Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Tại điểm x₀ = 1 ta có y₀ = 2×1² + 3×1 – 1 = 4.

Với x ≠ 1, ta có y−4x−1=2x2+3x−1−4x−1=2x2+3x−5x−1=2x+5x−1x−1=2x+5

Do đó y'(1) = limx→1y−4x−1=limx→12x+5=7. Vậy y'(1) = 7.

+ Có f'(0) =  limx→0fx−f0x−0=limx→0x2x−12x=limx→02x−12=1

Vậy f'(0) = 1.

+ Có f'(1) = limx→1fx−f1x−1=limx→1x2x−12−1x−1

=limx→1x−12x−12+2x−12−1x−1

=limx→1x−12x−12+2x−1−12x−1+1x−1

=limx→1x−12x−12+4xx−1x−1

=limx→1x−12x−12+4xx−1

=limx→12x−12+4x=limx→14x2+1=5

Vậy f'(1) = 5.

Ta có f(0) = (0 – 1)² = 1.

Ta có limx→0+fx−f0x−0=limx→0+x−12−1x=limx→0+x2−2xx=limx→0+x−2=−2

limx→0−fx−f0x−0=limx→0−1−2x−1x=limx→0−−2xx=−2

Suy ra limx→0fx−f0x−0=limx→0+fx−f0x−0=limx→0−fx−f0x−0=−2

Vậy f'(0) = −2.

a) Đặt y = f(x) = ax².

Ta có y'(x₀) = limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x0ax2−ax02x−x0

=limx→x0ax2−x02x−x0=limx→x0ax−x0x+x0x−x0=limx→x0ax+x0=2ax0

Vậy y'(x₀) = 2ax₀.

b) Đặt y=fx=1x−1

Ta có y'(x₀) = limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x01x−1−1x0−1x−x0

=limx→x0x0−1−x−1x−1x0−1x−x0=limx→x0x0−xx−1x0−1x−x0=limx→x0−1x−1x0−1=−1x0−12

Vậy y'x0=−1x0−12, x₀ ≠ 1.

Giả sử M(a; a³ + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x³ + 1.

Đặt y = f(x) = x³ + 1. Có y'(a) = limx→afx−fax−a =limx→ax3+1−a3+1x−a=limx→ax3−a3x−a    

 =limx→ax−ax2+ax+a2x−a=limx→ax2+ax+a2=3a2

Theo đề bài, ta có y'(a) = 3 nên 3a² = 3 Û a = 1 hoặc a = −1.

Với a = 1 thì M(1; 2);

Với a = −1 thì M(−1; 0).

Vậy M(1; 2) và M(−1; 0) là tọa độ điểm cần tìm.

Đặt y = f(x) = −3x². Với x₀ bất kì, ta có:

y'(x₀) = limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x0−3x2+3x02x−x0

=limx→x0−3x2−x02x−x0=limx→x0−3x−x0x+x0x−x0=limx→x0−3x+x0=−6x0

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến có dạng k = y'(x₀) = −6x₀ (x = x₀ là hoành độ tiếp điểm).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6. Do đó −6x₀ = 6 Û x₀ = −1.

Với x₀ = −1 thì y(−1) = −3.

Khi đó, ta có phương trình tiếp tuyến là: y + 3 = 6(x + 1) hay y = 6x + 3.

Vậy y = 6x + 3 là phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t₀ bất kì là

v(t₀) = s'(t₀) = limt→t0st−st0t−t0

=limt→t0t3−4t2+4t−t03−4t02+4t0t−t0

=limt→t0t3−t03−4t2−t02+4t−t0t−t0

=limt→t0t−t0t2+tt0+t02−4t−t0t+t0+4t−t0t−t0

=limt→t0t−t0t2+tt0+t02−4t+t0+4t−t0

=limt→t0t2+tt0+t02−4t+t0+4=3t02−8t0+4

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×3² − 8×3 + 4 = 7 m/s.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×5² − 8×5 + 4 = 39 m/s.