Bài tập Số trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu là: n = 8 + 22 + 35 + 15 = 80.

Số trung bình là:  $\overline{x}=\frac{8.2,75+22.4,25+35.5,75+15.7,25}{80}\approx 5,32.$

Đáp án đúng là: C

Tần số cao nhất là 35.

Nhóm chứa mốt (nhóm có tần số cao nhất) là: [5; 6,5).

Đáp án đúng là: B

Tần số cao nhất là 35.

Chỉ có 1 nhóm chứa mốt (nhóm có tần số cao nhất) là: [5; 6,5).

Vậy mẫu số liệu trên có 1 mốt.

Đáp án đúng là: A

Nhóm có tần số lớn nhất (nhóm chứa mốt) là: [156; 159).

Mốt là:  $M_o=156+\frac{40-13}{\left(40-13\right)+\left(40-21\right)}\cdot 3\approx 157,76$.

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu là: n = 4 + 5 + 7 + 7 + 5 = 28.

Cân nặng trung bình của học sinh trong lớp 11 xấp xỉ là:

 $\frac{47\cdot 4+51\cdot 5+55\cdot 7+59\cdot 7+63\cdot 5}{28}\approx 55,6$ (kg).

Đáp án đúng là: C

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm [165; 170).

Đáp án đúng là: C

Nhóm chưa mốt là: [40; 60).

Đáp án đúng là: A

Mốt M_o được chứa trong nhóm [40; 60).

Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu: n = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

 $\overline{x}=\frac{1.17,5+0.22,5+0.27,5+1.32,5+10.37,5+17.42,5+0.47,5+1.52,5}{30}=40.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta xác định giá trị đại diện của từng nhóm số liệu:

Nhóm [0; 4) có giá trị đại diện là x₁ = \(\frac{{0 + 4}}{2}\) = 2.

Nhóm [4; 8) có giá trị đại diện là x₂ = \(\frac{{4 + 8}}{2}\) = 6.

Nhóm [8; 12) có giá trị đại diện là x₃ = \(\frac{{8 + 12}}{2}\) = 10.

Nhóm [12; 16] có giá trị đại diện là x₄ = \(\frac{{12 + 16}}{2}\) = 14.

Tổng số học sinh khảo sát là: n = 5 + 15 + 10 + 10 = 40.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x \) = \(\frac{{5 \cdot 2 + 15 \cdot 6 + 10 \cdot 10 + 10 \cdot 14}}{{40}}\) = \(\frac{{10 + 90 + 100 + 140}}{{40}}\) = \(\frac{{340}}{{40}}\) = 8,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất trong bảng là n₂ = 20, do đó nhóm chứa mốt là nhóm thứ hai: [13; 16).

Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:

M_o = 13 + \(\frac{{20 - 12}}{{\left( {20 - 12} \right) + \left( {20 - 16} \right)}}\)⋅ 3 = 13 + \(\frac{8}{{8 + 4}}\)⋅ 3 = 13 + \(\frac{8}{{12}}\)⋅ 3 = 13 + 2 = 15.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ý nghĩa của mốt: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu tại vị trí có mật độ tập trung dày đặc nhất (phổ biến nhất). Trong kinh doanh, kích cỡ mặt hàng bán được nhiều nhất chính là mốt của mẫu số liệu. Do đó chủ cửa hàng cần nhập hàng dựa theo mốt để tối ưu hóa doanh thu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: x₁ = 6; x₂ = 8; x₃ = 10.

Cỡ mẫu là: n = 6 + x + 4 = 10 + x.

Theo công thức tính số trung bình: \(\overline x \) = \(\frac{{6 \cdot 6 + x \cdot 8 + 4 \cdot 10}}{{10 + x}}\) = 7,8.

⇒\(\frac{{76 + 8x}}{{10 + x}}\) = 7,8 ⇒ 76 + 8x = 7,8(10 + x)

⇒ 76 + 8x = 78 + 7,8x ⇒ 0,2x = 2 ⇒ x = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất trong bảng là 15, do đó nhóm chứa mốt là nhóm đầu tiên [0; 10).

⇒ M_o = 0 + \(\frac{{15 - 0}}{{\left( {15 - 0} \right) + \left( {15 - 5} \right)}}\)⋅ 10 = \(\frac{{15}}{{15 + 10}}\)⋅ 10 = \(\frac{{15}}{{25}}\)⋅ 10 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Cỡ mẫu: n = 5 + 10 + 15 + 10 = 40.

b) Sai. Giá trị đại diện nhóm 2 phải là x₂ = \(\frac{{14 + 18}}{2}\) = 16 (cm).

c) Đúng. Các giá trị đại diện các nhóm lần lượt là 12; 16; 20; 24.

Số trung bình: \(\overline x \) = \(\frac{{5 \cdot 12 + 10 \cdot 16 + 15 \cdot 20 + 10 \cdot 24}}{{40}}\) = \(\frac{{760}}{{40}}\) = 19 (cm).

d) Đúng. Phát biểu hoàn toàn chính xác theo ý nghĩa của số trung bình.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                            d) Đúng.

a) Đúng. Tần số lớn nhất là 24, tương ứng nhóm [8; 10).

b) Sai. Mẫu số liệu có 4 nhóm.

c) Sai. Tính toán cụ thể mốt M_o:

M_o = 8 + \(\frac{{24 - 12}}{{\left( {24 - 12} \right) + \left( {24 - 10} \right)}}\)⋅ 2 = 8 + \(\frac{{12}}{{12 + 14}}\)⋅ 2 = 8 + \(\frac{{24}}{{26}}\) ≈ 8,92.

