42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải)

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) \(\vec b = ( - 2; - 1; - 3) =  - \vec a\). Do đó \(\vec b\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

c) vi \(\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

+) d,d'=a→,a'→ nếu 0°≤a→,a'→≤90°

+)d,d'=180°−a→,a'→ nếu 90°<a→,a'→≤180°. Do đó  cosd,d'=cosa→,a'→=cosb→,a'→

d) cosd,d'=cosa→,a'→=a→⋅a'→|a→|a'→=|2⋅3+1⋅2+3⋅(−8)|22+12+32⋅32+22+(−8)2=16722

a) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;2;1)\) và \({\vec a^\prime } = (1;1;2)\).

Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.1 + 2.1 + 1.2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{6}\). Suy ra d,d'≈33°33'.

b) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;2;2)\) và \({\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)\).

Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\). Suy ra d,d'≈63°36'

c) \(d\) và \({d^\prime }\) có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec a = (1;2; - 1)\) và \({\vec a^\prime } = (2;4;10)\).

Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0\). Suy ra d,d'=90°

a) Đường thẳng d và \({{\rm{d}}^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;5;4),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (2;5; - 4)\)

Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 2 + 5.5 + 4 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\). Suy ra d,d'≈71,57°.

b) Đường thẳng d và \({{\rm{d}}^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (3;6;6),\overrightarrow {{a^\prime }}  = ( - 10; - 10;5)\)

Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot ( - 10) + 6 \cdot ( - 10) + 6 \cdot 5|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}\). Suy ra d,d'≈63,61°.

c) Đường thẳng d và \({{\rm{d}}^\prime }\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (2;1; - 5),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;1;1)\)

Ta có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + ( - 5) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}\). Suy ra d,d'≈77,83°.

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2;1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;0;1)\).

Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Suy ra (d,(P))=45°.

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1;2; - 1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;4; - 2)\).

Ta có \(\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1\). Suy ra (d,(P))=90°.

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (3;1; - 2)\)

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (6;2; - 4)\)

Khi đó \(\sin (d,(P)) = \frac{{|3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1\). Suy ra (d,(P))=90°.

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (2;4;2)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;2; - 4)\)

Khi đó \(\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\). Suy ra (d,(P))≈9,59°.

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (4;4;2)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;2; - 4)\)

Khi đó \(\sin (d,(P)) = \frac{{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0\). Suy ra (d,(P))=0°.

a) \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (1;1; - 2),{\vec n^\prime } = (3; - 5;1)\).

Ta có \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.3 + 1 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}\). Suy ra (P),P'≈73°59'.

b) \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (1;1;0),{\vec n^\prime } = (0;1;1)\).

Ta có \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 1 + 0.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\). Suy ra (P),P'=60°.

c) \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = (2;4; - 1),{\vec n^\prime } = (3;5;26)\).

Ta có \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.3 + 4 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 26|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0\). Suy ra (P),P'=90°

Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC}  = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD}  = ( - 2;3;0)\).

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).

Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).

Suy ra (SC,BD)≈70°21'

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra ((SBD),(ABCD))≈50°14'

c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin \beta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra (SC,(SBD))≈18°4'

a) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

n→=(3;7;−1),n'→=(1;1;−10)⇒cos(P),P'=|3⋅1+7⋅1+(−1)⋅(−10)|32+72+(−1)2⋅12+12+(−10)2=2059⋅102

Suy ra ((P), (P')) ≈75,06°

b) Mặt phằng \(({\rm{P}})\) và \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

n→=(1;−2;1),n'→=(3;1;−5)⇒cos(P),P'=|1⋅3+(−2)⋅1+1⋅(−5)|1+(−2)2+12⋅32+12+(−5)2=4210

Suy ra ((P), (P')) ≈73,98°

c) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

n→=(1;0;1),n'→=(0;3;3)⇒cos(P),P'=|1.0+0.3+1.3|12+12⋅32+32=336=12

Suy ra (P),P'=60°

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với \(O\) trùng với \(A\).

Ta có \({A^\prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^\prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^\prime }(1;5;3)\)

a) Đường thẳng AC nhận \(\overrightarrow {AC}  = (1;5;0)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\rm{B}}{{\rm{A}}^\prime }\) nhận \(\overrightarrow {B{A^\prime }}  = ( - 1;0;3)\) làm vectơ chỉ phương.

Khi đó \(\cos \left( {AC,B{A^\prime }} \right) = \frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {65} }}\). Suy ra AC,BA'≈86,44°

b) Ta có \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = (0;0;3),\overrightarrow {BD}  = ( - 1;5;0),\overrightarrow {AC}  = (1;5;0),\overrightarrow {A{A^\prime }}  = (0;0;3)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = ( - 15; - 3;0),\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (15; - 3;0)\).

