Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 3. Hàm số lượng giác có đáp án

Lời giải:

a) Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là T = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\) (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là \(\frac{{60}}{6} = 10\) (chu kì).

b) Ta có: \(v = 0,85\sin \frac{{\pi t}}{3}\)

+) v > 0 khi \(0,85\sin \frac{{\pi t}}{3} > 0 \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi t}}{3} > 0\)

Mà – 1 ≤ sin \(\frac{{\pi t}}{3}\) ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, \(0 < \sin \frac{{\pi t}}{3} \le 1\).

+) v < 0 khi \(0,85\sin \frac{{\pi t}}{3} < 0 \Leftrightarrow \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0\)

Mà – 1 ≤ sin \(\frac{{\pi t}}{3}\) ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, \( - 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0\).

+) Với t ∈ (0; 3) ta có \(0 < \sin \frac{{\pi t}}{3} \le 1\).

+) Với t ∈ (3; 5] ta có \( - 1 \le \sin \frac{{\pi t}}{3} < 0\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) = cos x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

b) Ta có: cos 0 = 1, \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\cos \frac{\pi }{2} = 0,\,\cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cos π = – 1.

Vì y = cos x là hàm số chẵn nên \(\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), \(\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\),

\(\cos \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cos(– π) = cos π = – 1.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

 c) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;\,k2\pi } \right)\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\pi + k2\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}\) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này). 

Lời giải:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Khi đó vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = 5cos(4πt + π) (cm) với biên độ dao động là A = 5 > 0 và pha ban đầu của dao động là φ = π.

b) Pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây) là ωt + φ = 4π . 2 + π = 9π.

Dao động điều hòa có chu kì là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = \frac{1}{2} = 0,5\), có nghĩa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần là 0,5 giây. Do đó, trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được 2 : 0,5 = 4 dao động toàn phần.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là D = ℝ \ \(\left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = tan (– x) = – tan x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = tan x là hàm số lẻ.

b) Ta có: tan 0 = 0, \(\tan \frac{\pi }{4} = 1,\tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 ,\tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vì y = tan x là hàm số lẻ nên \(\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \tan \frac{\pi }{4} = - 1\), \(\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \tan \frac{\pi }{3} = - \sqrt 3 \),

\(\tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \tan \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

 c) Quan sát Hình 1.16, ta thấy đồ thị hàm số y = tan x có:

+) Tập giá trị là ℝ;

+) Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Lời giải: a) Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cot (– x) = – cot x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cot x là hàm số lẻ.

b) Ta có: \(\cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 ,\cot \frac{\pi }{4} = 1,\,\cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{\pi }{2} = 0\),

 \(\cot \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{3\pi }}{4} = - 1,\,\cot \frac{{5\pi }}{6} = - \sqrt 3 \).

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

 c) Quan sát Hình 1.17, ta thấy đồ thị hàm số y = cot x có:

+) Tập giá trị là ℝ;

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\,\pi + k\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}\) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Lời giải:

a) Biểu thức \(\frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}\) có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}\) là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

b) Biểu thức \(\sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}}} \) có nghĩa khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}} \ge 0\\2 - \cos x \ne 0\end{array} \right.\).

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ và 2 – cos x ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, 2 – cos x ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ và \(\frac{{1 + \cos x}}{{2 - \cos x}} \ge 0\) với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải:

a) Biểu thức sin 2x + tan 2x có nghĩa khi cos 2x ≠ 0 (do \(\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}\)), tức là \(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).

Suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) = sin 2x + tan 2x là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– 2x) + tan (– 2x) = – sin 2x – tan 2x = – (sin 2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin 2x + tan 2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = f(x) = cos x + sin² x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) + sin² (– x) = cos x + (– sin x)² = cos x + sin² x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x + sin² x là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x cos 2x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) . cos (– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x + cos x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) + cos (– x) = – sin x + cos x ≠ – f(x).

Vậy y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.

Lời giải:

a) Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 2\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 2 - 1 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 \le 2 - 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 3 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1\) là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, \(0 \le \sqrt {1 + \cos x} \le \sqrt 2 \) với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra \( - 2 \le \sqrt {1 + \cos x} - 2 \le \sqrt 2 - 2\) với mọi x ∈ ℝ.

Hay \( - 2 \le y \le \sqrt 2 - 2\)với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = \(\sqrt {1 + \cos x} - 2\) là \(\left[ { - 2;\,\,\sqrt 2 - 2} \right]\).

Lời giải:

a) Chu kì của sóng là \(T = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{{10}}}} = 20\) (giây).

b) Ta có: h(t) = \(90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}.t} \right)\), hàm số này có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 90 và – 90.

Vậy chiều cao của sóng là 180 cm.