70 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Nguyên hàm có đáp án - Đề 2
40 câu hỏi
Cho hàm số \(f(x) = \int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sin + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\cos x + C\)
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\sin x + C\).
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = - \frac{1}{2}\cos x + C\)
Chọn D
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = - \frac{1}{2}\cos x + C\)
Nguyên hàm của hàm số \(y = {{\rm{e}}^{2x - 1}}\) là
\({\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\({{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
\(\frac{1}{2}{{\rm{e}}^x} + C\).
Chọn C
Cách 1:\(\int {{e^{2x - 1}}} dx = \int {{e^{ - 1}}.{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} dx = {e^{ - 1}}.\frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x - 1}}}}{2} + C\)
Cách 2:\(\int {{{\rm{e}}^{2x - 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{{\rm{e}}^{2x - 1}}{\rm{d}}\left( {2x - 1} \right) = } \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x - 1}} + C\).
Cho hàm số \(f(x) = {e^x} + 2\). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
\(\int f (x)dx = {e^{x - 2}} + C\).
\(\int f (x)dx = {e^x} + 2x + C\).
\(\int f (x)dx = {e^x} + C\).
\(\int f (x)dx = {e^x} - 2x + C\).
Chọn B
Ta có: \(\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)} dx = {e^x} + 2x + C\)
Cho hàm số \(f(x) = {e^x} + 2\). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
\(\int f (x)dx = {e^{x - 2}} + C\).
\(\int f (x)dx = {e^x} + 2x + C\).
\(\int f (x)dx = {e^x} + C\).
\(\int f (x)dx = {e^x} - 2x + C\).
Chọn B
Ta có: \(\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)} dx = {e^x} + 2x + C\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + 2x\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {e^x} + {x^2} + C} \).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {e^x} + C} \).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {e^x} - {x^2} + C} \).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {e^x} + 2{x^2} + C} \).
Chọn A
Ta có \(\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\)\[ = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x = {e^x} + {x^2} + C} \].
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {7^x}\).
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\)
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = {7^{x + 1}} + C\)
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\)
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = {7^x}\ln 7 + C\)
Chọn A
Áp dụng công thức \(\int {{a^x}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\,,\left( {0 < a \ne 1} \right)\)
Nguyên hàm của hàm số \[y = {2^x}\] là
\(\int {{2^x}{\rm{d}}x = \ln {{2.2}^x} + C} \).
\(\int {{2^x}{\rm{d}}x = {2^x} + C} \).
\(\int {{2^x}{\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C} \).
\(\int {{2^x}{\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C} \).
Chọn C
Do theo bảng nguyên hàm: \(\int {{a^x}{\rm{d}}x = \frac{{{a^x}}}{{\ln \,a}} + C} \).
Tấtcả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {3^{ - x}}\) là
\( - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
\( - {3^{ - x}} + C\)
\({3^{ - x}}\ln 3 + C\)
\(\frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
Chọn A
Cách 1:\(\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {{3^{ - x}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left( {{3^{ - 1}}} \right)}^x}{\rm{d}}(x)} = \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln {3^{ - 1}}}} + C = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)
Cách 2:\(\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {{3^{ - x}}{\rm{d}}x} = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - 2x\) là.
\({e^x} + {x^2} + C\).
\({e^x} - {x^2} + C\).
\(\frac{1}{{x + 1}}{e^x} - {x^2} + C\).
\({e^x} - 2 + C\).
Chọn B
Ta có: \[\int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx = {e^x} - {x^2} + C} \]
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {2017 - \frac{{2018{e^{ - x}}}}{{{x^5}}}} \right)\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2017{e^x} - \frac{{2018}}{{{x^4}}} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2017{e^x} + \frac{{2018}}{{{x^4}}} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2017{e^x} + \frac{{504,5}}{{{x^4}}} + C\).
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2017{e^x} - \frac{{504,5}}{{{x^4}}} + C\).
Chọn C
\[\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{e^x}\left( {2017 - \frac{{2018{e^{ - x}}}}{{{x^5}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {2017{e^x} - \frac{{2018}}{{{x^5}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2017{e^x} + \frac{{504,5}}{{{x^4}}} + C\]
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}\).
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}\].
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln \left| x \right| + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}\).
Chọn C
Ta có: \(\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A \(\int {{e^x}{\rm{d}}x = x{e^x} + C} \).
\(\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^{x + 1}} + C} \).
\(\int {{e^x}{\rm{d}}x = - {e^{x + 1}} + C} \).
\(\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^x} + C} \).
Chọn D
Ta có \(\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^x} + C} \).
