75 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án - Đề 2

Chọn D

Trục \[Ox\]đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\)nên có phương trình tham số là:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1.t\\y = 0 + 0.t\\z = 0 + 0.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right..\]

Chọn B

Vì đường thẳng song song với đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t =  - 1 + 2t'\end{array} \right.\]nên nó có vectơ chỉ phương là \[\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t =  - 1 + 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - at' = 0\\ - 2t - t' =  - 2\\t - 2t' =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\0 - a.2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\a = 0\end{array} \right. \cdot \] hoặc \[a = 0\] nên loại phương án C và D.

Vì điểm \(M\left( {2;\,1;\, - 1} \right)\)thuộc đường thẳng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) nên chọn phương án B.

Vậy phương trình của đường thẳng là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}.\)

Chọn B

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Do \(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,; - 3\,; - 1} \right)\).

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Chọn B

Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\)nên nhận \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Mặt khác \[d\] đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\)nên:

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

Chọn A

Ta có mặt phẳng \((P):x + z - 2 = 0\)

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;0;1} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \). Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\)nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;0;1} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M(3;2; - 1)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;0;1} \right)\)là:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2\\z =  - 1 + t\end{array} \right..\]

Chọn A

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;4;2} \right)\).

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Chọn B

Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[\left( {BCD} \right)\,.\]

Ta có \[\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {BD}  = \left( {0\,; - 1\,;\, - 2} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] có vec tơ pháp tuyến là \[{\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {BC} \,} \right] = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\,.\]

Gọi \[{\overrightarrow u _d}\] là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\].

Vì \[d \bot \left( {BCD} \right)\] nên \[\overrightarrow {{u_d}}  = {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].

Đáp A và C có VTCP \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\] nên loại B và     D.

Ta thấy điểm \[A\left( {0\,;\,0\,;2\,} \right)\]thuộc đáp án C nên loại A.

Chọn C

\(\left( P \right):x + z - 5 = 0\) có 1 vtpt \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;1} \right)\)

\(\left( Q \right):x - 2y - z + 3 = 0\) có 1 vtpt \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì \(\Delta \) có 1 vtcp \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Chọn B

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là →u=(1; -2; 1).

Mặt phẳng (T) có một vectơ pháp tuyến là →nT=(1; 1; 2). Do 11≠-21≠12 nên →u không cùng phương với →nT. Do đó d không vuông góc với (T).

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là →nP=(1; -2; 1). Do 11=-2-2=11 nên →u cùng phương với →nP. Do đó d vuông góc với (P).

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n→nQ=(1; -2; -1). Do 11=-2-2≠1-1 nên →u không cùng phương với →nQ. Do đó d không vuông góc với (Q).

Mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là →nR=(1; 1; 1). Do 11≠-21≠11 nên →u không cùng phương với →nR. Do đó d không vuông góc với (R). 

Chọn D

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d: x1=y1=z1 nên nhận véc tơ chỉ phương →ud=(1; 1; 1) làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0, mặt khác (P) đi qua gốc tọa độ nên D = 0.

Vậy phương trình (P) là:x + y + z = 0.

Chọn A

Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(0; 0; 3) và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là →u=(2; -1; 1) làm véc tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x - y + z - 3 = 0

Chọn A

Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {5;1;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)\)

Để mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) phải cùng phương với \(\overrightarrow n \) \[ \Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2\].

Chọn A

\(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\left( P \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

\(\left( \alpha  \right)\) qua \(O\) và nhận \(\overrightarrow {n'}  =  - \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( {1;2;1} \right)\)

Suy ra \(\left( \alpha  \right):x + 2y + z = 0\).

Chọn D

Đường thẳng \({d_2}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {1; - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 3;1; - 4} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;4; - 6} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN}  =  - 16 + 20 - 12 =  - 8 \ne 0\)

\( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) của đoạn \(MN\)

Suy ra phương trình của \(\left( P \right)\): \(4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0\)

\( \Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2\) \( \Rightarrow a + 2b + 3c = 20\).

Chọn C

Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right)\), có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1;3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right),\) có một VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là :

\(\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\).

Chọn A

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1; - 4} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {0;1; - 1} \right)\).

Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} \).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \) nên chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;\,1;\,1} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;0} \right),\) VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3;1;1} \right)\) có phương trình là: \(3x + y + z - 1 = 0\).

Chọn A

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3; - 2} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và \(\left( P \right)\)song song với đường thẳng \({d_2}\) nên \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;5;8} \right)\].

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {1;5;8} \right)\] là \(x + 5y + 8z - 16 = 0\).

Chọn C

Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(A\), \(O\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\z = 0\end{array} \right.\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm \(A\), \(O\) nên \(\left( P \right)\): \(m\left( {x - y} \right) + nz = 0\), \({m^2} + {n^2} > 0\). Khi đó véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow n  = \left( {m; - m;n} \right)\).

Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2n} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {m^2} + {n^2}} }} = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4mn - {n^2} = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{n} = 1\\\frac{m}{n} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{5}n;\frac{{ - 1}}{5}n;n} \right) = \frac{n}{5}\left( {1; - 1;5} \right)\).