Do 8,92 < 9,0 nên mệnh đề sai.

d) Đúng. Biểu thị đúng giá trị mốt và ý nghĩa thực tế đo xu thế trung tâm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. x₃ = \(\frac{{50 + 60}}{2}\) = 55.

b) Đúng.\(\overline x \) = \(\frac{{15 \cdot 15 + 3 \cdot 25 + 2 \cdot 55}}{{20}}\) = \(\frac{{410}}{{20}}\) = 20,5 (triệu đồng).

c) Đúng. Nhóm [10; 20) có tần số lớn nhất là m₁ = 15.

d) Sai. Số trung bình chịu ảnh hưởng bởi giá trị bất thường (kéo số trung bình lên thành 20,5 triệu trong khi có đến 15/20 người nhận lương dưới 20 triệu). Lúc này mốt mới là số đặc trưng phản ánh tốt hơn xu hướng tiền lương phổ biến của đa số nhân viên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Các giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: 42,5; 47,5; 52,5; 57,5.

\(\overline x \) = \(\frac{{8 \cdot 42,5 + 12 \cdot 47,5 + 10 \cdot 52,5 + 10 \cdot 57,5}}{{40}}\) = \(\frac{{2010}}{{40}}\) = 50,25 (kg).

b) Đúng. Nếu mọi dữ liệu đều cộng thêm một hằng số c, số trung bình mới bằng số trung bình cũ cộng c.

c) Đúng. Nhóm chứa mốt là nhóm thứ hai [45; 50).

Khi đó M₀ = 45 + \(\frac{{12 - 8}}{{\left( {12 - 8} \right) + \left( {12 - 10} \right)}}\)⋅ 5 = 45 + \(\frac{4}{6}\)⋅ 5 ≈ 48,33 (kg).

d) Sai. Khi tất cả học sinh tăng 2 kg, toàn bộ các khoảng mút nhóm dịch chuyển tịnh tiến sang phải 2 đơn vị (nhóm chứa mốt đổi thành [47; 52)). Do đó giá trị mốt mới cũng sẽ tăng thêm đúng 2 kg.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều hơn một mốt nếu có từ hai nhóm trở lên cùng đạt tần số lớn nhất bằng nhau.

b) Đúng. Vì khi ghép nhóm, ta đã thay thế mọi giá trị thực tế trong khoảng bằng giá trị đại diện (trung điểm) nên kết quả tính toán sẽ có sai số nhỏ so với mẫu gốc.

c) Đúng. Đây là quy ước chuẩn trong cấu trúc công thức để đảm bảo tính liên tục tại biên (m_k+1 = 0).

d) Sai. Giá trị đại diện là trung điểm x_i = \(\frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\), nếu tổng hai đầu mút là số lẻ thì giá trị đại diện sẽ là số thập phân.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16,4

Các giá trị đại diện của 3 nhóm lần lượt là: 12; 16; 20.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x \) = \(\frac{{10 \cdot 12 + 25 \cdot 16 + 15 \cdot 20}}{{50}}\) = \(\frac{{120 + 400 + 300}}{{50}}\) = \(\frac{{820}}{{50}}\) = 16,4 (lít).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13,7.

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm thứ hai [13; 14).

Áp dụng công thức mốt: M_o = 13 + \(\frac{{12 - 4}}{{\left( {12 - 4} \right) + \left( {12 - 8} \right)}}\)⋅ 1 = 13 + \(\frac{8}{{12}}\) ≈ 13,7 (giây).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 20

Ta có nhóm chứa mốt là nhóm thứ hai [30; 40).

Thay vào công thức mốt:

M_o = 30 + \(\frac{{x - 10}}{{\left( {x - 10} \right) + \left( {x - 5} \right)}}\)⋅ 10 = 34

⇒\(\frac{{x - 10}}{{2x - 15}}\)⋅ 10 = 4 ⇒\(\frac{{x - 10}}{{2x - 15}}\) = \(\frac{2}{5}\)

⇒ 5(x – 10) = 2(2x – 15) ⇒ 5x – 50 = 4x – 30 ⇒ x = 20.

Giá trị x = 20 thỏa mãn điều kiện là tần số lớn nhất của bảng (20 > 10 và 20 > 5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7,53

Điểm trung bình ghép nhóm chung của cả hai lớp (n_A = 40, n_B = 50) được tính theo công thức:

\({\overline x _{chung}} = \frac{{{n_A} \cdot {{\overline x }_A} + {n_B} + {{\overline x }_B}}}{{{n_A} + {n_B}}} = \frac{{40 \cdot 7,2 + 50 \cdot 7,8}}{{40 + 50}} = \frac{{678}}{{90}} \approx 7,53\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 24

Giá trị đại diện x_i của các nhóm lần lượt là: x₁ = 17,5; x₂ = 22,5; x₃ = 27,5; x₄ = 32, 5.

Vì tổng tỷ lệ phần trăm luôn bằng 100%, ta tính số trung bình trực tiếp dựa vào tần suất:

\(\overline x \) = (20% ⋅ 17,5) + (40% ⋅ 22,5) + (30% ⋅ 27,5) + (10% ⋅ 32,5) = 24 (°C).