Bài tập Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của mẫu là n = 40.

Gọi x₁, x₂, …, x₄₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁, x₂ Î [30; 40); x₃, …, x₁₂ Î [40; 50); x₁₃, …, x₂₈ Î [50; 60); x₂₉, …, x₃₆ Î [60; 70); x₃₇, x₃₈ Î [70; 80); x₃₉, x₄₀ Î [80; 90).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

 $Q_1=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$ (kg).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

 $Q_2=50+\frac{20-12}{16}\cdot 10=55$ (kg).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

 $Q_3=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62,5$ (kg).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: Q₁ = 48 (kg), Q₂ = 55 (kg), Q₃ = 62,5 (kg).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 5 + 7 + 10 + 6 = 28.

Gọi x₁, x₂, …, x₂₈  là thời gian xem tivi của 28 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}\).

Do hai giá trị x₁₄ và x₁₅ thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó

M_e = 30 + \(\frac{{14 - 12}}{{10}}\)⋅ 10 = 30 + 2 = 32 (giờ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu n = 40.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Do hai giá trị x₁₀, x₁₁ đều thuộc nhóm [5; 10) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó Q₁ = 5 + \(\frac{{\frac{{40}}{4} - 4}}{{12}}\)⋅ 5 = 5 + 2,5 = 7,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 40.

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do hai giá trị x₃₀, x₃₁ đều thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó Q₃ = 30 + \(\frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 20}}{{16}}\)⋅ 10 = 30 + 6,25 = 36,25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tổng cỡ mẫu theo ẩn x:  n = 4 + x + 8 + 4 = 16 + x.

Gọi x₁, x₂,…, x_n là tuổi thọ của các thiết bị gia dụng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Theo đề bài, nhóm chứa trung vị là nhóm thứ hai [4; 8). Do đó,

7 = 4 + \(\frac{{\frac{{(16 + x)}}{2} - 4}}{x}\)⋅ (8 – 4)

⇔ 7 = 4 + \(\frac{{(8 + 0,5x) - 4}}{x}\)⋅ (8 – 4)

⇔ 3 = \(\frac{{4 + 0,5x}}{x}\)⋅ 4

⇔ 3x = 16 + 2x ⇔ x = 16 (thiết bị).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Cỡ mẫu: n = 5 + 15 + 20 + 8 + 2 = 50.

b) Sai. Gọi x₁, x₂,…, x₅₀ là thời gian sử dụng điện thoại của 50 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do hai giá trị x₂₅, x₂₆ thuộc nhóm [2; 3) nên nhóm này là nhóm chứa trung vị.

c) Đúng. Áp dung công thức tính trung vị:

M_e = 2 + \(\frac{{\frac{{50}}{2} - 20}}{{20}}\)⋅ 1 = 2,25 (giờ).

d) Đúng. Vì nhóm chứa trung vị là nhóm [2; 3) có độ dài là 3 – 2 = 1 và có tần số là m₃ = 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Cỡ mẫu n = 40.  Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Do x₁₀, x₁₁ đều thuộc nhóm [6; 8) nên nhóm này chứa Q₁.

b) Đúng. Tính Q₁:

Q₁ = 6 + \(\frac{{10 - 6}}{{14}}\)⋅ 2 ≈ 6,57 kg.

c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do x₃₀, x₃₁ đều thuộc nhóm [8; 10) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, tần số m₃ = 12 và m₁ + m₂ = 6 + 14 = 20.

d) Sai. Áp dụng công thức tính Q₃:

Q₃ = 8 + \(\frac{{30 - 20}}{{12}}\)⋅ (10 – 8) = 8 + \(\frac{{20}}{{12}}\) ≈ 9,67 kg (≠ 9,50).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Cỡ mẫu n = 60. Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do x₁₅, x₁₆ đều thuộc nhóm [12; 14) nên nhóm này chứa Q₁.

Tương tự, tứ phân vị thứ hai Q₂ là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do x₃₀, x₃₁ đều thuộc nhóm [12; 14) nên nhóm này chứa Q₂.

