(Đúng sai) 16 bài tập Nguyên hàm (có lời giải) - Đề 1
32 câu hỏi
Cho \[f\left( x \right)\] là hàm số liên tục trên R
\[\int {f\left( x \right)dx = f'\left( x \right) + C.} \]
a- Sai
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
\[\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C.} \]
b- Đúng
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
\[\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right).} \]
c- Sai
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
\[\int {f''\left( x \right)dx = f'\left( x \right) + C.} \]
d- Đúng
Do định nghĩa của nguyên hàm ta có kết quả trên.
Giả sử \[v\left( t \right)\] là phương trình vận tốc của một vật chuyển động theo thời gian \[t\] (giây), \[a(t)\] là phương trình gia tốc của vật đó chuyển động theo thời gian \[t\] (giây).
a) \[\int {a\left( t \right)dt = v\left( t \right) + C.} \]
a) Do nguyên hàm của hàm gia tốc là hàm vận tốc. Suy ra đúng.
b) \[\int {v\left( t \right)dt = a\left( t \right) + C.} \]
b) Do nguyên hàm của hàm vận tốc là hàm quãng đường. Suy ra sai.
c) \[\int {v'\left( t \right)dt = a\left( t \right) + C.} \]
c) Do \[\int {v'\left( t \right)dt = v\left( t \right) + C.} \] Suy ra sai
d) \[\int {v'\left( t \right)dt = v\left( t \right) + C.} \]
d) Do định nghĩa nguyên hàm. Suy ra đúng.
Giả sử \(s(t)\)là phương trình quãng đường chuyển động của một vật theo thời gian \(t\) (giây) và \(v(t)\)là phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây).
a) \(\int s (t){\rm{dt}} = v(t) + C\).
Vì \(s(t)\), \(v(t)\) lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây) nên ta có \(s'(t) = v(t)\) và \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
a) \(\int s (t){\rm{dt}} = v(t) + C\) . Suy ra Sai.
b) \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
Vì \(s(t)\), \(v(t)\) lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây) nên ta có \(s'(t) = v(t)\) và \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
b) \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\). Suy ra Đúng.
c) \[\int {s'} (t){\rm{dt}} = v(t) + C\].
Vì \(s(t)\), \(v(t)\) lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây) nên ta có \(s'(t) = v(t)\) và \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
c) \[\int {s'} (t){\rm{dt}} = v(t) + C\]. Suy ra Sai.
d) \(\int {s'} (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
Vì \(s(t)\), \(v(t)\) lần lượt là phương trình quãng đường và phương trình vận tốc của chuyển động đó theo thời gian \(t\) (giây) nên ta có \(s'(t) = v(t)\) và \(\int v (t){\rm{dt}} = s(t) + C\).
d) \(\int {s'} (t){\rm{dt}} = s(t) + C\). Suy ra Đúng.
Cho hàm số \(F(x) = {x^3} - 2x + 1\), \(x \in \mathbb{R}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\).
a) Nếu hàm số \(G(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)và \(G( - 1) = 3\) thì \[G\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
a) Vì \(G(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(G(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(G( - 1) = 3\)nên ta có \[G( - 1) = F( - 1) + C \Leftrightarrow 3 = 2 + C \Leftrightarrow C = 1\]. Vậy \[G\left( x \right) = F\left( x \right) + 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra Sai.
b) Nếu hàm số\(H(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số\(f(x)\) và \(H(1) = - 3\)thì\[H\left( x \right) = F\left( x \right) - 3\],\(x \in \mathbb{R}\).
b) Vì \(H(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(H(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(H(1) = - 3\)nên ta có \[H(1) = F(1) + C \Leftrightarrow - 3 = 0 + C \Leftrightarrow C = - 3\]. Vậy \[H\left( x \right) = F\left( x \right) - 3\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra đúng.
c) Nếu hàm số\(K(x)\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)và \(K(0) = 0\) thì \[K\left( x \right) = F\left( x \right) + 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
c) Vì \(K(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(K(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(K(0) = 0\)nên ta có \[K(0) = F(0) + C \Leftrightarrow 0 = 1 + C \Leftrightarrow C = - 1\]. Vậy \[K\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra Sai.
d) Nếu hàm số\(M(x)\)cũng là một nguyên hàm của hàm số\(f(x)\)và \(M(2) = 4\) thì \[M\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
d) Vì \(M(x)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(\mathbb{R}\)nên \(M(x) = F(x) + C\), với \(C\)1à một hằng số. Mà \(M(2) = 4\)nên ta có \[M(2) = F(2) + C \Leftrightarrow 4 = 5 + C \Leftrightarrow C = - 1\]. Vậy \[M\left( x \right) = F\left( x \right) - 1\],\(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra Đúng.
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) \(\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x - 2} \right)dx} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} - 2x + C\)
a- Đúng
\[\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x - \cot x + C\]
b) \[\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C\]
b- Đúng
\[\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{2023}}\int {{x^{ - 2024}}dx} = \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C\]
c) \[\int {{{\left( {2x - 2024} \right)}^2}dx} = x - 1012 + C\]
c- sai
\[\int {{{\left( {2x - 2024} \right)}^2}dx} = \frac{{{{\left( {2x - 2024} \right)}^3}}}{3} + C\]
d) \(\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C\)
d- Đúng
\(\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C\)
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) \[\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = x - \cot x + C\].
a- Đúng
\[\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x - \cot x + C\]
b) \[\int {\left( {1 - {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C\]
b- sai
\[\int {\left( {1 - {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\left( {x - \sin x} \right) + C\]
c) \[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x + \cos x + C\].
C- Sai
\[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)} dx = x - \cos x + C\]
d) \[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x - \cos x + C\]
d- sai
\[\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx = x + \cos x + C\]
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) \(\int {\frac{1}{x}} \,{\rm{d}}x = \ln x + C\).
a- Sai
\(\int {\frac{1}{x}} \,{\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = \tan x + C\).
b- Đúng
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = \tan x + C\).
c) \(\int {\sin x} \,{\rm{d}}x = - \cos x + C\).
c- Đúng
\(\int {\sin x} \,{\rm{d}}x = - \cos x + C\).
d) \(\int {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + C\).
d- Đúng
\(\int {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + C\).
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) \(\int {\cos x{\rm{d}}x = \sin x + C} \).
a- Đúng
b) \(\int {{x^{\rm{e}}}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^{{\rm{e}} + 1}}}}{{{\rm{e}} + 1}} + C\).
b- Đúng
c) \(\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x = \ln \left| x \right|} + C\).
c- Đúng
d) \(\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C} \).
d- Sai
Ta có:\(\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C} \) sai vì \(\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + C} \).