Chọn C

VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;1} \right) \in d\).

Khi đó: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;1} \right)\].

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)\).

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].

Chọn A

Ta có: Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;1} \right)\] và đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \({d_1};{d_2}\) nên \(\left( P \right)\) có VTPT là \[n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\]

Do đó: Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(y - z + m = 0\)

Mặt khác: \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) nên

\(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( P \right)\):\(y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0\).

Chọn C

+ Từ hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)\),\(A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,\)

\(B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,\)\(C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).\)

+ Ta thấy \(OC \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và \(\overrightarrow {OC}  = \left( {a;a;0} \right)\) nên suy ra mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;0.} \right)\).

+ Đường thẳng \(A'B\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {a;0; - a} \right)\) ta chọn \(\overrightarrow u  = \left( {1;0; - 1} \right).\)

+ Ta có \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)

Chọn B

Gọi \(I = AC \cap BD\).

Hình vuông \(ABCD\) có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) suy ra hình vuông đó có cạnh bằng \(a\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SI \bot BD\\AI \bot BD\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;\,AI} \right)} = \widehat {SIA}\].

Ta có \(\tan \alpha  = \tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} \Leftrightarrow SA = a\).

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Ta có \(A\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {a;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {a;\,a;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\,a} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {SA}  = \left( {0;\,0;\, - a} \right)\); \(\overrightarrow {SC}  = \left( {a;\,a;\, - a} \right)\); \(\overrightarrow {SB}  = \left( {a;\,0;\, - a} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left( {1;\,0;\,1} \right)\).

Suy ra cosSAC;SBC^=n→1.n→2n→1.n→2=12.2=12⇒SAC;SBC^=60°

Chọn D

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. \(O \equiv A(0;0;0)\); \(B(1;0;0);D(0;1;0);C(1;1;0);S(0;0;2)\)

Do M là trung điểm của SD nên \(M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)\)

\(\overrightarrow {BC}  = (0;1;0);\overrightarrow {SB}  = (1;0; - 2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2;0;1} \right)\)

\(\overrightarrow {MA}  = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right);\overrightarrow {AC}  = (1;1;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - \frac{1}{2}} \right)\). VTPT của (AMC) là: \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 2;1} \right)\)

\[\cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \tan \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}}} - 1}  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ \[Ox{\rm{yz}}\] sao cho \(A \equiv O\), \(B \in Ox\), \(D \in Oy\), \(S \in Oz\).

\( \Rightarrow B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\). Khi đó \(E\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(F\left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AF}  = \left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {AEF} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{a}{4}} \right)\)\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right).\].

Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {ABCD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \overrightarrow {AS}  = (0\,;\,0\,;\,a)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right).\).

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\)và \(\left( {ABCD} \right)\) là.

\[\cos \left( {\left( {AEF} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \].

Chọn C

Cách 1:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta có: \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(C\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\), \(M\left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)\).

Khi đó ta có: BC→=−a ; 0 ; a, OM→=a2 ; a2 ; 0⇒cosBC→ ; OM→^=BC→.OM→BC.OM=−a22a.2.a22=−12⇒BC→ ; OM→^=120°

Cách 2:

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)\\\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC}  =  - \frac{1}{2}O{B^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2}\].

\[BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = a\sqrt 2 \] và \[OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

Do đó: cosOM→,BC→=OM→.BC→OM.BC=−a22a22.a2=−12⇒OM→.BC→=120°

Chọn B

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Tam giác \(SAO\) vuông : \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Gắn tọa độ như hình vẽ

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\), \(S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{a}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)\).

Ta có : \(\overrightarrow {AS}  = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\) \( = \frac{a}{2}\left( {1;1;\sqrt 6 } \right)\), \(\overrightarrow {BG}  = \left( {\frac{{ - a}}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{a}{6}\left( { - 3;5;\sqrt 6 } \right)\).

Góc giữa đường thẳng \(BG\) với đường thẳng \(SA\) bằng:

\(\cos \left( {BG;SA} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AS} } \right|}}{{BG.AS}}\)\( = \frac{{\left| { - 3 + 5 + 6} \right|}}{{\sqrt {40} .\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A

* Chọn \(AB = 2 \Rightarrow BD = 2;AC = 2\sqrt 3 \), đặt

\(AA' = h\), chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ ta có: \(D\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\), \(D'\left( {1;0;h} \right)\), \(C'\left( {0;\sqrt 3 ;h} \right)\), \(B'\left( { - 1;0;h} \right)\).

\( \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};h} \right)\), \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;h} \right)\), \(\overrightarrow {B'D}  = \left( {2;0; - h} \right)\).

* Do \(MN \bot B'D \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D}  = 0 \Leftrightarrow 2 - {h^2} = 0 \Rightarrow h = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\). Ta có:

\(MN{\rm{//}}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\), \(\left( {ABCD} \right) \bot \overrightarrow n  = \overrightarrow j  = \left( {0;0;1} \right)\).

* Do \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(MN\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) nên ta có:

\(\sin \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn C

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông \[a = 1\].

