10 Bài tập Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn (có lời giải)
10 câu hỏi
Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động s=12gt2, trong đó g = 9,8 m/s2 và t tính bằng giây. Vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là
66,8 m/s;
88,6 m/s;
68,6 m/s;
86,6 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là:
v(7) = s'(7) = limt→712⋅9,8t2−12⋅9,8⋅72t−7=limt→74,9t−7t+7t−7=limt→74,9t+7=68,6.
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là 68,6 m/s.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = t3 – t2 + 2t + 5, trong đó t tính bằng giây, và s tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là:
23 m/s;
32 m/s;
23 cm/s;
32 cm/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là:
v(3) = s'(3) = limt→3t3−t2+2t+5−29t−3=limt→3t3−t2+2t−24t−3=limt→3(t2+2t+8)=23.
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là 23 m/s.
Chi phí sản xuất x mét vải là C(x) = 1200 + 12x – 0,1x2. Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm một mét vải từ x mét vải lên x + 1 mét vải. Khi đó hàm chi phí biên C'(x) là:
12 + 0,2x;
0,2x – 12;
–12 – 0,2x;
12 – 0,2x.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: C'(x0)=limx→x01200+12x−0,1x2−1200−12x0+0,1x0x−x0
=limx→x012(x−x0)−0,1(x2−x0)x−x0
=limx→x012−0,1(x+x0)
= 12 – 0,2x0.
Vậy C'(x) = 12 – 0,2x.
Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q = 5t + 3 (t tính bằng giây, Q tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t = 8.
4 A;
5 A;
6 A;
8 A.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t = 8 là
I(8) = Q'(8) = limt→85t+3−43t−8=limt→85t−8t−8=limt→85=5.
Vậy I(8) = 5 A.
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t2. Vận tốc của vật khi nó chạm đất là
9,6 m/s;
– 9,6 m/s;
– 19,6 m/s;
19,6 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t2.
Với x0 bất kì, ta có:
0)=limt→t019,6t−4,9t2−19,6t0+4,9t02t−t0=limt→t0−4,9t2−t02+19,6t−t0t−t0
=limt→t0−4,9t−4,9t0+19,6=−9,8t0+19,6.
Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t2 có đạo hàm là hàm số h' = –9,8t + 19,6.
Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t2 = 0, tức là t = 0 hoặc t = 4.
Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h'(4) = –9,8 ∙ 4 + 19,6 = –19,6 (m/s).
Cho chuyển động thẳng có phương trình s(t)=13t3−4t2+20t−13, trong đó s tính bằng centimét, t tính bằng giây. Vận tốc nhỏ nhất của chuyển động là:
4 cm/s;
3,5 cm/s;
2 cm/s;
1,8 cm/s.
Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình s(t)=13t3−2t2+6t+1, trong đó s tính bằng centimét, t tính bằng giây. Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm đạt được tại thời điểm t bằng bao nhiêu giây?
t = 1 giây;
t = 2 giây;
t = 6 giây;
t = 7 giây.
Một vật chuyển động thẳng theo phương trình s(t) = 4t2 – t3, trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây. Vật có thể đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
8 m/s;
169m/s;
163m/s;
4 m/s.
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s(t) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (s), hàm số đó là s(t) = 6t2 – t3. Vận tốc của tàu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t bằng:
1 giây;
2 giây;
6 giây;
12 giây.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có v(t0) = s'(t0).
s'(t0)=limt→t06t2−t3−6t02+t03t−t0=limt→t06t2−t02−t3−t03t−t0
=limt→t06t+t0−t2+tt0+t02=12t0−3t02.
Ta có v(t0)=12t0−3t02=−3t0−22+12.
Vì – 3(t0 – 2)2 + 12 ≤ 12 với mọi t.
Dấu “=” xảy ra khi t0 – 2 = 0, tức là t0 = 2 (s).
Vậy tàu có vận tốc lớn nhất tại thời điểm t = 2 giây.
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các y bác sĩ ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = – t3 + 45t2 – 22. Nếu f'(t0) là tốc độ bệnh truyền nhiễm (người/ngày) tại thời điểm t0. Hỏi tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày bao nhiêu?
9;
10;
12;
15.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Tốc độ truyền bệnh (người/ngày) là:
f'(t0)=limt→t0−t3+45t2−22+t03−45t02+22t−t0=limt→t0−t3−t03+45t2−t02t−t0
=limt→t0−t2+tt0+t02+45t+t0=−3t02+90t0.
Nhận thấy f'(t) là một Parabol có hệ số a = –3 < 0 nên f'(t) đạt giá trị lớn nhất tại t=−902⋅−3=15.
Vậy tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 15.
