Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án
24 câu hỏi
Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s2. Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?
Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:
Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.
Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {10dt = 10t + C} } \).
Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).
Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {10tdt} = 5{t^2} + C\).
Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t2 (m).
Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.
Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t2 mét.
Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên ℝ. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Ta có F(x) = x2 vì (x2)' = 2x.
Cho hàm số f(x) = 3x2 xác định trên ℝ.
a) Chứng minh rằng F(x) = x3 là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?
c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?
a) Ta có F'(x) = (x3)' = 3x2 = f(x).
Do đó F(x) = x3 là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
b) Có H(x) = F(x) + C = x3 + C.
Có H'(x) = (x3 + C)' = 3x2 = f(x).
Do đó hàm số H(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
c) Có (G(x) – F(x))' = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.
Vì (G(x) – F(x))' = 0 nên G(x) – F(x) là một hằng số.
Hay G(x) = F(x) + C, C là hằng số bất kì.
Chứng minh rằng F(x) = e2x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e2x + 1 trên ℝ.
Có F'(x) = (e2x + 1)' = e2x + 1.(2x + 1)' = 2e2x + 1 = f(x).
Vậy F(x) = e2x + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e2x + 1 trên ℝ.
a) Giải thích tại sao ∫0dx=C và ∫1dx=x+C.
a) Vì (C)' = 0 nên \(\int {0dx = C} \).
Vì (x + C)' = 1 nên \(\int {1dx = x + C} \).
b) Tìm đạo hàm của hàm số Fx=xα+1α+1α≠−1. Từ đó, tìm ∫xαdx.
b) Có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)^\prime }\)\( = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\).
Do đó \(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C,\left( {\alpha \ne - 1} \right)\).
Tìm:
a) ∫x4dx; b) ∫1x3dx; c) ∫xdx x>0
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \)\( = \int {{x^{ - 3}}dx = - \frac{1}{2}} {x^{ - 2}} + C = \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + C\).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\( = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\).
Cho hàm số F(x) = ln|x| với x ≠ 0.
a) Tìm đạo hàm của F(x).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}} dx\).
a) Với x > 0 thì F(x) = lnx Þ F'(x) = \(\frac{1}{x}\).
Với x < 0 thì F(x) = ln(−x) \( \Rightarrow F'\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^\prime }}}{{ - x}} = \frac{1}{x}\).
Vậy \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x},x \ne 0\).
b) Có \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C\).
a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx,\int {\sin xdx,\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } } \) và \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \).
a) Ta có (sinx)' = cosx, (−cosx)' = sinx, \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), \({\left( { - \cot x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
b) \(\int {\cos xdx = \sin x + C,\int {\sin xdx = - \cos x + C,} } \)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\).
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cosx thỏa mãn F0+Fπ2=0.
Có \(F\left( x \right) = \int {\cos xdx = \sin x + C} \).
Vì \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(\sin 0 + C + \sin \frac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow 2C = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow C = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = ex, y=axlna với a > 0, a ≠ 1.
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}} dx\) (a > 0, a ≠ 1).
a) Có (ex)' = ex, \({\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)^\prime } = \frac{{{a^x}.\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\), a > 0, a ≠ 1.
b) \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\).
\(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\), (a > 0, a ≠ 1).
Tìm:
a) ∫3xdx; b) ∫e2xdx.
a) Ta có \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).
b) Ta có \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Ta có x33'=x2 và (x3)' = 3x2.
a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \).
b) Tìm \(\int {3{x^2}dx} \).
c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} \).
a) \(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C'\); \(3\int {{x^2}dx} = 3\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + C'} \right) = {x^3} + 3C' = {x^3} + C\).
b) \(\int {3{x^2}dx} = {x^3} + C\).
c) \(\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} = {x^3} + C\).
Tìm:
a) ∫−cosx4dx; b) ∫22x+1dx.
a) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} \)\( = - \frac{1}{4}\int {\cos xdx} \)\( = - \frac{1}{4}\sin x + C\).
b) \(\int {{2^{2x + 1}}dx} \)\( = \int {{4^x}.2dx} \)\( = 2\int {{4^x}dx} \)\( = 2.\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).
Ta có x33'=x2, (x2)' = 2x và x33+x2'=x2+2x.
a) Tìm \(\int {{x^2}dx} ,\int {2xdx} \) và \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \).
b) Tìm \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).
c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \).
a) \(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1},\int {2xdx} = {x^2} + {C_2}\).
