Ôn tập chương IV

* Do  2a > 2b nên a > b   (1)

* Lại có – 3b <  - 3c nên  b  >c  (2)

Từ (1) và  (2) suy ra:  a> c.

Nếu a > b và a > c thì:

      a +  a > b + c hay 2a >  b + c

Nếu 0 < a <  1 thì  $\frac{1}{a}>\frac{1}{1}=1$ và $0<\sqrt{a}<1$.

Suy ra: $\frac{1}{a}>\sqrt{a}$  

Ta có: $ax+b=0\iff x=\frac{-b}{a}$

 Và $cx+d=0\iff x=\frac{-d}{c}$ 

Theo giả thiết  ta có: $\frac{-b}{a}<\frac{-d}{c}\iff \frac{b}{a}>\frac{d}{c}$

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

* $a<b+c\iff a^2<a\left(b+c\right)\iff a^2<ab+ac$

* $a+c>b\iff b\left(a+c\right)>b^2\iff ab+bc>b^2$

* $$\begin{gathered} \left|b-c\right|<a\iff {\left(b-c\right)}^2<a^2\iff b^2-2bc+c^2<a^2 \\ \iff b^2+c^2<a^2+2bc \end{gathered}$$

Do đó, mệnh đề D không đúng.

Ta có: 

$f\left(x\right)=x-x^2=-\left(x^2-x\right)=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4} \forall x$

Do đó, hàm số $f\left(x\right)=x-x^2$ có giá trị lớn nhất là $\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$.

Ta có:  a – b = 2 nên a=  b +2.

Khi đó; tích $ab=\left(b+2\right).b=b^2+2b=\left(b^2+2b+1\right)-1={\left(b+1\right)}^2-1\ge -1 \forall b$

Vậy tích ab nhỏ nhất là -1 khi b = -1 ; a= 1

Xét bất đẳng thức:  $\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x}\ge 4$

Với x = -3  thì $\frac{{\left(-3+1\right)}^2}{-3}\ge 4$  ( vô lí) .

Do đó, bất đẳng thức này không đúng với mọi x khác 0 và -1.

Ta có: $M=\frac{x^2+x+1}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}-\frac{x+1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}=1-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$  (1)

Đặt $y=\frac{1}{x+1}$,  khi đó (1) trở thành: $y^2-y+1={\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$ 

Dấu “=” xảy ra khi y = 1$\iff y-\frac{1}{2}=0\iff y=\frac{1}{2}\iff \frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\iff 2=x+1\iff x=1$

Vậy M$\ge \frac{3}{4}$

Ta có: $x^2-5x+9=x^2-2x.\frac{5}{2}+\frac{25}{4}+\frac{11}{4}={\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}\ge \frac{11}{4} \forall x$ 

Do đó: $f\left(x\right)\le \frac{2}{{\displaystyle \frac{11}{4}}}=\frac{8}{11}$

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-5x+9}$ trên tập số thực là $\frac{8}{11} khi x=\frac{5}{2}$

Xét với a > 0. Ta có $a^{200}<3^{300}\iff {\left(a^2\right)}^{100}<{\left(3^3\right)}^{100}\iff a^2<3^3\iff a^2<27$.

Do đó số nguyên a lớn nhất thỏa mãn điều kiện là a = 5.

Với hai số thực a, b tùy ý. Ta có:  $\left|a-b\right|\le \left|a\right|+\left|b\right|$

Dấu “=” xảy ra khi a và b trái dấu.

Nếu a, b là những số thực và $\left|a\right|\le \left|b\right|$  thì ${\left(\left|a\right|\right)}^2\le {\left(\left|b\right|\right)}^2\iff a^2\le b^2$

Với mọi x ta luôn có: $-x\le \left|x\right|$

Nếu $\left|a\right|=\left|b\right|$ và b >0 thì $\left|a\right|=b$ ( *)

*  Với a> 0 thì  từ (*) suy ra: a= b.

$\Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\le 0$

* Với a <  0  từ (*) – a = b; ta có:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{a}<0; \frac{1}{b}=\frac{1}{-a}=\frac{-1}{a} \\ \Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a}-\frac{-1}{a}=\frac{2}{a}<0 \end{gathered}$$  ( vì a < 0 )

Như vậy, ta luôn có:  $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\le 0$

Ta có; $\left|x\right|<A\iff -A<x<A$.

Suy ra; nếu $\left|a\right|<\left|b\right|$ thì $-\left|b\right|<a<\left|b\right|\Rightarrow -\left|b\right|\le a\le \left|b\right|$

Với x > 1  thì x -1 >0 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge 2.\sqrt{\frac{x-1}{2}.\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2} \\ \iff f\left(x\right)\ge 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1} với x>1$  là $\frac{5}{2}$

Dấu “=’ xảy  ra khi $\frac{x-1}{2}=\frac{2}{x-1}\iff {\left(x-1\right)}^2=4\iff x=3>1$

Do x> 0 nên 2x >0  và  $\frac{3}{x}>0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương:  $2x;\frac{3}{x}$

$f\left(x\right)=2x+\frac{3}{x}\ge 2.\sqrt{2x.\frac{3}{x}}=2\sqrt{6}$

Dấu “=” xảy ra khi $2x=\frac{3}{x}\iff x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Do x > 0 nên $\frac{x}{2}>0;\frac{3}{x^2}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số dương $\frac{x}{2};\frac{x}{2};\frac{3}{x^2}$ ta được:

$f\left(x\right)=x+\frac{3}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{3}{x^2}\ge 3.\sqrt[3]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{3}{x^2}}=3.\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Số x = 1  là nghiệm của bất phương trình nên:

$2m-3m\ge 1\iff -m\ge 1\iff m\le -1$

Điều kiện: x > 2.

