66 bài tập Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm) (có lời giải) - Đề 2
30 câu hỏi
Tìm: \(\int 3 {x^2}\;{\rm{d}}x\);
\(\int 3 {x^2}dx = 3\int {{x^2}} dx = 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C = {x^3} + C\).
Tìm \(\int - \frac{3}{2}{x^2}dx\).
\(\int - \frac{3}{2}{x^2}dx = - \frac{3}{2}\int {{x^2}} dx = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C = - \frac{1}{2}{x^3} + C\).
Tìm \(\int {\left( {{x^2} + x} \right)} dx\);
\(\int {\left( {{x^2} + x} \right)} {\rm{d}}x = \int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + \int x \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
Tìm \(\int {\left( {4{x^3} - 3{x^2}} \right)} dx\).
\(\int {\left( {4{x^3} - 3{x^2}} \right)} dx = 4\int {{x^3}} dx - 3\int {{x^2}} dx = {x^4} - {x^3} + C\).
Tìm \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)} dx\);
\(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^3} + x + C\);
Tìm \(\int {{{(2x - 1)}^2}} dx\).
\(\int {{{(2x - 1)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{(2x - 1)}^3}}}{6} + C\).
Tìm \(\int {\sqrt x } \;{\rm{d}}x(x > 0)\);
\(\int {\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2}1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\).
Tìm \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}} \;{\rm{d}}x\);
\(\int {\frac{1}{{{x^3}}}} \;{\rm{d}}x = \int {{x^{ - 3}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = - \frac{1}{2}{x^{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Tìm \(\int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx\).
\(\int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 {x^2}\;{\rm{d}}x + \int {\frac{3}{{\sqrt x }}} \;{\rm{d}}x = 2\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + 3\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \;{\rm{d}}x = \frac{2}{3}{x^3} + 6\sqrt x + C\).
Tìm \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}} \;{\rm{d}}x\);
\(\int {\frac{1}{{{x^4}}}} \;{\rm{d}}x = - \frac{1}{{3{x^3}}} + C\);
Tìm \(\int x \sqrt x dx(x > 0)\);
\(\int x \sqrt x \;{\rm{d}}x = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + C\);
Tìm \(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)} dx(x > 0)\).
\(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)} {\rm{d}}x = 3\ln |x| - \frac{{15x\sqrt[3]{x}}}{4} + C\).
Tìm \(\int {(\cos x + \sin x)} dx\);
\(\int {(\cos x + \sin x)} dx = \int {\cos } xdx + \int {\sin } xdx = \sin x - \cos x + C\).
Tìm \(\int {\left( {2\cos x - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx\).
\(\int {\left( {2\cos x - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx = 2\int {\cos } xdx - \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = 2\sin x - \tan x + C\).
Tìm \(\int {(3\cos x - 4\sin x)} dx\);
\(\int {(3\cos x - 4\sin x)} {\rm{d}}x = 3\sin x + 4\cos x + C{\rm{; }}\)
Tìm \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\).
\(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = \tan x + \cot x + C{\rm{. }}\)
Tìm: \(\int {{2^x}} dx\);
\(\int {{2^x}} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
Tìm \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} dx\);
\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} dx = \int {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{1}{3}}} + C = - \frac{1}{{{3^x}\ln 3}} + C\).
Tìm \(\int {\left( {2{e^x} - {5^x}} \right)} dx\)
\(\int {\left( {2{e^x} - {5^x}} \right)} dx = 2\int {{e^x}} dx - \int {{5^x}} dx = 2{e^x} - \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).
Tìm \(\int {{4^x}} dx\);
\(\int {{4^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\);
Tìm \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}} dx\);
\(\int {\frac{1}{{{e^x}}}} \;{\rm{d}}x = - \frac{1}{{{e^x}}} + C\) (Lưu ý: GV gợi ý cách viết \(\frac{1}{{{e^x}}} = {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x}\) và \(\ln \frac{1}{e} = - 1\) );
Tìm \(\int {\left( {2 \cdot {3^x} - \frac{1}{3} \cdot {7^x}} \right)} dx\).
\(\int {\left( {2 \cdot {3^x} - \frac{1}{3} \cdot {7^x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{2 \cdot {3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{{{7^x}}}{{3\ln 7}} + C\).
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: \(f(x) = 3{x^2} + 2x - 1\);
\(\int {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^3} + {x^2} - x + C\).
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: \(f(x) = {x^3} - x\)
\(\int {\left( {{x^3} - x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(f(x) = {(2x + 1)^2}\);
Ta có \({\left[ {{{(2x + 1)}^3}} \right]^\prime } = 3{(2x + 1)^2}{(2x + 1)^\prime } = 6{(2x + 1)^2}\). Do đó \(\frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6}\) là một nguyên hàm của hàm số \({(2x + 1)^2}\) trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(\int {{{(2x + 1)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6} + C\).
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
\(f(x) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2}\).
Ta có \(f(x) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2} = 4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}\) nên
\(\int {{{\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \int 4 {x^2}\;{\rm{d}}x - \int 4 \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{4{x^3}}}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C\).
Tìm: \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\)
Ta có:
\(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 3 \sqrt x \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \;{\rm{d}}x = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x + \int {{x^{ - \frac{1}{3}}}} \;{\rm{d}}x = 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)
Đáp số: \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\).
Tìm \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x(x > 0)\);
ta có:
\(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = \int 7 {x^{\frac{5}{2}}}\;{\rm{d}}x - \int 3 {x^{\frac{1}{2}}}\;{\rm{d}}x = 7 \cdot \frac{2}{7}{x^{\frac{7}{2}}} - 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C{\rm{. }}\)
Đáp số: \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = 2\left( {{x^3} - x} \right)\sqrt x + C\).
Tìm \(\int {\frac{{{{(2x + 1)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\)
Khai triển \({(2x + 1)^2} = 4{x^2} + 4x + 1\) và chia cho \({x^2}\). Dùng tính chất của nguyên hàm.
Tìm \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x\).
\(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C\).