\(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1} + {x^2} + {C_2} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).
b) \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).
c) \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).
Tìm:
a) ∫3x3+2x35dx x>0; b) ∫3cos2x−1sin2xdx.
a) \[\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} = \int {3{x^3}dx} + \int {\frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}dx} \]\[ = 3\int {{x^3}dx} + 2\int {{x^{\frac{{ - 3}}{5}}}dx} \]\[ = \frac{{3{x^4}}}{4} + 5{x^{\frac{2}{5}}} + C\].
b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)\( = 3\tan x + \cot x + C\).
Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?
Kí hiệu s(t) là quãng đường ô tô đi được.
Ta có st=∫vtdt=∫19−2tdt=19t−t2+C.
Vì s(0) = 0 Þ C = 0.
Do đó s(t) = 19t – t2.
Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây là: s(1) = 19.1 – 12 = 18 m.
Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây là: s(2) = 19.2 – 22 = 34 m.
Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây là: s(3) = 19.3 – 32 = 48 m.
Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xex, suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)ex.
Có F'(x) = (xex)' = ex + xex = (1 + x)ex.
Do đó ∫fxdx=∫x+1exdx=xex+C.
Tìm:
a) ∫x5dx; b) ∫1x23dxx>0; c) ∫7xdx; d) ∫3x5xdx.
a) \(\int {{x^5}dx} = \frac{{{x^6}}}{6} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} dx = \int {{x^{\frac{{ - 2}}{3}}}} dx = 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C\).
c) \(\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\).
d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}} dx = \int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{5}}}\).
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số fx=1sin2x thỏa mãn Fπ2=1.
Có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \).
Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( - \cot \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = - \cot x + 1\).
Tìm:
a) ∫2x5+3dx; b) ∫5cosx−3sinxdx;
c) ∫x2−2xdx; d) ∫ex−2−2sin2xdx.
a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)\( = 2\int {{x^5}dx} + 3\int {dx} \)\( = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C\).
b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)\( = 5\int {\cos xdx} - 3\int {\sin xdx} \)\( = 5\sin x + 3\cos x + C\).
c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)} dx\)\( = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx - 2\int {\frac{1}{x}} dx\)\( = \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2\ln \left| x \right| + C\)\( = \frac{1}{3}x\sqrt x - 2\ln \left| x \right| + C\).
d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{{{e^2}}}\int {{e^x}dx} - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)\( = \frac{{{e^x}}}{{{e^2}}} + 2\cot x + C\)\( = {e^{x - 2}} + 2\cot x + C\).
Tìm:
a) ∫x2x−32dx; b) ∫sin2x2dx;
c) ∫tan2xdx; d) ∫23x.3xdx.
a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)\( = \int {x\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)dx} \)\( = \int {\left( {4{x^3} - 12{x^2} + 9x} \right)dx} \)
\( = {x^4} - 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C\).
b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)\( = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} \)\( = \frac{1}{2}\int {dx} - \frac{1}{2}\int {\cos xdx} \)\( = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C\).
c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx} \)\( = \tan x - x + C\).
d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}dx} \)\( = \int {{8^x}{{.3}^x}dx} \)\( = \int {{{24}^x}dx} \)\( = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C\).
Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ h'x=1x (m/năm).
a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
a) Chiều cao của cây sau x năm là:
\(h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx = \int {\frac{1}{x}} } dx = \ln x + C\) (1 ≤ x ≤ 11).
Có h(1) = 2 nên ln1 + C = 2 Þ C = 2.
Do đó \(h\left( x \right) = \ln x + 2,\;\left( {1 \le x \le 11} \right)\).
b) Cây cao 3 m tức là \(\ln x + 2 = 3\)\( \Leftrightarrow \ln x = 1\)\( \Leftrightarrow x = e \approx 2,72\).
Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.
Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc v0 = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 2 m/s2. Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.
Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {2dt = 2t + C} } \).
Mà v(0) = 10 nên C = 10.
Do đó v(t) = 2t + 10.
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( {2t + 10} \right)dt} = {t^2} + 10t + C\).
Vì s(0) = 0 Þ C = 0.
Do đó s(t) = t2 + 10t.
Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:
s(3) = 32 + 10.3 = 39 (m).