Do đó, cả Q₁ và Q₂ cùng thuộc một khoảng nhóm [12; 14).

b) Đúng. Q₁ = 12 + \(\frac{{\frac{{60}}{4} - 10}}{{25}}\)⋅ 2 = 12,4.

c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\). Do x₄₅, x₄₆ đều thuộc nhóm [14; 16) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó

Q₃ = 14 + \(\frac{{\frac{{3 \cdot 60}}{4} - 35}}{{15}}\)⋅ (16 − 14) ≈ 15, 33.

d) Đúng. Phát biểu này đúng với ý nghĩa tứ phân vị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Theo ý nghĩa của trung vị.

b) Sai. Tứ phân vị thứ hai Q₂ chính là trung vị M_e, do đó hai giá trị này luôn bằng nhau tuyệt đối chứ không thể nhỏ hơn nhau.

c) Sai. Việc xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r dựa vào tính chất có khoảng \(\frac{{r \cdot n}}{4}\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị đó.

d) Đúng. Theo ý nghĩa của tứ phân vị.

Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Cỡ mẫu n = 10 + 10 + 10 + 10 = 40.

b) Đúng. Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Do x₁₀, x₁₁ đều thuộc nhóm [10; 20) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó,

Q₁ = 10 + \(\frac{{\frac{{40}}{4} - 8}}{{14}}\) ⋅ 10 = 10 + \(\frac{{10}}{7}\) ≈ 11,43.

c) Sai. Vì tứ phân vị thứ hai Q₂ là \(\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}\). Do x₂₀, x₂₁ đều thuộc nhóm [10; 20) nên nhóm này chứa Q₂ chứ không thuộc nhóm [20; 30).

d) Sai. Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do x₃₀, x₃₁ đều thuộc nhóm [20; 30) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó

⇒ Q₃ = 20 + \(\frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 22}}{{12}}\)⋅ 10 = 20 + \(\frac{8}{{12}}\)⋅ 10 ≈ 26,67.

Vì vậy giá trị tứ phân vị thứ ba phải xấp xỉ 26,67, không phải 25,0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12,4

Cỡ mẫu n = 28.

Gọi x₁, x₂,…, x₂₈ là thời gian giải quyết hồ sơ của 28 doanh nghiệp được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}\). Do 2 giá trị x₁₄, x₁₅ thuộc nhóm [10; 14) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó,

M_e = 10 + \(\frac{{\frac{{28}}{2} - 8}}{{10}}\)⋅ 4 = 10 + 2,4 = 12,4 (phút).

Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4,75

Cỡ mẫu n = 32

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_8} + {x_9}}}{2}\). Do x₈, x₉ đều thuộc nhóm [4; 6) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó,

Q₁ = 4 + \(\frac{{\frac{{32}}{4} - 5}}{8}\)⋅ 2 = 4 + 0,75 = 4,75 (cm).

Hướng dẫn giải:
Đáp án: 14,2

Cỡ mẫu n = 60

Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \[\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\]. Do x₄₅, x₄₆ đều thuộc nhóm [10; 15) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó,

Q₃ = 10 + \(\frac{{\frac{{3 \cdot 60}}{4} - 24}}{{25}}\)⋅ 5 = 10 + 4,2 = 14,2 (điểm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7,6

Cỡ mẫu n = 40.

Tìm Q₁: Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Do x₁₀, x₁₁ đều thuộc nhóm [4; 8) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó

Q₁ = 4 + \(\frac{{\frac{{40}}{4} - 6}}{8}\)⋅ 4 = 4 + 2 = 6.

Tìm Q₃: Tứ phân vị thứ ba Q₃ là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do x₃₀, x₃₁ đều thuộc nhóm [12; 16) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó,

Q₃ = 12 + \(\frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 26}}{{10}}\)⋅ 4 = 12 + 1,6 = 13,6.

Q₃ – Q₁ = 13,6 – 6 = 7,6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 150

Cỡ mẫu n = 40

Mốc thời gian tối đa để lọt vào top 25% này chính là giá trị tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\). Do x₁₀, x₁₁ đều thuộc nhóm [140; 160) nên nhóm này chứa Q₁. Do đó,

Q₁ = 140 + \(\frac{{10 - 5}}{{10}}\)⋅ 20 = 140 + 10 = 150 (phút).

Vậy một vận động viên cần hoàn thành cuộc đua với thời gian tối đa là 150 phút thì đạt điều kiện nhận huy chương.