Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s². Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên ℝ. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).

Cho hàm số f(x) = 3x² xác định trên ℝ.

a) Chứng minh rằng F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?

c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?

Chứng minh rằng F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

a) Giải thích tại sao ∫0dx=C và ∫1dx=x+C.

b) Tìm đạo hàm của hàm số Fx=xα+1α+1α≠−1. Từ đó, tìm ∫xαdx.

Tìm:

a) ∫x4dx;     b) ∫1x3dx;                                  c) ∫xdx x>0

Cho hàm số F(x) = ln|x| với x ≠ 0.

a) Tìm đạo hàm của F(x).

b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}} dx\).

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.

b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx,\int {\sin xdx,\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } } \) và \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \).

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cosx thỏa mãn F0+Fπ2=0.

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = e^x, y=axlna với a > 0, a ≠ 1.

b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}} dx\) (a > 0, a ≠ 1).

Tìm:

a) ∫3xdx;                                                       b) ∫e2xdx.

Ta có x33'=x2 và (x³)' = 3x².

a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \).

b) Tìm \(\int {3{x^2}dx} \).

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} \).

Tìm:

a) ∫−cosx4dx;                                           b) ∫22x+1dx.

Ta có x33'=x2, (x²)' = 2x và x33+x2'=x2+2x.

a) Tìm \(\int {{x^2}dx} ,\int {2xdx} \) và \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \).

b) Tìm \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \).

Tìm:

a) ∫3x3+2x35dx x>0;                          b) ∫3cos2x−1sin2xdx.

Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xe^x, suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)e^x.

Tìm:

a) ∫x5dx;                    b) ∫1x23dxx>0;              c) ∫7xdx;              d) ∫3x5xdx.

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số fx=1sin2x thỏa mãn Fπ2=1.

Tìm:

a) ∫2x5+3dx;                                  b) ∫5cosx−3sinxdx;

c) ∫x2−2xdx;                                 d) ∫ex−2−2sin2xdx.

Tìm:

a) ∫x2x−32dx;                               b) ∫sin2x2dx;

c) ∫tan2xdx;                                       d) ∫23x.3xdx.

Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ h'x=1x (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc v₀ = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 2 m/s². Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.