Mặt phẳng (BB'D'D) nhận \(\vec n =  - \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {B{B^\prime }} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (5;1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (AA'C'C) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} } \right] = (5; - 1;0)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó \(\cos \left( {\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right),\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)} \right) = \frac{{|5 \cdot 5 + 1 \cdot ( - 1) + 0.0|}}{{\sqrt {{5^2} + 1}  \cdot \sqrt {{5^2} + 1} }} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (1;5;3),\quad \overrightarrow {{A^\prime }B}  = (1;0; - 3),\overrightarrow {{A^\prime }D}  = (0;5; - 3)\), \(\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\).

Đường thẳng AC ' nhận \(\overrightarrow {A{C^\prime }}  = (1;5;3)\) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (A'BD) nhận \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{A^\prime }B} ,\overrightarrow {{A^\prime }D} } \right] = (15;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\sin \left( {A{C^\prime },\left( {{A^\prime }BD} \right)} \right) = \frac{{|1.15 + 5.3 + 3.5|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{45}}{{7\sqrt {185} }}\). Suy ra AC',A'BD≈28,21°

Đường thắng d có vectơ chí phương là \(\vec a = (2;4;2)\) Đường thắng d' có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;3;6)\) Có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2.3 + 4.3 + 2.6|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6}\). Suy ra d,d'≈33,56°

Đường thẳng d có vectơ chí phương là \(\vec a = (2;2;1)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;3; - 3)\)

\(\sin (d,(P)) = \frac{{|2.0 + 2.3 + 1 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{3}{{9\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\). Suy ra (d,(P))≈13,63°

Mặt phả̉ng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;4;4)\)

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (7;0;7)\) \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|0.7 + 4.0 + 4.7|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2}}  \cdot \sqrt {{7^2} + {7^2}} }} = \frac{{28}}{{56}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra (P),P'=60°

Chọn hệ trục như hình vẽ

\(O(0;0;0),B(3;0;0),C(0;1;0),{O^\prime }(0;0;2),{B^\prime }(3;0;2),{C^\prime }(0;1;2){\rm{. }}\)

a) Đường thằng \({\rm{B}}{{\rm{O}}^\prime }\) nhận \(\overrightarrow {{\rm{B}}{{\rm{O}}^\prime }}  = ( - 3;0;2)\) làm vectơ chí phương.

Đường thẳng \({{\rm{B}}^\prime }{\rm{C}}\) nhận \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 3;1; - 2)\) làm vectơ chỉ phương.

cosBO',B'C=|(−3)⋅(−3)+0.1+2⋅(−2)|(−3)2+22⋅(−3)2+12+(−2)2=5182

Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta \) 'tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;1;0),{\bar u^\prime } = (2;2;1)\). Khi đó:

cosΔ,Δ'=cosu→,u→'=|1⋅2+1⋅2+0⋅1|12+12+02⋅22+22+12=223. Vay Δ,Δ'≈19,5°.

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (1; - \sqrt 3 ;0)\), \({\vec u_2} = ( - \sqrt 3 ;1;0)\). Ta có:

Suy ra Δ1,Δ2=30°

Đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (3;2;1),{\vec u_2} = ( - 1;2; - 1)\).

Ta có: \({\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 3 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1) = 0\). Suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

Đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 1;2)\).

Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec i = (1;0;0)\), \(\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\).

Ta có: 

cos(Δ,Ox)=|2⋅1+(−1)⋅0+2⋅0|22+(−1)2+22⋅12+02+02=23cos(Δ,Oy)=|2⋅0+(−1)⋅1+2⋅0|22+(−1)2+22⋅02+12+02=13cos(Δ,Oz)=|2⋅0+(−1)⋅0+2⋅1|22+(−1)2+22⋅02+02+12=23

Ta có: sin(Δ,(P))=|1⋅2+2⋅2+2⋅(−1)|12+22+22⋅22+22+(−1)2=49 . Suy ra (Δ,(P))≈26°

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\).

Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec i = (1;0;0)\), \(\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\).

Ta có: 

sin(Ox,(P))=|1⋅A+0⋅B+0⋅C|12+02+02⋅A2+B2+C2=|A|A2+B2+C2

sin(Oy,(P))=|0⋅A+1⋅B+0⋅C|02+12+02⋅A2+B2+C2=|B|A2+B2+C2

sin(Oz,(P))=|0⋅A+0⋅B+1⋅C|02+02+12⋅A2+B2+C2=|C|A2+B2+C2

a) Hai đường thắng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chí phương lằn lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;\sqrt 3 ;0),\overrightarrow {{u_2}}  = (\sqrt 3 ;1;0)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot \sqrt 3  + \sqrt 3  \cdot 1 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{1^2} + {{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra Δ1,Δ2=30° .

b) Hai đường thắng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chí phương lằn lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2;1; - 1),\overrightarrow {{u_2}}  = (3;1; - 2)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{14}}\). Suy ra Δ1,Δ2≈11° .

c) Hai đường thắng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chí phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;1; - 1)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1;3;1)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 1) + 1 \cdot 3 + ( - 1) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt {11} }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{33}}\). Suy ra Δ1,Δ2≈80° .

