Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	15	45	75	105
Số khách hàng	3	15	10	7

 Tổng số khách hàng là n = 35. Số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng là

\(\overline x = \frac{{3.15 + 15.45 + 10.75 + 7.105}}{{35}} = 63\) (nghìn đồng).

Do đó, số trung bình cho mẫu số liệu gốc khoảng 63 nghìn đồng.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

Gọi x₁, x₂, ..., x₃₅ là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là x₁₈. Do x_18­ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({M_e} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 3}}{{15}}.30 = 59\).

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là x₉. Do x₉ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{4} - 3}}{{15}}.30 = 41,5\).

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là x₂₇. Do x₂₇ thuộc nhóm [60; 90) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 3; a₃ = 60; m₃ = 10; m₁ + m₂ = 3 + 15 = 18; a₄ – a₃ = 90 – 60 = 30 và ta có

\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.35}}{4} - 18}}{{10}}.30 = 84,75\).

Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = 59.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu gốc khoảng 59 và các tứ phân vị khoảng 41,5; 59; 84,75.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có, j = 2, a₂ = 30, m₂ = 15, m₁ = 3, m₃ = 10, h = 30. Do đó

\({M_o} = 30 + \frac{{15 - 3}}{{\left( {15 - 3} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.30 \approx 51,18\).

Vậy mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 51,18.

Lời giải:

a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

Thời gian (giờ)	Dưới 1,5 giờ	[1,5; 3)	[3; 4,5)	Từ 4,5 giờ trở lên
Số học sinh	5	15	8	2

 

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới 1,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 0,75 giờ, tần số tương ứng là 5.

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là \(\frac{{1,5 + 3}}{2} = 2,25\), tần số tương ứng là 15.

 - Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là \(\frac{{3 + 4,5}}{2} = 3,75\), tần số tương ứng là 8.

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

Số trung bình là \(\overline x = \frac{{5.0,75 + 15.2,25 + 8.3,75 + 2.5,25}}{{30}} = 2,6\).

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Chú ý: Mỗi bạn có kết quả khảo sát khác nhau phụ thuộc vào số lượng học sinh trong lớp và thời gian tự học của mỗi học sinh trong lớp. Kết quả trên là một ví dụ tham khảo.

Lời giải:

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian (giờ)	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5
Số học sinh	8	16	4	2	2

 

Tổng số học sinh là n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32. Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là

\(\overline x = \frac{{8.2,5 + 16.7,5 + 4.12,5 + 2.17,5 + 2.22,5}}{{32}} = 8,4375\) (giờ).

Lời giải:

Ta có: cỡ mẫu n = 21, là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà x₁₁ thuộc [5; 10) nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [5; 10).

Lời giải:

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x₁, x₂, ..., x₂₀₀ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{100}} + {x_{101}}}}{2}\). Do 2 giá trị x₁₀₀, x₁₀₁ thuộc nhóm [165; 170) (vì 18 + 28 + 35 + 43 = 124) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p = 4; a₄ = 165; m₄ = 43; m₁ + m₂ + m₃ = 18 + 28 + 35 = 81; a_5­ – a₄ = 170 – 165 = 5 và ta có

\({M_e} = 165 + \frac{{\frac{{200}}{2} - 81}}{{43}} \cdot 5 \approx 167,21\).

Lời giải:

Vì n = 21 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó \({Q_1} = \frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\), mà x₅, x₆ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất Q₁ thuộc nhóm [5; 10).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy x₁₂, x­₁₃, ..., x₂₁ nên \({Q_3} = \frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}\). Ta có: 3 + 8 + 7 = 18, do đó x₁₆, x₁₇ thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba Q₃ thuộc nhóm [10; 15).

Lời giải:

Cỡ mẫu là n = 200.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\). Do x₅₀, x₅₁ đều thuộc nhóm [160; 165) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 3; a₃ = 160; m₃ = 35; m₁ + m₂ = 18 + 28 = 46; a₄ – a₃ = 165 – 160 = 5 và ta có

\({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 46}}{{35}}.5 \approx 160,57\).