Gọi \[O,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]. Vì \[SAB\] là tam giác đều và \[\left( {SAB} \right)\] vuông góc với \[\left( {ABCD} \right)\]nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].

Xét hệ trục \[Oxyz\] có \[O\left( {0;0;0} \right),M\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\]. Khi đó \[C\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};0} \right)\].

Suy ra \[\overrightarrow {SA}  = \left( {0;\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( {1;\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( {0;1;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;1} \right)\].

Vậy \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{5}{7}\].

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.\)

Khi đó:\(A'(0;0;0)\), \(D'(a;0;0)\), \(B'(0;a;0)\), \(C'(a;a;0)\),

\(A(0;0;a)\), \(D(a;0;a)\), \(B(0;a;a)\), \(C(a;a;a)\).

\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'B'}  = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D}  = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A}  = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'}  = (a;a;0).\]

\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1;0; - 1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).\)

Chọn \(\overrightarrow {{n_2}}  = ( - 1;1;0)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\)và \(\left( {ACC'A'} \right)\) là:

cosα=cosn1→,n2→=−12.2=12⇒α=60°.

Chọn B

Gọi \[I\] hình chiếu của \[M\] lên \[\left( {ABCD} \right)\], suy ra \[I\] là trung điểm của \[AO\].

Khi đó \[CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\].

Xét \[\Delta CNI\] có: CN=a2, NCI^=45o

Áp dụng định lý cosin ta có:

\[NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos {{45}^o}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{8} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\].

Xét \[\Delta MIN\] vuông tại \[I\]nên \[MI = \sqrt {M{N^2} - N{I^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} - \frac{{5{a^2}}}{8}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\].

Mà \[MI//SO,\,MI = \frac{1}{2}SO \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]như hình vẽ:

Ta có: \[O\left( {0\,;\,0;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[D\left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[N\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4};\,0} \right)\],

\[A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[S\left( {0\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\], \[M\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\, - \frac{{\sqrt {14} }}{4}\,} \right)\,\,\], \[\overrightarrow {SB}  = \left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\], \[\overrightarrow {SD}  = \left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\].

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]: \[\overrightarrow n  = \overrightarrow {SB}  \wedge \overrightarrow {SD}  = \left( { - \sqrt 7 \,;\,0\,;\,0} \right)\].

Suy ra \[{\rm{sin}}\left( {MN\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 7 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

Chọn C

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\]. Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \[O\left( {0;0;0} \right)\],

\[A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\], \[B\left( { - \frac{1}{2};0;0} \right)\], \[C\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[H\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};0} \right)\], \[A'H = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]\[ \Rightarrow A'\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\]

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \]\[ \Rightarrow B'\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\]. Dễ thấy \[\left( {ABC} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;0;1} \right)\].

\[M\] là trung điểm \[AA'\]\[ \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\], \[N\] là trung điểm \[BB'\]\[ \Rightarrow N\left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\]

\[\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{4};\frac{{ - 5\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\]

\[ \Rightarrow \] \[\left( {CMN} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}} \right)\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left( {0;2\sqrt 2 ;5} \right)\]

\[\cos \varphi  = \]\[\frac{5}{{\sqrt {33} }}\]\[ \Rightarrow \tan \varphi  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1} \]\[ = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\]

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \[A \equiv O\], như hình vẽ:

Khi đó ta có:

\[A\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {2a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[D\left( {0\,;\,2a\,;\,0} \right)\], \[C\left( {2a\,;\,2a\,;\,0} \right)\], \[S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\], \[M\left( {0\,;\,a\,;\,\frac{a}{2}} \right)\].

\[\overrightarrow {SB}  = \left( {2a\,;\,0\,;\, - a} \right)\],\[\overrightarrow {SC}  = \left( {2a\,;\,2a\,;\, - a} \right)\],\[\overrightarrow {MA}  = \left( {0\,;\, - a\,;\, - \frac{a}{2}} \right)\],\[\overrightarrow {MC}  = \left( {2a\,;\,a\,;\, - \frac{a}{2}} \right)\].

\[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SB} \,,\,\overrightarrow {SC} } \right]\]\[ = \left( {2{a^2}\,;\,0\,;\,4{a^2}} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {MA} \,,\,\overrightarrow {MC} } \right]\]\[ = \left( {{a^2}\,;\, - {a^2}\,;\,2{a^2}} \right)\].

Gọi \[\alpha \](\(0^\circ  \le \alpha  \le 90^\circ \)) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\]và \[\left( {SBC} \right)\].

ta có \[cos\alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\]\[ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,.\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\] =2a2.a2 +4a2.2a2(2a2)2+(4a2)2.(a2)2+(-a2)2+(a2)2

\[ = \frac{{10{a^4}}}{{\sqrt {20.6.{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} }}\]\[ = \frac{5}{{\sqrt {30} }}\].

Mà \[{\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1\]\[ = {\left( {\frac{{\sqrt {30} }}{5}} \right)^2} - 1\]\[ = \frac{5}{{25}}\]. Suy ra \[\tan \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].