Đường thắng \(\Delta \) có vectơ chí phương là \(\vec u = (\sqrt 3 ;0;1)\) và mặt phắng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (\sqrt 3 ;0;1)\). Ta thắy vectơ chỉ phương của \(\Delta \) đồng thời là vectơ pháp tuyến của (P), do đó \(\Delta  \bot \) \(({\rm{P}})\), suy ra (Δ,(P))=90°

Do \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right),\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1;1;2),\overrightarrow {{n_2}}  = (2; - 1;1)\) nên \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\).

Suy ra P1,P2=60°

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = ( - 1;2; - 1)\), mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;1; - 2)\).

Ta có: \(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{|\vec n \cdot \vec a|}}{{|\vec n| \cdot |\vec a|}} = \frac{{|( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)

Vậy (d,(α))=30°

Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;2; - 4)\) và \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (1;0; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}\) Vậy ((α),(β))=30°

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên cos(SA,CD)=a2⋅a+0⋅0+−a32⋅0a22+02+−a322⋅a2+02+02=a22a⋅a=12( do a>0).

Suy ra (SA,CD)=60°

b) Ta có AC→=(−a;a;0) .

Xét vecto [SA→,AC→]=0−a32a0;−a32a20−a;a20−aa =a232;a232;a22

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

 Ta có sin(SD,(SAC))=a2⋅a232+a⋅a232+−a32⋅a22a22+a2+−a322⋅a2322+a2322+a222

=a332a2⋅a272=4214. Suy ra (SD,(SAC))≈28°

a) Ta có: \(\overrightarrow {B{B^\prime }}  = \overrightarrow {O{O^\prime }}  = (0;0;3a)\). Suy ra \({x_{{B^\prime }}} = {x_B} = 2a\), \({y_{{B^\prime }}} = {y_B} = 0,{z_{{B^\prime }}} - 0 = 3a\), tức là \({B^\prime }(2a;0;3a)\).

b) Vì \(B(2a;0;0),C(0;a;0),{O^\prime }(0;0;3a)\) nên mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{2a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{3a}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z - 6a = 0.\)

c) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;6;2)\).

Do \({B^\prime }(2a;0;3a),C(0;a;0)\) nên \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\), suy ra vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 2a;a; - 3a)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\). Vì thế vectơ \(\vec u = ( - 2;1; - 3)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({B^\prime }C\). Suy ra sin của góc giữa đường thẳng \({B^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }BC} \right)\) bằng:

\(\frac{{|3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}{\rm{. }}\)

a) Trong hình vuông \(AD{D^\prime }{A^\prime }\), ta có: \(A{D^\prime } \bot D{A^\prime }\).

Do \(CD \bot \left( {AD{D^\prime }{A^\prime }} \right)\) nên \(A{D^\prime } \bot CD\). Suy ra \(A{D^\prime } \bot \left( {CD{A^\prime }{B^\prime }} \right)\).

Mặt khác, ta có: \(A{A^\prime } \bot (ABCD)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \(\left( {CD{A^\prime }{B^\prime }} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(A{A^\prime }\) và \(A{D^\prime }\), đó là góc \({A^\prime }A{D^\prime }\). Vì tam giác \({A^\prime }A{D^\prime }\) vuông cân tại \({A^\prime }\) nên A'AD'^=45° . Vậy (ABCD),CDA'B'=A'AD'^=45° .

b) Ta có \({\rm{A}}{{\rm{D}}^\prime } \bot ({\rm{CDAB}})\).

Mặt khác, ta có \(AB \bot (BCCB)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((BCCB)\) và \((CDAB\) ) là góc giữa hai đường thẳng AB và AD ', đó là góc BAD :

Lại có \(AB \bot \left( {AD{D^\prime }A} \right.\) ), suy ra \(AB \bot AD\) ', do đó BAD'^=90° .

Vậy ((BCCB),(CDAB))=BAD'^=90°

Do \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (\sqrt 3 ;0;1),{\vec n_2} = ( - \sqrt 3 ;0;1)\)

Nên \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|\sqrt 3  \cdot ( - \sqrt 3 ) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{( - \sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}{\rm{. }}\) Suy ra P1,P2=60°

Các vectơ \(\vec i = (1;0;0),\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng tọa độ \(({\rm{Oyz}}),({\rm{Ozx}})\) và \(({\rm{Oxy}})\).

