Đề kiểm tra Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn D

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}\) là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm. Do \({x_1} \in [150;155)\); \({x_2}; \ldots ;{x_8} \in [155;160);{x_9}; \ldots ;{x_{20}} \in [160;165)\) nên trung vị của mẫu số liệu \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}\) là \({x_{13}} \in [160;165)\).

Lời giải

Chọn A

Gọi \({x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{19}}\) lần lượt là số năm theo thứ tự không giảm

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là \({x_{10}}\) thuộc nhóm \([120;175)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = 120 + \frac{{\frac{{19}}{2} - 0}}{{10}}(175 - 120) = 172,5\).

Trong mỗi khoảng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau

Trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp \(11{\rm{\;A}}1\)là:

\(\bar x = \frac{{4 \times 18,5 + 6 \times 23,5 + 8 \times 28,5 + 18 \times 33,5 + 4 \times 38,5}}{{4 + 6 + 8 + 18 + 4}} = 30\).

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 42 \Rightarrow \frac{n}{4} = 10,5\].

Suy ra nhóm \[2\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[10,5\].

Xét nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {2\,;\,3} \right)\] có \[s = 2\,;\,h = 1\,;\,{n_2} = 10\,\]và nhóm \[1\] là nhóm \[\left[ {1\,;\,2} \right)\]có \[c{f_1} = 8\].

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

\[{Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10,5 - 8}}{{10}}} \right).1 = 2,25\].

Theo định nghĩa mốt, chọn đáp án A

Ta có, theo công thức tính mốt thì

\[\frac{{283}}{3} = 90 + \left( {\frac{{{x^2} + 5 - 1}}{{2.\left( {{x^2} + 5} \right) - 1 - 4x}}} \right).5\]

\( \Leftrightarrow 11{x^2} - 52x + 57 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{{19}}{{11}}\end{array} \right.\)

Do \(x\) nguyên dương nên suy ra \[x = 3\].

Số trung bình là:

\(\frac{{151.10 + 153.12 + 155.35 + 157.20 + 159.10 + 161.13}}{{100}} = 155,94\).

Mốt \({M_0}\) chứa trong nhóm \[[40;60)\]

Do đó: \({u_m} = 40;{u_{m + 1}} = 60 \Rightarrow {u_{m + 1}} - {u_m} = 60 - 40 = 20\)

\({n_{m - 1}} = 9;{n_m} = 12;{n_{m + 1}} = 10\)

\({M_0} = 40 + \frac{{12 - 9}}{{\begin{array}{*{20}{l}}{(12 - 9){\rm{ }} + {\rm{ }}(1}\end{array}2 - 10)}}(60 - 40) = 52\)

Ta có: \(n = 42\)

Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là \[{Q_1} = {x_{11}}\]

Mà \[{x_{11}} \in \left[ {20;40} \right)\]

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là nhóm \[[20;40)\]

Ta có: \(n = 42\)

Nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là \[{Q_3} = {x_{33}}\]

Mà \[{x_{33}} \in \left[ {60;80} \right)\]

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là nhóm \[\left[ {60;80} \right)\]

Có 2 nhóm chứa tần số cao nhất trong mẫu số liệu là \[\left[ {7;{\rm{ }}9} \right)\] và \[\left[ {9;{\rm{ }}11} \right)\], do đó:

Xét nhóm \[\left[ {7;{\rm{ }}9} \right)\] ta có:

\({M_0} = 7 + \frac{{7 - 2}}{{(7 - 2){\rm{ }} + {\rm{ }}(7 - 7)}}(9 - 7) = 9\)

Xét nhóm \[\left[ {9;{\rm{ }}11} \right)\] ta có:

\({M'_0} = 9 + \frac{{7 - 7}}{{(7 - 7){\rm{ }} + {\rm{ }}(7 - 3)}}(11 - 9) = 9\)

Vậy mốt của mẫu số liệu là 9.

