Ôn tập chương IV

* Do  2a > 2b nên a > b   (1)

* Lại có – 3b <  - 3c nên  b  >c  (2)

Từ (1) và  (2) suy ra:  a> c.

Nếu a > b và a > c thì:

      a +  a > b + c hay 2a >  b + c

Nếu 0 < a <  1 thì  1a>11=1 và 0<a<1.

Suy ra: 1a>a  

Ta có: ax+b=0⇔x=-ba

 Và cx+d=0⇔x=-dc 

Theo giả thiết  ta có: -ba<-dc⇔ba>dc

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

* a<b+c⇔a2<ab+c⇔a2<ab+ac

* a+c>b⇔ba+c>b2⇔ab+bc>b2

* b-c<a⇔b-c2<a2⇔b2-2bc+c2<a2⇔b2+c2<a2+2bc

Do đó, mệnh đề D không đúng.

Ta có: 

fx=x-x2=-x2-x=-x2-2.x.12+14+14=-x-122+14≤14 ∀x

Do đó, hàm số fx=x-x2 có giá trị lớn nhất là 14 khi x=12.

Ta có:  a – b = 2 nên a=  b +2.

Khi đó; tích ab=b+2.b=b2+2b=b2+2b+1-1=b+12-1≥-1 ∀b

Vậy tích ab nhỏ nhất là -1 khi b = -1 ; a= 1

Xét bất đẳng thức:  x+12x≥4

Với x = -3  thì -3+12-3≥4  ( vô lí) .

Do đó, bất đẳng thức này không đúng với mọi x khác 0 và -1.

Ta có: M=x2+x+1x+12=x2+2x+1x+12-x+1x+12+1x+12=1-1x+1+1x+12  (1)

Đặt y=1x+1,  khi đó (1) trở thành: y2-y+1=y-122+34≥34 

Dấu “=” xảy ra khi y = 1⇔y-12=0⇔y=12⇔1x+1=12⇔2=x+1⇔x=1

Vậy M≥34

Ta có: x2-5x+9=x2-2x.52+254+114=x-522+114≥114 ∀x 

Do đó: fx≤2114=811

Giá trị lớn nhất của hàm số fx=2x2-5x+9 trên tập số thực là 811 khi x=52

Xét với a > 0. Ta có a200<3300⇔a2100<33100⇔a2<33⇔a2<27.

Do đó số nguyên a lớn nhất thỏa mãn điều kiện là a = 5.

Với hai số thực a, b tùy ý. Ta có:  a-b≤a+b

Dấu “=” xảy ra khi a và b trái dấu.

Nếu a, b là những số thực và a≤b  thì a2≤b2⇔a2≤b2

Với mọi x ta luôn có: -x≤x

Nếu a=b và b >0 thì a=b ( *)

*  Với a> 0 thì  từ (*) suy ra: a= b.

⇒1a-1b≤0

* Với a <  0  từ (*) – a = b; ta có:

⇒1a<0; 1b=1-a=-1a⇒1a-1b=1a--1a=2a<0  ( vì a < 0 )

Như vậy, ta luôn có:  1a-1b≤0

Ta có; x<A⇔-A<x<A.

Suy ra; nếu a<b thì -b<a<b⇒-b≤a≤b

Với x > 1  thì x -1 >0 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có:

fx=x2+2x-1=x-12+2x-1+12≥2.x-12.2x-1+12⇔fx≥2+12=52

Giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x2+2x-1 với x>1  là 52

Dấu “=’ xảy  ra khi x-12=2x-1⇔x-12=4⇔x=3>1

Do x> 0 nên 2x >0  và  3x>0.

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương:  2x;3x

fx=2x+3x≥2.2x.3x=26

Dấu “=” xảy ra khi 2x=3x⇔x=32=62.

Do x > 0 nên x2>0;3x2>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số dương x2;x2;3x2 ta được:

fx=x+3x2=x2+x2+3x2≥3.x2.x2.3x23=3.343

Số x = 1  là nghiệm của bất phương trình nên:

2m-3m≥1⇔-m≥1⇔m≤-1

Điều kiện: x > 2.