Cho hàm số \(f(x) = 1 + {e^{2x}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f(x)dx = x + \frac{1}{2}{e^x} + C.} \)
\(\int {f(x)dx = x + 2{e^{2x}} + C.} \)
\(\int {f(x)dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} \)
\(\int {f(x)dx = x + {e^{2x}} + C.} \)
Chọn C
Ta có\(\int {(1 + {e^{2x}})dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} \)
\[\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right){\rm{d}}x} \] bằng:
\[{e^x} - 2{e^{ - 2x}} + C\].
\[{e^x} + {e^{ - 2x}} + C\].
\[{e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\].
\[\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \frac{{{e^{ - 2x + 1}}}}{{ - 2x + 1}} + C\].
Chọn C
Ta có: \[\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{e^x}{\rm{d}}x} + \int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}x} = \int {{e^x}{\rm{d}}x} - \frac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}\left( { - 2x} \right)} = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\].
\[\int {{{\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \] bằng:
\[x + \sin x + C\].
\[\frac{1}{3}{\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)^3} + C\].
\[{\left( {\sin \frac{x}{2}} \right)^2} + C\].
\[\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C\].
Chọn D
Ta có: \[\int {{{\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{\rm{d}}x} + \frac{1}{2}\int {\cos x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C\].
\[\int {\left( {{5^{2x}} - 6{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} \] bằng:
\[{e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\].
\[\frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + 12{e^{ - \frac{x}{2}}} + C\].
\[{e^x} - 2{e^{ - 2x}} + C\].
\[\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \frac{{{e^{ - 2x + 1}}}}{{ - 2x + 1}} + C\].
Chọn B
Ta có \[\int {\left( {{5^{2x}} - 6{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{{25}^x}{\rm{d}}x} + 12\int {{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}d\left( { - \frac{x}{2}} \right)} = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + 12{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C = \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + 12{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C\].
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\) và \(F\left( 0 \right) = 0\). Giá trị của \(F\left( {\ln 3} \right)\) bằng
2.
6.
8.
4.
Chọn D
\(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C;\;F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).
Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = {2^x} + x + 1\]. Biết \(F\left( 0 \right) = 1\). Tính \(F\left( { - 1} \right)\) kết quả là.
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( { - 1} \right) = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{\ln 2}}\).
Chọn B
\[F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]
\(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\)
\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\]
\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\)
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\).
\(F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 3\)
\(F\left( x \right) = - \cos x + \sin x - 1\)
\(F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1\)
\(F\left( x \right) = \cos x - \sin x + 3\)
Chọn C
Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = - \cos x + \sin x + C\)
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1\).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). Tìm \(F\left( x \right)\).
\(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}\)
\(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}\)
C. \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}\)
\(F\left( x \right) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}\)
Chọn A
Ta có\(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C\)
Theo bài ra ta có: \(F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\3{x^2} - 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\], giả sử \[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2\].Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\] bằng.
\(9\).
\(15\).
\(11\).
\(6\).
Chọn A
Ta có:
\[\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {c_1}} \];
\[\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - 2x + {c_2}\]
Suy ra \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\]
Mà ta có \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]
Mặt khác hàm số \[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[y = F\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 1\]
Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1\].
Khi đó ta có: \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..\]
Vậy \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9\].
Cho hàm số \(BC = a\). Giả sử \(F\) là nguyên hàm của hàm số \(n(A) = C_4^3\) trên \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{30}}\) thỏa mãn \(F(0) = 2\). Giá trị của \(F( - 1) + 2F(2)\) bằng
23.
11.
10.
21.
Chọn D
Khi \(x \ge 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}\)
Khi \(x < 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}\)
Theo giả thiết \(F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\).
Suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Do đó hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1\)
Vậy \(F( - 1) + 2F(2) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21\)
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\]. Giả sử \[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\] bằng
\(18\).
\(20\).
\(9\).
\(24\).
Chọn A
\[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + {C_1}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].
Ta có: \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]. \(\left( 1 \right)\)
Do \[F\] liên tục tại \[x = 1\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\]
\[ \Leftrightarrow {C_1} + 3 = {C_2} + 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {C_1} + 3 = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1\].
Do đó \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].
Suy ra \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 18\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 3\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\), khi đó \(F\left( 1 \right)\) bằng
\( - 3\).
1.
2.
7.
Chọn B
Ta có: \[f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[ \Rightarrow \]\[f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + {C_1}\].
Mà \[f\left( 1 \right) = 3\]\[ \Rightarrow \]\[3 = 6 + {C_1}\]\[ \Rightarrow \]\[{C_1} = - 3\]\[ \Rightarrow \]\[f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3\]\[ \Rightarrow \]\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + {C_2}\].
Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow \]\[{C_2} = 2\]\[ \Rightarrow \]\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2\].
Khi đó: \[F\left( 1 \right) = 1\].
Cách khác: Ta có: \[F\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right){\rm{d}}x} + 2 = - 1 + 2 = 1\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(f\left( x \right) = 3x - 5\cos x + 15\)
\(f\left( x \right) = 3x - 5\cos x + 2\)
\(f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5\)
\(f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 2\)
Chọn C
Ta có \(f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} = 3x + 5\cos x + C\)
Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 10\) nên \(5 + C = 10 \Rightarrow C = 5\).