Gọi \[{x_1},{x_2},...,{x_{20}}\]là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: \[{x_1},{x_2} \in \left[ {5;7} \right)\], \[{x_3},...,{x_9} \in \left[ {7;{\rm{ }}9} \right)\],, \[{x_9},...,{x_{16}} \in \left[ {9;{\rm{ }}11} \right)\]\[{x_{17}},...,{x_{19}} \in \left[ {11;{\rm{ }}13} \right)\], \[{x_{20}} \in \left[ {13;{\rm{ }}15} \right)\]

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \[\left[ {7;9} \right)\]

\(n = {\rm{ }}20,{n_m} = {\rm{ }}7,C = {\rm{ }}2,{u_m} = {\rm{ }}7,{u_{m + 1}} = {\rm{ }}9\)

\({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{7}(9 - 7) \approx 7,86 \approx 8\)

Số trung bình của dãy số liệu là:

\(\frac{{0,925.10 + 0,975.20 + 1,025.35 + 1,075.15 + 1,125.5}}{{85}} = 1,016.{\rm{ }}\)

Nhóm chứa mốt của dãy số liệu là \([1;1,05)\)

M°=1+35−20(35−20)+(35−15)(1,05−1)=1,02.

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{85}}\) lần lượt là điện lượng mỗi viên pin xếp theo thứ tự không giảm.

Do \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{10}} \in [0,9;0,95);{x_{11}}; \ldots ;{x_{30}} \in [0,95;1,0);{x_{31}}; \ldots ;{x_{65}} \in [1,0;1,05)\); \({x_{66}}; \ldots ;{x_{80}} \in [1,05;1,1);{x_{81}}; \ldots ;{x_{85}} \in [1,1;1,15)\) nên trung vị của mẫu số liệu \({x_1}\); \({x_2}; \ldots ;{x_{85}}\) là: \({x_{43}} \in [1;1,05)\).

Ta xác định được \(n = 85,{n_m} = 35,C = 30,{u_m} = 1,{u_{m + 1}} = 1,05\).

Suy ra tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: \({Q_2} = 1 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 30}}{{35}}(1,05 - 1) = 1,02\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).

Do \({x_{21}},{x_{22}} \in [0,95;1)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nhóm là: \({Q_1} = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 10}}{{20}}(1 - 0,95) = 0,98\). .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).

Do \({x_{64}},{x_{65}} \in [1;1,05)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm là: \({Q_3} = 1 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 30}}{{35}}(1,05 - 1) = 1,048\).

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{82}}\) lần lượt là điểm trung bình môn Toán của các học sinh sắp xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: \({x_1}; \ldots ;{x_8} \in [6,5;7);{x_9}; \ldots ;{x_{18}} \in [7;7,5);{x_{19}}; \ldots ;{x_{34}} \in [8;8,5)\); \({x_{59}}; \ldots ;{x_{71}} \in [8,5;9);{x_{72}}; \ldots ;{x_{78}} \in [7;7,5);{x_{79}}; \ldots ;{x_{82}} \in [9,5;10)\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)\) mà \({x_{41}};{x_{42}} \in [8;8,5)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: \({Q_2} = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} - 34}}{{24}}(8,5 - 8) = 8,15\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({x_{21}} \in [7,5;8)\).

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}(8 - 7,5) = 7,58\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({x_{62}} \in [8,5;9)\).

Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}(9 - 8,5) = 8,63\).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\frac{{0,50.25 + 1,00.32 + 1,50.14 + 2,00.12 + 2,50.4}}{{87}} = 1,14\).

Nhóm chứa mốt của số liệu là \([0,75;1,25)\).

Mốt của mẫu số liệu là M°=0,75+32−25(32−25)+(32−14)(1,25−0,75)=0,89

Gọi \({x_1},{x_2}, \ldots {x_{87}}\) lần lượt là chỉ số mắt cận của các học sinh sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \({x_1}, \ldots ,{x_{25}} \in [0,25;0,75);{x_{26}}, \ldots ,{x_{57}} \in [0,75;1,25)\); nên trung vị của mẫu là \({x_{44}} \in [0,75;1,25)\)Ta xác định được \(n = 87,{n_m} = 32,C = 25,{u_m} = 0,75;{u_{m + 1}} = 1,25\).

Nên: \({M_e} = 0,75 + \frac{{\frac{{87}}{2} - 25}}{{32}}(1,25 - 0,75) = 1,039\).

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

6,\(7;6,7;8,3;8,4;8,9;9,2;9,6;9,8;10;10;10,7;10,9;11,1;11,2;11,7;11,9;12,2;12,5;12,7;13,1;13,2;13,6;13,8\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = 10,7 + 10,92 = 10,8\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

\( \Rightarrow {Q_1} = 8,9 + 9,22 = 9,05\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

10,\(9;11,1;11,2;11,7;11,9;12,2;12,5;12,7;13,1;13,2;13,6;13,8\)

\( \Rightarrow {Q_3} = 12,2 + 12,52 = 12,35\).