Với điều kiện trên , phương  trình đã cho trở thành:

x-3=x-3⇔x-3≥0⇔x≥3

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của phương trình  là S=[3;+∞)

* Nếu m= 0 thì bất phương trình đã cho trở  thành: 

0x < 0(  luôn đúng với mọi x).

* Nếu  m= -3 thì bất phương trình đã cho  trở thành:

0x < 9 ( luôn đúng với mọi x)

Tập tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x là {0; 1}

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì:

   ac =  -m - 6 < 0 hay  m > -  6

Để xét bất phương trình bậc nhất vô nghiệm hay luôn đúng với mọi x ta chỉ cần xét hệ số a= 0.

* Với m = 0 thì bất phương  trình đã cho trở thành:

       0x≤0( luôn đúng với mọi  x)   ( loại)

* Với m = -3 thì bất phương trình đã cho trở thành:

        0x≤9  (luôn đúng với mọi  x)   ( loại)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình đã cho vô nghiệm

Để phương  trình đã cho có nghiệm khi:

∆'=2m2-4m2-2m-5≥0⇔2m+5≥0⇔m≥-52

Ta có:  2x+1>3x-2-x-3<0⇔-x>-3-x<3⇔x<3x>-3⇔-3<x<3

Điều kiện xác định:

2-3x>02x-1≥0⇔-3x>-22x≥1⇔x<23x≥12⇔12≤x<23

Tập xác định của hàm số  là D= [12;23).

Điều kiện xác định:  2x-3≥04x-3≥0⇔x≥32x≥34⇔x≥32

 Tập xác định của hàm số  là [32;+∞)

Điều kiện xác định:  4x-3≥05x-6≥0⇔x≥34x≥65⇔x≥65

Tập xác định của hàm số là D=[65;+∞).

Hai đẳng thức 2x-3=2x-3; 3x-8=8-3x đồng thời xảy ra khi và chỉ khi

2x-3≥03x-8≤0⇔x≥32x≤83⇔32≤x≤83

Ta có:  2x +  4 < 0 khi x < - 2.

* Xét mx + 1 >  0   (*)

   + Nếu m = 0 thì (*) trở thành: 0x + 1 >0 (luôn đúng).

  + Nếu m > 0 thì *⇔mx>-1⇔x>-1m

Suy ra, tập nghiệm của hệ bất phương trình không thể -∞;-2

  + Nếu m < 0 thì *⇔mx>-1⇔x<-1m

Để hệ bất phương trình có tập nghiệm là -∞;-2 khi và chỉ khi :

-1m≥-2⇔-1+2mm≥0⇔-1+2m≤0  ( vì m < 0)

⇔2m≤1⇔m≤12

Kết hợp điều kiện m < 0 ta được: m < 0

Từ các trường hợp trên suy ra:   m≤0.

Ta có:  2x-1>0x-m<2⇔x>12x<2+m

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 12<2+m⇔m>-32

Ta có 2x-1≥3x-m≤0⇔x≥2x≤m. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 2

Hàm số y=m-2x-x+1 xác định khi và chỉ khi m-2x≥0x+1≥0⇔x≤m2x≥-1.

Do đó tập xác định của hàm số y=m-2x-x+1 là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi m2>-1⇔m>-2

Ta có:  x2<9⇔-3<x<3

Ta có: x2-62x+18=x-322≥0 ∀x

Tập nghiệm của bất phương trình x2-62x+18≥0 là S=  R.

Điều kiện xác định: 5x2-4x-1≥0⇔[x≤-15x≥1

Do đó, tập xác định của hàm số y=5x2-4x-1 là D=(-∞;-15]∪[1;+∞)

Ta có: 

x-3x≤0⇔x1-3x≤0⇔[x=0x>01-3x≤0⇔[x=0x>03x≥1⇔[x=0x>0x≥13⇔[x=0x>0x≥19⇔[x=0x≥19

Điều kiện:  x>0 .

Khi đó, bất phương trình đã cho tương  đương:

x≤4⇒0<x≤16.

Điều kiện:  -1 < x < 1.

Với điều kiện trên,  phương trình đã cho tương đương: x =  5- 2m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì:  -1 < 5- 2m < 1

⇔-6<-2m<-4⇔3>m>2.