, tia Oy vuông góc với tia Ox tại O, hướng như hình vẽ.
Khi đó ta có: A(–200; 0); B(200; 0).
Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h (h > 0), suy ra đỉnh cầu có tọa độ (0; h).
Ta tìm được phương trình parabol của cầu là: y=−h2002x2+h.
Theo cách làm ở Ví dụ 2, ta có: y'=−2h2002x.
Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là:
k = y'=−2h2002x với –200 ≤ x ≤ 200
Do đó, |k| =−2h2002x ≤ −2h2002.200=h100.
Vì độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có: h100≤tan10°⇔ h ≤ 17,6.
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x2 – x tại x0 = 1;
a)
Ta có: f'(1) = limx→1f(x)−f(1)x−1=limx→1x2−xx−1=limx→1xx−1x−1=limx→1x=1.
Vậy f'(1) = 1.
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
b) y = –x3 tại x0 = –1.
b)
Ta có:
f'(–1) = limx→−1f(x)−f(−1)x−(−1)=limx→−1−x3−1x+1=limx→−1−x+1x2−x+1x+1
=limx→−1−(x2−x+1)=−3
Vậy f'(–1) = – 3.
Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = kx2 + c (với k, c là các hằng số);
a) Đặt y = f(x) = kx2 + c.
Với x0 bất kì, ta có:
f'(x0) = limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0kx2+c−(kx02+c)x−x0=limx→x0k(x2−x02)x−x0
=limx→x0k(x−x0)(x+x0)x−x0=limx→x0[k(x+x0)]=2kx0.
Vậy hàm số y = kx2 + c có đạo hàm là hàm số y' = 2kx.
Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
b) y = x3.
b) Đặt y = f(x) = x3.
Với x0 bất kì, ta có:
f'(x0) = limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x3−x03x−x0=limx→x0(x−x0)(x2+xx0+x02)x−x0
Vậy hàm số y = x3 có đạo hàm là hàm số y' = 3x2.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x2 + 4x, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ x0 = 1;
Đặt y = f(x) = – x2 + 4x.
Với x0 bất kì, ta có:
f'(x0) = limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0−x2+4x+x02−4x0x−x0
=limx→x0−x2−x02+4x−x0x−x0=limx→x0x−x0−x−x0+4x−x0.
Vậy hàm số y = –x2 + 4x có đạo hàm là hàm số y' = –2x + 4.
a)
Ta có: y'(1) = –2.1 + 4 = 2.
Ngoài ra, f(1) = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y – 3 = 2(x – 1) hay y = 2x + 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x2 + 4x, biết:
b) Tiếp điểm có tung độ y0 = 0.
b)
Ta có: y0 = 0 nên –x02 + 4x0 = 0 ⇔ x0=0x0=4.
+) Với x0 = 0, y0 = 0, ta có y'(0) = 4, do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4x.
+) Với x0 = 4, y0 = 0, ta có y'(4) = –4 do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = –4(x – 4) hay y = –4x + 16.
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t2. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t2.
Với x0 bất kì, ta có:f'(t0)=limt→t0f(t)−f(t0)t−t0=limt→t019,6t−4,9t2−19,6t0+4,9t02t−t0
=limt→t0−4,9t2−t02+19,6t−t0t−t0=limt→t0t−t0−4,9t−4,9t0+19,6t−t0
=limt→t0−4,9t−4,9t0+19,6=−9,8t0+19,6.
Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t2 có đạo hàm là hàm số h' = –9,8t0 + 19,6.
+ Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t2 = 0 ⇔ t=0t=4.
Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h'(4) = –9,8.4 + 19,6 = –19,6 (m/s).
Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L1 và đoạn dốc xuống L2 là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L1 và L2 phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax2 + bx + c, trong đó x tính bằng mét.
a) Tìm c.
b) Tính y'(0) và tìm b.
a)
Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0; 0) do đó ta có: c = y(0) = 0.
b)
Ta tính được: y' = 2ax + b.
Suy ra: y'(0) = b.
Mà L1 là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên y'(0) = 0,5 ⇒ b = 0,5.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.
c)
L2 là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc –0,75 nên
y'(xQ) = 2axQ + 0,5 = –0,75.
Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên xQ – xP = xQ = 40.
⇒ 2a . 40 + 0,5 = –0,75 ⇒ a = −164 .
Khi đó phương trình parabol là y=−164x2+12x .
d)
Ta có: yQ=−164.402+12.40=−5.
Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là: |yP – yQ| = 5.