Vậy \(f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.\)
Hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và: \[f'\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} + 1,\]\[\forall x,\,f\left( 0 \right) = 2\]. Hàm \[f\left( x \right)\] là
\[y = 2{{\rm{e}}^x} + 2x\].
\[y = 2{{\rm{e}}^x} + 2\].
\[y = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 2\].
\[y = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1\].
Chọn D
Ta có: \[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}} x\]\[ = \int {\left( {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} + 1} \right){\rm{d}}} x\]\[ = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C\].
Suy ra \[f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C\].
Theo bài ra ta có: \[f\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow 1 + C = 2\]\[ \Leftrightarrow C = 1\].
Vậy: \[f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 2 - 5\sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 3\).
\(f\left( x \right) = 2x - 5\cos x + 15\).
\(f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 5\).
\(f\left( x \right) = 2x - 5\cos x + 10\).
Chọn C
Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {2 - 5\sin x} \right){\rm{d}}x\, = 2x + 5\cos x + C} \).
Mà \(f\left( 0 \right) = 10\) nên \(5 + C = 10 \Rightarrow C = 5\).
Vậy \(f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 5\).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 / (m s) thì người người đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 40t + 20\left( {m/s} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
5( cm).
7,5(m).
52(m ).
5( m).
Chọn D
Ta có:
\(v\left( t \right) = - 40t + 20\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C\)
Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)\( \Rightarrow C = 0\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t\)
Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0,5\).
từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: \(s\left( {0,5} \right) = - 20{\left( {0,5} \right)^2} + 20\left( {0,5} \right) = 5m\)
Bạn Minh Hiền ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\left( {m/s} \right)\). Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
36m .
252m.
1134m.
966m.
Chọn D
Ta có:
\(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C\)
Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)\( \Rightarrow C = 0\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t\)
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 là:\(s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84m\)
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 10 là:\(s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050m\)
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:\[s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966m\]
Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-6t+12(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?
24m
12m
6m
0,4m
Chọn B
Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a(t)=1+t3(m/s2) tính quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.
S=90m
S=246m
S=58m
S=100m
Chọn B
Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m/s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-5t+20, trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét?
10
20
30
40
Chọn D
Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là a=(t)=3t+t2. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
1303km
130km
34003km
43003km
Chọn D
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t)=10t-t2, trong đó (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động,v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là
v=5(m/p).
v=7(m/p)
v=9(m/p)
v=3(m/p)
Chọn B
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25m/s, gia tốc trọng trường là 9,8m/s2. Quảng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm đất gần bằng kết quả nào nhất trong các kết quả sau:
30,78m.
31,89m.
32,43m.
33,88m.
Chọn B
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t)= 10t-t2 trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:
v=7(m/p)
v=9(m/p)
v=5(m/p)
v=3(m/p)
Chọn B
Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm t giây là \(h'\left( t \right) = 10t + 500\left( {{m^3}/s} \right)\). Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?
5.104(m3)
4.106(m3)
3.107(m3)
6.106(m3)
Chọn C
Ta có :
\(h'\left( t \right) = 10t + 500\)
\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C\)
\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C\)
Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)
\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t\)
thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:
\(h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^3}\left( {{m^3}} \right)\)
Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi \(h\left( t \right)\) là thể tích nước bơm được sau \(t\) giây. Cho \(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt{\rm{ }}\left( {{m^3}/s} \right)\)và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m2. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu.
8400m3
8400m3
6000m3
4200m3
Chọn A
Ta có :
\(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\)
\[ \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]
\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]
Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)
\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\]
Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : \[h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\]
Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :\[h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100\]
Ta có hệ : \[\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}\]
thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là \[h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400{m^3}\]
Gọi \(h\left( t \right){\rm{ }}\left( m \right)\) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
\(2,64m\).
\(1,22m\).
\(2,22m\).
\(1,64m\).
Chọn D
Ta có :
\(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}\)
\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{t}} dx = \frac{1}{5}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{5}\frac{{{t^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C\)
\( \Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C\)
Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)
\( \Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t}\)
mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: \(h\left( 6 \right) = \frac{3}{{20}}.6\sqrt[3]{6} \approx 1,64m\)
Sự sản sinh vi rút Zika ngày thứ \(t\) có số lượng là \(N\left( t \right)\) con, biết \(N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}\)và lúc đầu đám vi rút có số lượng 250.000 con. Tính số lượng vi rút sau 10 ngày.
\(272304\) con
\(212302\) con
\(242102\) con
\(252302\) con.
Chọn D
Ta có :
\(N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}\)
\( \Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C\)
\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C\)
Chọn \(t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000\)
\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000\)
số lượng vi rút sau 10 ngày là: \(N\left( {10} \right) = 1000.\ln 10 + 250000 \approx 252302\)
