(Đúng sai) 16 bài tập Nguyên hàm (có lời giải) - Đề 2
26 câu hỏi
a- Sai
\(\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
b) \(\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C\).
b- Đúng
\(\int {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C\)
c- Sai
\[\int {{e^x}\left( {{e^x}-{\rm{ }}1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} - {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + C\]
d) \(\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C\).
d- Đúng
\(\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C\)
a) Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2}\].
Ta có \[Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right).dt} = {t^4} - 24{t^3} + 144t + C \Rightarrow Q\left( 2 \right) = 500 \Rightarrow C = 100.\]
Suy ra \[Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144t + 100 \Rightarrow \] a) sai.
b) Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
Sau 5 giờ lượng khách tham quan là \[Q\left( 5 \right) = 1325\]. Do đó b) đúng.
c) Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\]Do đó d) đúng, c) Sai
Ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,13} \right]} Q\left( t \right) = Q\left( 6 \right) = 1396.\]Do đó d) đúng, c) Sai
a) \[\int {f(x)dx{\rm{ }} = F(x) + C} \].
a) Đúng (Theo định nghĩa nguyên hàm)
b). \(F'(x) = f(x)\).
b) Đúng (Theo định nghĩa nguyên hàm)
c)\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx\,\,\,\,\forall \,k \in \mathbb{R}} } \).
c) Sai (Vì khi k = 0 thì không còn đúng nữa)
d)\[\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = f(x)\].
d) Đúng vì:
\[\left( {\int {f(x)dx} } \right)' = \left( {F(x) + C} \right)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)\]
a) \(f(x) = \sin x\)
a) Sai vì \(\left( {\cos x} \right)' = f(x) \Leftrightarrow f(x) = - \sin x\)
b) \[\int {f'(x)dx = - \sin x + C} \].
b) Đúng vì \(\int {f'(x)dx = f(x) + C = - \sin x + C} \).
c)\(F(x)\)là một nguyên hàm của \(f(x)\). Nếu \(F(0) = 2\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\)
c) Đúng vì \(F(x) = \cos x + C\) mà \(F(0) = 2 \Rightarrow C = 1\). Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
d) Sai vì \(\int { - 2\cos x.f(x)dx = \int { - 2\cos x.( - \sin x)} dx = \int {\sin 2x} dx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} \)
a)\(F''(x) = \sin 2x\).
a) Sai vì \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {\cos ^2}x\) thì \(F'(x) = {\cos ^2}x \Rightarrow F''(x) = - \sin 2x\)
b) \[F(x) = {\cos ^2}x + C\].
b) Sai vì \(\int {{{\cos }^2}xdx = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } dx = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\). Nên \(F(x) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\)
c) \(F(0) = 0\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).
c) Đúng vì \(F(0) = 0 \Rightarrow C = 0.\) Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).
d) Nếu \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(\int {F(x)dx = \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + C} \).
d) Sai vì: \(F(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow \int {F(x)dx = \int {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + 1} \right) = } \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + x + C} \)
a) \(\int {{e^{2x}}dx = F(x) + C} \).
a) Đúng (Theo định nghĩa nguyên hàm)
b) Nếu \(F(\ln 2) = 1\) thì \(F(x) = 2{e^{2x}} - 1\).
b) Sai vì \(\int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\). Mà \(F(\ln 2) = 1 \Rightarrow C = - 1\).
Vậy \(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - 1\)c) \(\int {\frac{{{e^{2x}} + {e^x}}}{{f(x)}}dx = x - \frac{1}{{{e^x}}} + C} \).
c) Đúng vì \(\int {\frac{{{e^{2x}} + {e^x}}}{{f(x)}}dx = \int {\frac{{{e^{2x}} + {e^x}}}{{{e^{2x}}}}} dx = \int {\left( {1 + {e^{ - x}}} \right)dx = x - \frac{1}{{{e^x}}} + C} } \)
d) \(\int {xf(x)dx = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}{e^{2x}} + C} \)
d) Sai vì \(\int {xf(x)dx = \int {x{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \int {\frac{1}{2}{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C} } \)
a) \(h(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \({h^\prime }(t) = 1,5t + 5\).
b) \(h(t) = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + C\) với \(C\) là một hằng số.
c) Chiểu cao của cây đó không đổi trong 6 năm được trờng.
d) Chiều cao của cây đó khi được bán là 70 cm .
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
Ta có \(h(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \({h^\prime }(t) = 1,5t + 5\).
Do \(\int {(1,5t + 5)} {\rm{d}}t = \int 1 ,5t\;{\rm{d}}t + \int 5 \;{\rm{d}}t = \frac{3}{4}\int 2 t\;{\rm{d}}t + 5\int {\rm{d}} t = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + C\) nên \(h(t) = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + C\).
Vi cây con khi được trồng cao 12 cm nên \(h(0) = 12\), suy ra \(C = 12\). Vâyy \(h(t) = \frac{3}{4}{t^2} + 5t + 12\).
Sau 6 năm, chiều cao của cây đó là: \(h(6) = \frac{3}{4} \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69(\;{\rm{cm}})\).
a) \(M(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(m(t) = 800 - 2t\).
b) \(M(t) = 800t - {t^2} + C\) với \(0 \le t \le 400\) và \(C\) là một hằng số.
c) Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là 160000 .
d) Chi phi nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là 640000000 đồng.
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) \({\bf{S}}\).
Vi \({M^\prime }(t) = m(t)\) nên ta có \(M(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(m(t) = 800 - 2t\).
Do \(\int {(800 - 2t)} {\rm{d}}t = 800\int {\rm{d}} t - \int 2 t\;{\rm{d}}t = 800t - {t^2} + C\)
nên \(M(t) = 800t - {t^2} + C\) với \(0 \le t \le 400\). Vì \(M(0) = 0\) nên \(C = 0\).
Vây \(M(t) = 800t - {t^2}\).
Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là:
\(M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000.\)
Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là:
\(400000 \cdot 160000 = 64000000000.{\rm{ }}\)(đồng)
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số \[Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t\] , trong đó t tính bằng giờ
(\[0 \le t \le 13\]) , \[Q'\left( t \right)\]tính bằng khách/giờ . Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.
\(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\). Khẳng định tính đúng sai cho từng mệnh đề sau
Cho \(\int {f(x){\rm{dx}} = \cos x + C} \). Khẳng định tính đúng sai cho từng mệnh đề sau
\(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {\cos ^2}x\). Khẳng định tính đúng sai cho từng mệnh đề sau.
\(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^{2x}}\). Khẳng định tính đúng sai cho từng mệnh đề sau
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng của cây đó trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bời công thức \({h^\prime }(t) = 1,5t + 5\), trong đó \(h(t)({\rm{cm}})\) là chiều cao của cây sau \(t\) (năm). (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
Cây con khi được trồng cao 12 cm .
Đối với các dự án xây dựng, chi phi nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi \(m(t)\) là số lượng công nhân được sử dưng ở ngày thứ \(t\) (kể từ khi khời công dự án). Gọi \(M(t)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công dư án). Trong kinh tế xây dưng, người ta đã biết rằng \({M^\prime }(t) = m(t)\).
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sữ dụng cho bởi hàm số \(m(t) = 800 - 2t\), trong đó \(t\) tính theo ngày \((0 \le t \le 400\) ), \(m(t)\) tính theo người.
(Nguön: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-l, Comelsen 2016).
Đơn giá cho một ngày công lao động là 400000 đồng.