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}\). Do x₁₅₀, x₁₅₁ đều thuộc nhóm [170; 175) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 5; a₅ = 170; m₅ = 41; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 18 + 28 + 35 + 43 = 124; a₆ – a₅ = 175 – 170 = 5 và ta có

\({Q_3} = 170 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} - 124}}{{41}}.5 \approx 173,17\).

Lời giải:

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5; 10) là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là j = 2; a_j = a₂ = 5; m₂ = 16; m₁ = 8; m₃ = 4; độ dài của nhóm h = 5.

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng \(5 + \frac{{16 - 8}}{{\left( {16 - 8} \right) + \left( {16 - 4} \right)}}.5 = 7\).

Lời giải:

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm [10,5; 20,5).

Ta có, j = 2; a₂ = 10,5; m₂ = 10; m₁ = 2; m₃ = 6; h = 20,5 – 10,5 = 10. Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là

\({M_o} = 10,5 + \frac{{10 - 2}}{{\left( {10 - 2} \right) + \left( {10 - 6} \right)}}.10 = \frac{{103}}{6} \approx 17,17\).

Lời giải:

Ta có:

Số tiền (nghìn đồng)	[0; 30)	[30; 60)	[60; 90)	[90; 120)
Số khách hàng	3	15	10	7

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	15	45	75	105
Số khách hàng	3	15	10	7

 

Tổng số khách hàng là n = 35. Số trung bình là

\(\overline x = \frac{{3.15 + 15.45 + 10.75 + 7.105}}{{35}} = 63\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

Ý nghĩa: Trung bình mỗi người đi xe máy vào mua xăng hết 63 000 đồng.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

- Gọi x₁, x₂, ..., x₃₅ là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là x₁₈. Do x_18­ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({M_e} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 3}}{{15}}.30 = 59\).

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là x₉. Do x₉ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2; a₂ = 30; m₂ = 15; m₁ = 3; a₃ – a₂ = 60 – 30 = 30 và ta có

\({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{4} - 3}}{{15}}.30 = 41,5\).

- Tứ phân vị thứ ba Q₃ là x₂₇. Do x₂₇ thuộc nhóm [60; 90) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 3; a₃ = 60; m₃ = 10; m₁ + m₂ = 3 + 15 = 18; a₄ – a₃ = 90 – 60 = 30 và ta có

\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.35}}{4} - 18}}{{10}}.30 = 84,75\).

- Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = 59.

Do đó, các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ là Q₁ = 41,5; Q₂ = 59 và Q₃ = 84,75, mỗi giá trị này là các ngưỡng để chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Ý nghĩa: Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có, j = 2, a₂ = 30, m₂ = 15, m₁ = 3, m₃ = 10, h = 30. Do đó

\({M_o} = 30 + \frac{{15 - 3}}{{\left( {15 - 3} \right) + \left( {15 - 10} \right)}}.30 \approx 51,18\).

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.

Lời giải:

a) Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 2, giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 32, do đó khoảng biến thiên là 32 – 2 = 30.

Các nhóm có độ rộng bằng nhau và độ rộng của mỗi nhóm là 5. Để cho thuận tiện, ta chia thành 7 nhóm là các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35). Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Quãng đường (km)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)
Số công nhân	5	11	11	9	1	1	2

 

Giá trị đại diện cho mỗi nhóm là trung bình của hai đầu mút của nhóm. Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

Quãng đường (km) (giá trị đại diện)	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5
Số công nhân	5	11	11	9	1	1	2

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline {{x_g}} = \frac{{5.2,5 + 11.7,5 + 11.12,5 + 9.17,5 + 1.22,5 + 1.27,5 + 2.32,5}}{{40}} = 12,625\).

Ta có: 5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12 = 476.

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là \(\overline x = \frac{{476}}{{40}} = 11,9\).

Giá trị trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn vì nó là giá trị của mẫu số liệu gốc.

c) Tần số lớn nhất trong bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là 11. Do đó, nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là các nhóm [5; 10) và [10; 15).

Lời giải:

a) Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [3; 3,5). Ta có, j = 3, a₃ = 3, m₃ = 14, m₂ = 9, m₄ = 11, h = 0,5. Do đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({M_o} = 3 + \frac{{14 - 9}}{{\left( {14 - 9} \right) + \left( {14 - 11} \right)}}.0,5 = 3,3125\).

