Giải SGK Toán 8 KNTT Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu có đáp án
30 câu hỏi
Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?
Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 2002 – 22 = 40 000 – 4 = 39 996.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) a(a + 2b) = a2 + 2ab;
a) Đẳng thức a(a + 2b) = a2 + 2ab là hằng đẳng thức;
b) a + 1 = 3a – 1.
b) Đẳng thức a + 1 = 3a – 1 không là hằng đẳng thức (vì khi ta thay a = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 1 còn kết quả ở vế phải bằng – 1. Khi đó, kết quả hai vế của đẳng thức không bằng nhau).
Quan sát Hình 2.1.
a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.
a) Xét Hình 2.1a:
Diện tích hình vuông bao gồm cả phần màu vàng và phần màu xanh là: a2.
Phần màu vàng là hình vuông có cạnh là b nên có diện tích bằng: b2.
Diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1.a là: a2 – b2.
b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1.b.
b) Phần hình màu xanh ở Hình 2.1.b có chiều dài là a + b.
Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1.b là: (a + b)(a – b).
c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?
c) Nhận xét: Diện tích của hai hình ở câu a và câu b bằng nhau.
Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a – b).
Từ đó rút ra liên hệ giữa a2 – b2 và (a + b)(a – b).
Ta có (a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2.
Do đó a2 – b2 = (a + b)(a – b).
a) Tính nhanh 992 – 1;
a) Ta có 992 – 1 = (99 + 1)(99 – 1) = 100 . 98 = 9 800;
b) Viết x2 – 9 dưới dạng tích.
b) Ta có x2 – 9 = x2 – 32 = (x + 3)(x – 3).
Vậy x2 – 9 = (x + 3)(x – 3).
Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.
Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?
Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 2002 – 22 = 40 000 – 4 = 39 996.
Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b). Từ đó rút ra liên hệ giữa (a + b)2 và a2 + 2ab + b2.
Ta có: (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Ta thấy (a + b)(a + b) = (a + b)2; (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2.
Do đó (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2.
a) Khai triển (2b + 1)2.
a) Ta có (2b + 1)2 = (2b)2 + 2 . 2b . 1 + 12 = 4b2 + 4b + 1.
b) Viết biểu thức 9y2 + 6yx + x2 dưới dạng bình phương của một tổng.
b) Ta có 9y2 + 6yx + x2 = (3y)2 + 2 . 3y . x + x2 = (3y + x)2.
Vậy 9y2 + 6yx + x2 = (3y + x)2.
Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính (a – b)2.
Ta có (a – b)2 = [a + (–b)]2 = a2 + 2ab + (–b)2 = a2 + 2ab + b2.
Do đó (a – b)2 = a2 + 2ab + b2.
Khai triển (3x – 2y)2.
Ta có (3x – 2y)2 = (3x)2 – 2 . 3x . 2y + (2y)2 = 9x2 – 12xy + 4y2.
Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người hướng dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính 1 0022. Chỉ vài giây sau, Nam đã tính kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính như thế nào.
Để tính nhanh kết quả của phép tính 1 0022, có thể Nam đã tính như sau:
Sử dụng công thức bình phương của một tổng, ta thực hiện:
1 0022 = (1 000 + 2)2 = 1 0002 + 2 . 1 000 . 2 + 22
= 1 000 000 + 4 000 + 4 = 1 004 004.
Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) x + 2 = 3x + 1;
a) Đẳng thức x + 2 = 3x + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 2, vế phải bằng 1, khi đó kết quả của hai về không bằng nhau;
b) 2x(x + 1) = 2x2 + 2x;
b) Đẳng thức 2x(x + 1) = 2x2 + 2x là hằng đẳng thức;
c) (a + b)a = a2 + ba;
c) Đẳng thức (a + b)a = a2 + ba là hằng đẳng thức;
d) a – 2 = 2a + 1.
d) Đẳng thức a – 2 = 2a + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 2 thì kết quả ở vế trái bằng 0, vế phải bằng 5, khi đó kết quả của hai về không bằng nhau.
Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) x−3yx+3y=x2− ? ;
a) Ta có (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2.
Vậy ta điền như sau x−3yx+3y=x2− 9y2
b) 2x−y2x+y=4 ? − y2
b) Ta có (2x – y)(2x + y) = (2x)2 – y2 = 4x2 – y2.
Vậy ta điền như sau 2x−y2x+y=4 x2 − y2
c) x2+8xy+ ? =( ? + 4y)2
c) Ta có x2 + 8xy + 16y2 = x2 + 2 . x . 4y + (4y)2 = (x + 4y)2.
Vậy ta điền như sau x2+8xy+ 16y2=( x + 4y)2
d) ? −12xy+9y2=(2x− ? )2
d) Ta có 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x)2 – 2 . 2x . 3y + (3y)2 = (2x – 3y)2.
Vậy ta điền như sau 4x2 −12xy+9y2=(2x− 3y )2 .
Tính nhanh:
a) 54 . 66;
b) 2032.
a) 54 . 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 602 – 62
= 3 600 – 36 = 3564;
b) 2032 = (200 + 3)2 = 2002 + 2 . 200 . 3 + 32
= 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209.
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 4x + 4;
a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2 . x . 2 + 22 = (x + 2)2;
b) 16a2 – 16ab + 4b2.
b) 16a2 – 16ab + 4b2 = (4a)2 – 2 . 4a . 2b + (2b)2 = (4a – 2b)2.
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x – 3y)2 – (x + 3y)2;
a) (x – 3y)2 – (x + 3y)2 = [(x – 3y) + (x + 3y)] [(x – 3y) – (x + 3y)]
= (x – 3y + x + 3y)(x – 3y – x – 3y) = 2x . (–6y) = –12xy;
b) (3x + 4y)2 + (4x – 3y)2.
b) (3x + 4y)2 + (4x – 3y)2
= (3x)2 + 2 . 3x . 4y + (4y)2 + (4x)2 – 2 . 4x . 3y + (3y)2
= (3x)2 + (4y)2 + (4x)2 + (3y)2 = 9x2 + 16y2 + 16x2 + 9y2
= 25x2 + 25y2.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
(n + 2)2 – n2 chia hết cho 4.
Ta có (n + 2)2 – n2 = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)
Vì n là số tự nhiên nên n + 1 cũng là số tự nhiên
Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.
Vậy với mọi số tự nhiên n, ta có (n + 2)2 – n2 chia hết cho 4.