Ta có:

cos((P),(Oyz))=|A⋅1+B⋅0+C⋅0|A2+B2+C2⋅12+02+02=|A|A2+B2+C2;

cos((P),(Ozx))=|A⋅0+B⋅1+C⋅0|A2+B2+C2⋅02+12+02=|B|A2+B2+C2

cos((P),(Oxy))=|A⋅0+B⋅0+C⋅1|A2+B2+C2⋅02+02+12=|C|A2+B2+C2.

Trục Oz có vectơ chí phương là \(\vec k = (0;0;1)\)

Đường thắng \(\Delta \) có vectơ chi phương là \(\vec u = (1;2; - 2)\)

Khi đó \(\cos (Oz,\Delta ) = |\cos (\vec k,\vec u)| = \frac{{| - 2|}}{{\sqrt {{1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{2}{3}\). Vậy (Oz,Δ)≈48,2°

Trục Ox có vectơ chỉ phương \(\vec i = (1;0;0)\), mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (\sqrt 2 ; - 1;1)\). Ta có:

\(\sin (Ox,(P)) = \frac{{|1 \cdot \sqrt 2  + 0 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Vậy Ox tạo với \((P)\) góc 45°

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chí phương là \(\vec u = ( - 1;2;1)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 1;1)\)

Ta có \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{| - 1 - 2 + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }}\). Do đó (Δ,(P))≈28,1°

Các mặt phẳng \((P),(Q)\) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;2;2),\overrightarrow {{n^\prime }}  = (1;1; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((P),(Q)) = \frac{{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\). Do đó ((P),(Q))≈78,9°

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1; - \sqrt 2 ;1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{Oxz}})\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (0;1;0)\)

Có \(\cos ((P),(Oxz)) = \frac{{|1.0 - \sqrt 2 .1 + 1.0|}}{{\sqrt {1 + 2 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra ((P),(Oxz))=45°

Mặt phẳng \((ABD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BD}  = (3;3;0)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (3;0; - 4)\).

Suy ra \((ABD)\) có vectơ pháp tuyến \([B\vec D,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12;12; - 9)\). Do đó \(\vec n = ( - 4;4; - 3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ABD)\).

Mặt phẳng \((ACD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC}  = (0;3; - 4)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (3;0; - 4)\). Suy ra \((ACD)\) có vectơ pháp tuyến là \([\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12; - 12; - 9)\). Do đó \(\vec m = (4;4;3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ACD)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABD)\) và \((ACD)\). Khi đó:

\(\cos \varphi  = |\cos (\vec n,\vec m)| = \frac{{| - 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + ( - 3) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2} + {{( - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {{4^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{9}{{41}}.\)Vậy φ≈77,3°

Đường thắng \({\Delta _1}\) có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2; - 1;3)\)

Đường thắng \({\Delta _2}\) có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1;1;2)\)

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot ( - 1) + ( - 1) \cdot 1 + 3 \cdot 2|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {14}  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\). Suy ra Δ1,Δ2≈70,9°

Trục Oz có vectơ chí phương là \(\vec k = (0;0;1)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;2; - 1)\) Có \(\sin (Oz,(P)) = \frac{{|0.1 + 0.2 + 1 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt 1  \cdot \sqrt {1 + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra (Oz,(P))≈24,1°

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chí phương là \(\vec u = ( - 1;2;3)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1;1)\)

\({\rm{ C\'o  }}\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{| - 1.1 + 2.1 + 3.1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}\). Suy ra (Δ,(P))≈38,1°

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (2;1;0)\), \({\vec u_2} = (1; - 1;2)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 2|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{{30}}\).

Suy ra Δ1,Δ2≈79° .

b) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (1; - 2; - 2)\), \({\vec u_2} = (2;2; - 1)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 0\).

Suy ra Δ1,Δ2=90° .

c) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = ( - 1;2; - 3)\), \({\vec u_2} = (2; - 1; - 1)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + ( - 3) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{42}}\).

Suy ra Δ1,Δ2≈84° .

a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = ( - \sqrt 3 ;0;1)\) và mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - \sqrt 3 ; - 1)\).

Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{|( - \sqrt 3 ) \cdot 1 + 0 \cdot ( - \sqrt 3 ) + 1 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{{( - \sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15}  + \sqrt 5 }}{{10}}\).

Suy ra (Δ,(P))≈38° .

b) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chi phương là \(\vec u = (2; - 3;3)\) và mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 4;5)\).

Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{|2 \cdot 3 + ( - 3) \cdot ( - 4) + 3 \cdot 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{10}}\).

Suy ra (Δ,(P))≈84° .

Góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 45°

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi hai vectơ chỉ phương vuông góc với nhau. Suy ra (-3) \( \cdot 5 + 4 \cdot 3 + m \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\).