Ý nghĩa: Tuổi thọ của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm là nhiều nhất hay tuổi thọ chủ yếu của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm.

b) Trong mỗi khoảng tuổi thọ, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tuổi thọ (năm)	2,25	2,75	3,25	3,75	4,25	4,75
Tần số	4	9	14	11	7	5

 

Tổng số ắc quy ô tô là 50. Tuổi thọ trung bình của 50 ắc quy ô tô này là

\(\overline x = \frac{{4.2,25 + 9.2,75 + 14.3,25 + 11.3,75 + 7.4,25 + 5.4,75}}{{50}} = 3,48\) (năm).

Lời giải:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 ta được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Điểm	[0; 9,5)	[9,5; 19,5)	[19,5; 29,5)	[29,5; 39,5)	[39,5; 49,5)
Số thí sinh	1	2	4	6	15
Điểm	[49,5; 59,5)	[59,5; 69,5)	[69,5; 79,5)	[79,5; 89,5)	[89,5; 99,5)
Số thí sinh	12	10	6	3	1

 b) Cỡ mẫu là n = 60.

Gọi x₁, x₂, ..., x₆₀ là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do hai giá trị x₃₀, x₃₁ thuộc nhóm [49,5; 59,5) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p = 6; a₆ = 49,5; m₆ = 12; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 28; a₇ – a₆ = 59,5 – 49,5 = 10 và ta có

\({M_e} = 49,5 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 28}}{{12}}.10 \approx 51,17\).

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do x₁₅ và x₁₆ đều thuộc nhóm [39,5; 49,5) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 5; a₅ = 39,5; m₅ = 15; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ = 13; a₆ – a₅ = 10 và ta có

\({Q_1} = 39,5 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 13}}{{15}}.10 \approx 40,83\).

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\). Do x₄₅ và x₄₆ đều thuộc nhóm [59,5; 69,5) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 7; a₇ = 59,5; m₇ = 10; m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ + m₆ = 40; a₆ – a₅ = 10 và ta có

\({Q_3} = 59,5 + \frac{{\frac{{3.60}}{4} - 40}}{{10}}.10 = 64,5\).

Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e ≈ 51,17.

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q₁ ≈ 40,83; Q₂ ≈ 51,17 và Q₃ = 64,5. Các giá trị này các là ngưỡng để phân điểm của 60 học sinh thành 4 phần để xếp loại học sinh.

Lời giải:

a) Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian	Số học sinh nam	Số học sinh nữ
4,5	6	4
5,5	10	8
6,5	13	10
7,5	9	11
8,5	7	8

Tổng số các bạn nam là n₁ = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam là

\(\overline {{x_1}} = \frac{{6.4,5 + 10.5,5 + 13.6,5 + 9.7,5 + 7.8,5}}{{45}} \approx 6,52\).

Tổng số các bạn nữ là n₂ = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là

\(\overline {{x_2}} = \frac{{4.4,5 + 8.5,5 + 10.6,5 + 11.7,5 + 8.8,5}}{{41}} \approx 6,77\).

Vì 6,52 < 6,77 nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nam ít hơn các học sinh nữ.

b) Ta có:

Thời gian	Số học sinh nam	Số học sinh nữ	Số học sinh khối 11
[4; 5)	6	4	10
[5; 6)	10	8	18
[6; 7)	13	10	23
[7; 8)	9	11	20
[8; 9)	7	8	15

 

Tổng số học sinh khối 11 được khảo sát là n = 45 + 41 = 86.

Gọi x₁, x₂, x₃, ..., x₈₆ là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là \(\frac{{{x_{43}} + {x_{44}}}}{2}\).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất Q₁ là x₂₂. Vì x₂₂ thuộc nhóm [5; 6) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó, p = 2; a₂ = 5; m₂ = 18; m₁ = 10; a₃ – a₂ = 6 – 5 = 1 và ta có

\({Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{86}}{4} - 10}}{{18}}.1 \approx 5,64\).

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ chia mẫu số liệu thành 2 phần, phần dưới chiếm 25% số liệu của mẫu và phần trên chiếm 75% số liệu của mẫu.

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5,64 giờ.