Ôn tập chương 4
14 câu hỏi
Sử dụng bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau
a) x là số dương.
b) y là số không âm.
c) Với mọi số thực α, |α| là số không âm.
d) Trung bình cộng của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.
a) x > 0
b) y ≥ 0
c) ∀α ∈ R, |α| ≥ 0
d) ∀a, b > 0, 
Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết
a) ab > 0; b) 
;
c) ab < 0; d) 
?
a) Hai số a và b cùng dấu.
b) Hai số a và b cùng dấu.
c) Hai số a và b trái dấu nhau.
d) Hai số a và b trái dấu nhau.
Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?
Suy luận (C) đúng.
Giải thích:
+ Suy luận (A) sai.
Ví dụ: x = y = –2 < 1 thì x.y = 4 > 1.
+ Suy luận (B) sai
Ví dụ : x = –6 < 1, y = –3 < 1 thì (x/y) = 2 > 1.
+ Suy luận (C) đúng vì
Nếu 0 < y < 1 và 0 < x < 1 thì x.y < 1.1 = 1 (Nhân hai BĐT cùng chiều)
Nếu y ≤ 0 và 0 < x < 1 thì x.y ≤ 0 (Do x và y trái dấu) nên x.y < 1.
Do đó với mọi x, y thỏa mãn 0 < x < 1 và y < 1 ⇒ xy < 1.
+ Suy luận (D) sai
Ví dụ: x = 0 < 1, y = -5 < 1 thì x - y = 5 > 1.
Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào?
Khối lượng thực của vật nằm trong khoảng (26,4 - 0,05; 26,4 + 0,05) = (26,35; 26,45) kg.
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 - x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn:
a) f(x) = g(x);
b) f(x) > g(x);
c) f(x) < g(x).
Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.
Vẽ đồ thị:
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x + 1 qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).
- Vẽ đồ thị hàm số y = g(x) = 3 - x qua hai điểm (0; 3) và (3; 0)
a) Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x).
Giao điểm của hai đường thẳng y = x + 1 và y = 3 – x là điểm A(1; 2).
Do đó phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = 1.
Kiểm tra bằng tính toán:
f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3 - x ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.
b) Khi x > 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g(x), hay với x > 1 thì f(x) > g(x).
Kiểm tra bằng tính toán:
f(x) > g(x) ⇔ x + 1 > 3 - x ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1.
c) Khi x < 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = g(x), hay với x < 1 thì f(x) < g(x).
Kiểm tra bằng tính toán:
f(x) < g(x) ⇔ x + 1 < 3 - x ⇔ 2x < 2 ⇔ x < 1.
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương.
- Điều kiện của một bất phương trình là các điều kiện của ẩn x sao cho các biểu thức của bất phương trình đó đều có nghĩa.
- Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.a
Nếu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.
- Vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.
- Chọn điểm M(xo, yo) không thuộc (d) (thường chọn điểm (0; 0)) và tính giá trị axo + byo.
- So sánh axo + byo với c:
+ Nếu axo + byo < c thì tọa độ điểm M thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) (tính cả đường thẳng d) chứa điểm M
+ Nếu axo + byo > c thì tọa độ điểm M không thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) (tính cả đường thẳng d) không chứa điểm M.
Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Định lí (trang 101 sgk Đại Số 10):
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), Δ = b2 – 4ac
- Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.
- Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ≠ -b/2a.
- Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2
f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1 < x2.
Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng
Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức.
Ta có:
Do đó: 
(đpcm)
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 
và √b ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b > 0
Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 - x2 + 6x - 9 và
Ta có:
f(x) = x4 – x2 + 6x – 9 = x4 – (x2 – 6x +9) = – (x-3)2
= (x2 –x + 3).(x2 + x - 3)
+ Tam thức x2 – x + 3 có Δ = -11 < 0, a = 1 > 0 nên x2 – x + 3 > 0 với ∀ x ∈ R.
+ Tam thức x2 + x – 3 có hai nghiệm 
Ta có bảng xét dấu sau:
Kết luận:
Tam thức x2 - 2x + 2 có Δ = -4 < 0, hệ số a = 1 > 0 nên x2 - 2x + 2 > 0 với ∀ x ∈ R
Tam thức x2 - 2x - 2 có hai nghiệm là x1 = 1 - √3; x2 = 1 + √3.
Tam thức x2 - 2x có hai nghiệm là x1 = 0; x2 = 2
Ta có bảng xét dấu :
Kết luận : g(x) < 0 khi x ∈ (1 - √3; 0) ∪ (2; 1 + √3)
g(x) = 0 khi x = 1- √3 hoặc x = 1 + √3
g(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 1 - √3) ∪ (0; 2) ∪ (1 + √3; +∞)
g(x) không xác định khi x = 0 và x = 2.
Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: x(x3 - x + 6) > 9
Ta có: x(x3 - x + 6) > 9
⇔ x4 - x2 + 6x - 9 > 0
⇔ f(x) > 0
thấy f(x) > 0 khi
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, chứng mình rằng:
b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 > 0 ∀x
Xét tam thức f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 có:
Δ = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
= (b2 + c2 - a2 - 2bc)(b2 + c2 - a2 + 2bc)
= [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]
= (b – c – a)(b – c + a)(b + c + a)(b + c – a).
Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:
b < c + a ⇒ b – c – a < 0
c < a + b ⇒ b – c + a > 0
a < b + c ⇒ b + c – a > 0
a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0
⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b2 ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta biến đổi hệ bất phương trình:
Ta vẽ các đường thẳng 3x + y = 9 (d1); x – y = -3 (d2); x + 2y = 8 (d3); y = 6 (d4)
Nhận thấy (x; y) = (4; 4) thỏa mãn tất cả các bất phương trình của hệ nên A(4; 4) nằm trong miền nghiệm của hệ.
Ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ là các đường thẳng (d1); (d2); (d3); (d4) không chứa điểm A(4 ; 4).
Miền nghiệm của hệ là phần mặt phẳng không bị tô đậm, tính cả các đường biên.
