Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án
42 câu hỏi
Ta đã biết trong mặt phẳng Oxy, phương trình tham số của đường thẳng có dạng: .
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng có dạng như thế nào?
Sau khi học xong bài này, ta biết được:
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) với t Î ℝ (t được gọi là tham số).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0 cố định và vectơ khác . Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua M0 và song song hoặc trùng với giá của .
Có một đường thẳng d đi qua M0 và song song hoặc trùng với giá của .
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
\(\overrightarrow {AA'} = \left( {3;7;8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng BB' vì AA' // BB'.
\(\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C' vì AC // A'C'.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) cố định và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) khác \(\overrightarrow 0 \).
a) Giải thích tại sao ta có thể viết: M Î d Û \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow a ,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
b) Với M(x; y; z) thuộc d, hãy tính x, y, z theo x0, y0, z0 và a1, a2, a3.
a) Ta có M Î d thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương với \(\overrightarrow a \). Do đó \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow a ,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\).
Mà \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\overrightarrow a \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = {a_1}t\\y - {y_0} = {a_2}t\\z - {z_0} = {a_3}t\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow a = \left( {8; - 4;12} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Có \(\overrightarrow b = \frac{1}{4}\overrightarrow a = \left( {2; - 1;3} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
b) Cho t = 0, ta có A(−1; 0; 3).
Cho t = 1, ta có B(7; −4; 15).
Cho t = 2, ta có C(15; −8; 27).
Vậy 3 điểm A, B, C là ba điểm thuộc d.
Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 0; −7) và nhận \(\overrightarrow v = \left( {9;0; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 9t\\y = 0\\z = - 7 - 2t\end{array} \right.\).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 4 = 5 + 9t\\0 = 0\\ - 5 = - 7 - 2t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\end{array} \right.\) (luôn đúng).
Vậy điểm M Î d.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = t\\\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = t\\\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t\end{array} \right.\).
Mà M Î d nên \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 42 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Đường thẳng d đi qua điểm M0(5; 0; −6) và nhận \(\overrightarrow a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}\).
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
b) Đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; 1) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
Đường thẳng MN đi qua M và có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).
Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian Oxyz như Hình 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn làn đường đi qua hai điểm M(4; 3; 20) và N(4; 1000; 20).
Đường thẳng d đi qua M(4; 3; 20) và nhận \(\overrightarrow a = \frac{1}{{997}}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{{997}}\left( {0;997;0} \right) = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3 + t\\z = 20\end{array} \right.\).
a) Ta có \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {{a_2}} = \left( {2;4;6} \right),\overrightarrow {{a_3}} = \left( {2;4;6} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của d, d' và d".
Ta có 3 vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau.
b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2t'\\1 = 7 + 4t'\\1 = 2 + 6t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 2\\t' = - \frac{3}{2}\\t' = - \frac{1}{6}\end{array} \right.\) (vô nghiệm).
Vậy điểm M Ï d'.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d" ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}4 = 5 + 2t''\\1 = 3 + 4t''\\1 = 4 + 6t''\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t'' = \frac{{ - 1}}{2}\\t'' = \frac{{ - 1}}{2}\\t'' = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\).
Vậy điểm M Î d".
a) Đường thẳng d đi qua M(7; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(3; 5; 4) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được
\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\) (luôn đúng). Suy ra điểm M Î d'.
Vậy d ≡ d'.
b) Đường thẳng d đi qua M(0; 0; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {3;3;4} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(2; 9; 5) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {3;3;4} \right) = \overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta có:
\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\) (vô lí). Suy ra M Ï d'.
Vậy d // d'.
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục d của mũi khoan và trục d' của giá đỡ có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và d': \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 5 + 5t'\end{array} \right.\).
Đường thẳng d đi qua M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(10; 20; 5) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {0;0;5} \right) = 5\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 10\\1 = 20\\1 = 5 + 5t'\end{array} \right.\) (vô lí). Suy ra M Ï d.
Vậy d // d'.
a) Ta có đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' không song song với nhau.
Đường thẳng d" đi qua P(2; −2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a_3}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_3}} \) không cùng phương nên d và d" không song song với nhau.
b) \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\\t + 3t' = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right.\). Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Vậy d và d' cắt nhau.
c) \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t'' = 1\\3t - t'' = - 4\\t + 3t'' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\\ - 1 + 3 = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm).
Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.
a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {4;7;11} \right)\).
Ta có \(\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{7}\) nên \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.
Xét phương trình d' ở dạng tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t'\\y = 7t'\\z = - 1 + 11t'\end{array} \right.\).
Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2 + 4t' = 2t\\7t' = 1 - t\\ - 1 + 11t' = 2 - 3t\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t' - 2t = - 2\\7t' + t = 1\\11t' + 3t = 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t = 1\\11.0 + 3.1 = 3\end{array} \right.\].