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{24}}\) lần lượt là lương tháng của mỗi nhân viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Do \({x_1}; \ldots ;{x_3} \in [6;8);{x_4}; \ldots ;{x_9} \in [8;10);{x_{10}}; \ldots ;{x_{17}} \in [10;12);{x_{18}}; \ldots ;{x_{24}} \in [12;14)\) nên trung vị của mẫu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{12}} + {x_{13}}} \right) \in [10;12)\).

Ta xác định được \(n = 24,{n_m} = 8,C = 3 + 6 = 9,{u_m} = 10,{u_{m + 1}} = 12\).

Suy ra tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là:

\({Q_2} = 10 + \frac{{\frac{{24}}{2} - 9}}{8}(12 - 10) = 10,75\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right)\).

Do \({x_6},{x_7} \in [8;10)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{24}}{4} - 3}}{6}(10 - 8) = 9\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right)\).

Do \({x_{18}},{x_{19}} \in [12;14)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.24}}{4} - 17}}{7}(14 - 12) = 12,3\)

ĐS. Trung bình trong học kì mỗi học sinh đi muộn 3,325 buổi.

Gọi \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{31}}\) là cân nặng của \(31\) quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.

Do \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_4} \in \left[ {150;\,155} \right)\); \({x_5};\,{x_6};\,...;\,{x_{11}} \in \left[ {155;\,160} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu \[{x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{31}}\] là: \({x_{16}} \in \left[ {160;\,165} \right)\).

Ta xác định được \[n = 31,\,{n_m} = 12,\,C = 4 + 7 = 11,\,{u_m} = 160,\,{u_{m + 1}} = 165\].

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({M_e} = 160 + \frac{{\frac{{31}}{2} - 11}}{{12}} \cdot \left( {165 - 160} \right) = 161,875\).

Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ lon nước ngọt là \(n = 58 + 87 + 54 + 44 + 23 = 266\).

Gọi \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{266}}\) lần lượt là số vỏ chai \(266\) học sinh khối 12 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.

Do \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{58}} \in \left[ {10,5;\,15,5} \right)\); \({x_{59}};\,{x_{55}};\,...;\,{x_{145}} \in \left[ {15,5;\,20,5} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu \({x_1};\,{x_2};\,...;\,{x_{240}}\) là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{133}} + {x_{134}}} \right) \in \left[ {15,5;\,20,5} \right)\).

Ta xác định được \(n = 266,\,{n_m} = 87,\,C = 58,\,{u_m} = 15,5,\,{u_{m + 1}} = 20,5\) và \({u_{m + 1}} = 20,5\).

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{266}}{2} - 58}}{{87}} \cdot \left( {20,5 - 15,5} \right) \approx 19,81\).

Gọi \({x_1} \le {x_2} \le \ldots \le {x_{65}}\) là tiền lương của 65 nhân viên nhận được trong 1 giờ.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{65}}\) là \({x_{33}} \in \left[ {70;80} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_2} = 70 + \frac{{\frac{{2.65}}{4} - \left( {8 + 10} \right)}}{{16}} \cdot \left( {80 - 70} \right) = 79,0625\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{65}}\) là \({x_{17}} \in \left[ {60;70} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_1} = 60 + \frac{{\frac{{1 \cdot 65}}{4} - 8}}{{10}} \cdot \left( {70 - 60} \right) = 68,25{\rm{\;}}\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{65}}\) là \({x_{49}} \in \left[ {90;100} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_3} = 90 + \frac{{\frac{{3 \cdot 65}}{4} - \left( {8 + 10 + 16 + 14} \right)}}{{10}} \cdot \left( {100 - 90} \right) = 90,75\).

Ta có \(n = 4 + 6 + 10 + 15 + 25 = 60\)

Trung vị là \[{M_e} = 180 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 20}}{{15}}.\left( {200 - 180} \right) = \frac{{580}}{3} \approx 193,33\].

Tứ phân vị thứ nhất là \[{Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 10}}{{10}}.\left( {180 - 160} \right) = 170\].

Tứ phân vị thứ ba là \[{Q_3} = 200 + \frac{{3.\frac{{60}}{4} - 35}}{{25}}.\left( {220 - 200} \right) = 208\].

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm \[\left[ {5;10} \right)\]là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là \(j = 2;{a_j} = {a_2} = 5;{m_2} = 16;{m_1} = 8;{m_3} = 4;\) độ dài của nhóm \(h = 5\).

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng \(5 + \frac{{16 - 8}}{{(16 - 8) + (16 - 4)}}.5 = 7\).