Với điều kiện trên , phương  trình đã cho trở thành:

$\left|x-3\right|=x-3\iff x-3\ge 0\iff x\ge 3$

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của phương trình  là $S=[3;+\infty )$

* Nếu m= 0 thì bất phương trình đã cho trở  thành: 

0x < 0(  luôn đúng với mọi x).

* Nếu  m= -3 thì bất phương trình đã cho  trở thành:

0x < 9 ( luôn đúng với mọi x)

Tập tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x là {0; 1}

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì:

   ac =  -m - 6 < 0 hay  m > -  6

Để xét bất phương trình bậc nhất vô nghiệm hay luôn đúng với mọi x ta chỉ cần xét hệ số a= 0.

* Với m = 0 thì bất phương  trình đã cho trở thành:

       $0x\le 0$( luôn đúng với mọi  x)   ( loại)

* Với m = -3 thì bất phương trình đã cho trở thành:

        $0x\le 9$  (luôn đúng với mọi  x)   ( loại)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình đã cho vô nghiệm

Để phương  trình đã cho có nghiệm khi:

$$\begin{gathered} ∆\text{'}={\left(2m\right)}^2-\left(4m^2-2m-5\right)\ge 0 \\ \iff 2m+5\ge 0\iff m\ge \frac{-5}{2} \end{gathered}$$

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}2x+1>3x-2\\ -x-3<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-x>-3\\ -x<3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<3\\ x>-3\end{array}\right.\iff -3<x<3$

Điều kiện xác định:

$\left\{\begin{array}{l}2-3x>0\\ 2x-1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3x>-2\\ 2x\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<\frac{2}{3}\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}\le x<\frac{2}{3}$

Tập xác định của hàm số  là $D= [\frac{1}{2};\frac{2}{3})$.

Điều kiện xác định:  $\left\{\begin{array}{l}2x-3\ge 0\\ 4x-3\ge 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{3}{2}\\ x\ge \frac{3}{4}\end{array}\iff x\ge \frac{3}{2}\right.\right.$

 Tập xác định của hàm số  là $[\frac{3}{2};+\infty )$

Điều kiện xác định:  $\left\{\begin{array}{l}4x-3\ge 0\\ 5x-6\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{3}{4}\\ x\ge \frac{6}{5}\end{array}\iff x\ge \frac{6}{5}\right.$

Tập xác định của hàm số là $D=[\frac{6}{5};+\infty )$.

Hai đẳng thức $\left|2x-3\right|=2x-3; \left|3x-8\right|=8-3x$ đồng thời xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}2x-3\ge 0\\ 3x-8\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{3}{2}\\ x\le \frac{8}{3}\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}\le x\le \frac{8}{3}$

Ta có:  2x +  4 < 0 khi x < - 2.

* Xét mx + 1 >  0   (*)

   + Nếu m = 0 thì (*) trở thành: 0x + 1 >0 (luôn đúng).

  + Nếu m > 0 thì $\left(*\right)\iff mx>-1\iff x>\frac{-1}{m}$

Suy ra, tập nghiệm của hệ bất phương trình không thể $\left(-\infty ;-2\right)$

  + Nếu m < 0 thì $\left(*\right)\iff mx>-1\iff x<\frac{-1}{m}$

Để hệ bất phương trình có tập nghiệm là $\left(-\infty ;-2\right)$ khi và chỉ khi :

$\frac{-1}{m}\ge -2\iff \frac{-1+2m}{m}\ge 0\iff -1+2m\le 0$  ( vì m < 0)

$\iff 2m\le 1\iff m\le \frac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện m < 0 ta được: m < 0

Từ các trường hợp trên suy ra:   $m\le 0$.

Ta có:  $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x-m<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x<2+m\end{array}\right.$

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{1}{2}<2+m\iff m>\frac{-3}{2}$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 3\\ x-m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le m\end{array}\right.$. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 2

Hàm số $y=\sqrt{m-2x}-\sqrt{x+1}$ xác định khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}m-2x\ge 0\\ x+1\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le \frac{m}{2}\\ x\ge -1\end{array}\right.$.

Do đó tập xác định của hàm số $y=\sqrt{m-2x}-\sqrt{x+1}$ là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi $\frac{m}{2}>-1\iff m>-2$

Ta có:  $x^2<9\iff -3<x<3$

Ta có: $x^2-6\sqrt{2}x+18={\left(x-3\sqrt{2}\right)}^2\ge 0 \forall x$

Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-6\sqrt{2}x+18\ge 0$ là S=  R.

Điều kiện xác định: $5x^2-4x-1\ge 0\iff [\begin{array}{l}x\le \frac{-1}{5}\\ x\ge 1\end{array}$

Do đó, tập xác định của hàm số $y=\sqrt{5x^2-4x-1}$ là $D=(-\infty ;-\frac{1}{5}]\cup [1;+\infty )$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \sqrt{x}-3x\le 0\iff \sqrt{x}\left(1-3\sqrt{x}\right)\le 0 \\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 1-3\sqrt{x}\le 0\end{array}\right.\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3\sqrt{x}\ge 1\end{array}\right.\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ \left\{\begin{array}{l}x>0\\ \sqrt{x}\ge \frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array} \\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ge \frac{1}{9}\end{array}\right.\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x\ge \frac{1}{9}\end{array} \end{gathered}$$

Điều kiện:  x>0 .

Khi đó, bất phương trình đã cho tương  đương:

$\sqrt{x}\le 4\Rightarrow 0<x\le 16$.

Điều kiện:  -1 < x < 1.

Với điều kiện trên,  phương trình đã cho tương đương: x =  5- 2m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì:  -1 < 5- 2m < 1

$\iff -6<-2m<-4\iff 3>m>2$.