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Do đó d và d' cắt nhau.
b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {1;2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {3;2;9} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{3} \ne \frac{2}{2}\) do đó \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.
Ta có phương trình đường thẳng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượt là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t'\\y = 1 + 2t'\\z = 1 + 9t'\end{array} \right.\).
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4 + t = 2 + 3t'\\1 + 2t = 1 + 2t'\\1 + 2t = 1 + 9t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 3t' = - 2\\2t - 2t' = 0\\2t - 9t' = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 1\\2.1 - 9.1 = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm).
Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng d trên trụ cầu và đường thẳng d' trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.\).
Xét vị trí tương đối giữa d và d'.
Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {0;1;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương với nhau nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.
Ta xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 20\\0 = t'\\50 + t = 50\end{array} \right.\) (vô nghiệm).
Vậy d và d' chéo nhau.
a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {1;4;9} \right)\).
b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} \) = 1.1 + 2.4 + (−1).9 = 0.
Do đó d ^ d'.
a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {a'} = \left( {1;1;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} \) = 1.1 + (−3).1 + 1.2 = 0.
Do đó d và d' vuông góc với nhau.
b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {7;3;1} \right)\), \(\overrightarrow {a'} = \left( {2;2;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} \) = 7.2 + 3.2 + 1.2 = 22 ≠ 0.
Do đó d và d' không vuông góc với nhau.
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' có phương trình lần lượt là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa d và d', chúng có vuông góc với nhau không?
Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {0;0;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} \) = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0.
Do đó d và d' vuông góc với nhau.
a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu (d, d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.
b) \(\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \overrightarrow a \) . Do đó \(\overrightarrow b \) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c) Vì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:
+) (d, d') = \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)\) nếu \(0^\circ \le \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right) \le 90^\circ \)
+) \(\left( {d,d'} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)\) nếu \(90^\circ < \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right) \le 180^\circ \).
Do đó \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right|\).
d) \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.2 + 3.\left( { - 8} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{7\sqrt {22} }}\).
a) Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = \left( {3;5;4} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Suy ra (d, d') ≈ 71,57°.
b) Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = \left( {3;6;6} \right),\overrightarrow {a'} = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}\).
Suy ra (d, d') ≈ 63,61°.
c) Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 5} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}\).
Suy ra (d, d') ≈ 77,83°.
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian Oxyz. Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \[d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\].
Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {a'} = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = \frac{0}{{3\sqrt {66} }} = 0\).
Suy ra (d, d') = 90°.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết d cắt (P) tại điểm N và hình chiếu vuông góc của d lên (P) là đường thẳng d'. Qua N vẽ đường thẳng D vuông góc với (P) (Hình 12).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo của hai góc α = (d, d'); β = (D, d)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức: \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right)} \right|\).
a) Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a' của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P). Kí hiệu (a, (P)).
b) Ta có α + β = 90° hay (d, d') + (D, d) = 90° Þ (d, d') = 90° − (D, d).
c) Vì (d, (P)) = (d, d') = 90° − (D, d).
Do đó sin(d, (P)) = sin(90° − (D, d)) = cos(D, d) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right)} \right|\).
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1\).
Suy ra (d, (P)) = 90°.
b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;4;2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\).
Suy ra (d, (P)) ≈ 9,59°.
c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {4;4;2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;2; - 4} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0\).
Suy ra (d, (P)) = 0°.
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và mặt sàn sân khấu có phương trình z = 0.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {0;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra (d, (P)) = 45°.
Cho hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {{{n'}_1};{{n'}_2};{{n'}_3}} \right)\) (Hình 14).
Gọi d và d' là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (P) và (P'). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') là góc giữa hai đường thẳng d và d'. So sánh cos((P), (P')) và \(\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)\).
Ta có \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'.
Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos (d,d') = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).
a) Mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n = \left( {3;7; - 1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;1; - 10} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {59} .\sqrt {102} }}\).
Suy ra ((P), (P')) ≈ 75,06°.
b) Mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {3;1; - 5} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).1 + 1.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}\).
Suy ra ((P), (P')) ≈ 73,98°.
c) Mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {0;3;3} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {36} }} = \frac{1}{2}\).
Suy ra ((P), (P')) = 60°.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O trùng với A.
Ta có A'(0; 0; 3), B(1; 0; 0), A(0; 0; 0), C(1; 5; 0), B'(1; 0; 3), D(0; 5; 0), C'(1; 5; 3)
a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng BA' nhận \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Khi đó \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\).
Suy ra (AC, BA') ≈ 86,44°.
b) Ta có \(\overrightarrow {BB'} = \left( {0;0;3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\), \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 15; - 3;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {15; - 3;0} \right)\).
Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\overrightarrow n = - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {5;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {n'} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right] = \left( {5; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó \(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.5 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + 1} .\sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).
Suy ra ((BB'D'D), (AA'C'C)) ≈ 22,62°.
c) Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)\), \(\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {A'D} = \left( {0;5; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)\).
Đường thẳng AC' nhận \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( {15;3;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}\).
Suy ra (AC', (A'BD)) ≈ 28,21°.
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q): z – 1 = 0.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4;0;11} \right)\).
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {0;0;1} \right)\).
Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {173} }}\).
Suy ra ((P), (Q)) ≈ 33,25°.
a) Đường thẳng a đi qua điểm M(0; −2; −3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1; - 5;0} \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - 5t\\z = - 3\end{array} \right.\).
b) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;3} \right)\).
Đường thẳng a đi qua hai điểm A(0; 0; 2) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\).
a) Đường thẳng b đi qua điểm M(1; −2; −3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {5; - 3;2} \right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{2}\).
b) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 6;4} \right)\).
Đường thẳng b đi qua hai điểm A(4; 7; 1) và nhận \(\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\).
a) Ta có đường thẳng d đi qua M(3; −3; 2) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1;3;7} \right).\)
b) Phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 2 + 7t\end{array} \right.\).
Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với tọa độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là là M(3; 3; 1,5), N(3; 4; 1,5). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right)\)
Đường thẳng MN đi qua M(3; 3; 1,5) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3 + t\\z = 1,5\end{array} \right.\).
a) Đường thẳng d đi qua M(1; −1;−2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1;2;1} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(2; 3; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {2;4;2} \right) = 2\overrightarrow a \).
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d' ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 2 + 2t'\\ - 1 = 3 + 4t'\\ - 2 = 2t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = \frac{{ - 1}}{2}\\t' = - 1\\t' = - 1\end{array} \right.\) (vô lí).
Suy ra d // d'.
b) Đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(2; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {1;5;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\).
Có \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = 1.\left( { - 8} \right) + \left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).3 = - 15 \ne 0\).
Do đó d và d' chéo nhau.
Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {3;2;4} \right)\).
Vì d // d' nên đường thẳng d nhận \(\overrightarrow a = \left( {3;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; 1) và nhận \(\overrightarrow a = \left( {3;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2t\\z = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian Oxyz, cho biết phương trình trục a của mũi khoan và một đường rãnh b trên vật cần khoan (Hình 18) lần lượt là: \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).
a) Chứng minh a, b vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm giao điểm của a và b.
a) Đường thẳng a đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {0;0;3} \right)\).
Đường thẳng b đi qua N(1; 2; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = \left( {4;2;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\). Suy ra a ^ b.
Ta xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\2 = 2 + 2t'\\3t = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = 0\\t = 2\end{array} \right.\) . Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.
Do đó a và b cắt nhau.
b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng a ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 6\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này là (1; 2; 6).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;4;2} \right)\).
Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {a'} = \left( {3;3;6} \right)\).
Có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 4.3 + 2.6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6}\).
Suy ra (d, d') ≈ 33,56°.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;2;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;3; - 3} \right)\).
\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.3 + 1.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{9\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\).
Suy ra (d, (P)) ≈ 13,63°.Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;4;4} \right)\).
Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = \left( {7;0;7} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.7 + 4.0 + 4.7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2}} .\sqrt {{7^2} + {7^2}} }} = \frac{{28}}{{56}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra ((P), (P')) = 60°.
Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.
a) Tính góc giữa (P) và (P').
b) Tính góc hợp bởi (P) và (P') với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.
a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;0;2} \right)\).
Mặt phẳng (P') có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;0;1} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1\).
Suy ra ((P), (P')) = 0°.
b) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra ((P), (Q)) = 45°.
\(\cos \left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra ((P'), (Q)) = 45°.
Chọn hệ trục như hình vẽ
O(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2), B'(3; 0; 2), C'(0; 1; 2).
a) Đường thẳng BO' nhận \(\overrightarrow {BO'} = \left( { - 3;0;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng B'C nhận \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
\(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\).
Suy ra (BO', B'C) ≈ 68,25°.
b) Mặt phẳng (OBC) Ì (Oxy) nên nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (O'BC) có phương trình đoạn chắn là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1\) Û 2x + 6y + 3z = 6 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;6;3} \right)\).
\(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 1 .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{7}\).
Suy ra ((O'BC), (OBC)) ≈ 64,62°.
c) Đường thẳng B'C nhận \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (O'BC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;6;3} \right)\).
\(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}\).
Suy ra (B'C, (O'BC)) ≈ 13,24°.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
