Giải SBT Toán học 11 CTST Bài tập cuối chương VIII có đáp án
22 câu hỏi
Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thứ ba thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: A
Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d ^ (a) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (a).
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (a) thì d ^ (a).
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (a) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (a).
D. Nếu d ^ (a) và đường thẳng a // (a) thì d ^ a.
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (a) thì d ^ (a).
Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ^ (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB = CD.
B. AC = BD.
C. AB ^ CD.
D. CD ^ BD.
Đáp án đúng là: C
Ta có: AH⊥CD BH⊥CD Þ CD ^ (ABH) Û CD ^ AB.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc vớiđáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SC ^ EF.
B. SC ^ AE.
C. SC ^ AF
D. SC ^ BC.
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Dễ dàng chứng minh được: BD ^ (SAC)
Þ BD ^ SC hay EF ^ SC (EF // BD) Þ A đúng.
Dễ dàng chứng minh được: BC ^ (SAB)
Þ BC ^ AE mà AE ^ SB Þ AE ^ (SBC) hay AE ^ SC Þ B đúng.
Chứng minh tương tự: SC ^ AF Þ C đúng.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. α = 60°.
B. α = 75°.
C. tan α = 1.
D. tan α = 2
Đáp án đúng là: D
Ta có tanα=SAAC=2aa2=2
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB^
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB^
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB^
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD^
Đáp án đúng là: A
Theo giả thuyết Þ AB ^ (BCD) Þ Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB^
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a2. Biết SA ^ (ABC) và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
A. 30°
B. 45°.
C. 60°.
D. 90°.
Đáp án đúng là: B
Cho D là trung điểm của BC Þ AD ^ BC.
Chứng minh được BC ^ (SAD) Þ BC ^ SD.
Do đó, ((SBC), (ABC)) = a.
Nhận thấy: SA = AD = a Þa = 45°.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
A. Song song với nhau.
B. Trùng nhau.
C. Không song song với nhau.
D. Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.
Đáp án đúng là: D
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng
A. a2
B. a64
C. a37
D. a34
Đáp án đúng là: C
Gọi E là trung điểm của BC.
Ta có: A'E⊥BCAE⊥BC⇒(A'AE)⊥(A'BC)
Vẽ AH ^ A¢E Þ AH ^ (A¢BC)
Þ d(A, (A¢BC)) = AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác: AH = a37
⇒SH=HB=12AB=a.⇒VS.ABCD=13.SH.SABCD=13.a.2a.a=2a33.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC.
A. a3010.
B. a155.
C. a32
D. a.
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm AB.
Do (SAB)∩(ABCD)=AB(SAB)⊥(ABCD)SH⊥AB,SH⊂(SAB)⇒SH⊥(ABCD).
F đối xứng với H qua B Þ BECF là hình bình hành.
BE // CF Ì (SCF) Þd(BE, (SCF)) = d(B, (SCF)) = 12d(H, (SCF)).
HBCE là hình vuông cạnh a Þ CH=BE=CF=a2.
Dễ thấy CH2+CF2=4a2=HF2 Þ∆HCF vuông cân tại C.
Khi này CF⊥HCCF⊥SH⇒CF⊥(SHC)⇒(SCF)⊥(SHC).
Mà (SCF) Ç (SHC) = SC. Trong (SHC) kẻ HK ^ SC Þ HK ^ (SCF).
Suy ra d(H, (SCF)) = HK Þ d(BE, SC) = 12 HK.
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHC vuông tại H, đường cao HK
Þ HK=a305
Vậy dBE,SC=12HK=a3010
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45°. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là
A. 33a3.
B. 13a3.
C. 2a3.
D. 2a33.
Đáp án đúng là: D
Gọi H là trung điểm của AB Þ SH ^ (ABCD).
Ta có: BC⊥ABBC⊥SH⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB.
⇒SBC,ABCD=SB,AB=SBA^=45°.
Þ∆SHB là tam giác vuông cân tại H ⇒SH=HB=12AB=a.
⇒VS.ABCD=13.SH.SABCD=13.a.2a.a=2a33.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a3, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. 2a363
B. a363
C. 26a3
D. 4a33
Đáp án đúng là: A
Ta có: BC⊥ABBC⊥SH⇒BC⊥(SAB).
⇒SC,SAB=SC,SB=CSB^=30°.
Xét tam giác SBC vuông tại B có: tan30°=BCSB⇒SB=3a.
Xét tam giác SAB vuông tại A có: SA=SB2−AB2=2a2.
Mà SABCD=AB.BC=a23.
Vậy V=13.SABCD.SA=2a363
Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a, AA'=2a3. Thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ là
A. 4a33.
B. 2a33.
C. 2a333.
D. 4a333.
Đáp án đúng là: B
Ta có: VABC.A'B'C'=SABC . AA'=12.AB . AC . AA'
=12. a . 2a3.2a=23a3
Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. V1 là thể tích của tử diện Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. V = 6 V1.
B. V = 4 V1.
C. V = 3 V1.
D. V = 2 V1.
Đáp án đúng là: A
V=SABCD.AA'V1=13.SABD.AA'=13.12.SABCD.AA'⇒VV1=6
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ^ (OAH).
b) H là trực tâm của ∆ABC.
c) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2
a)Ta có: OA⊥OBOA⊥OC
⇒OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC.1
OH⊥BC OH⊥ABC.2
Từ (1) và (2) Þ BC ^ (OAH).
b)Từ a) Þ BC ^ AH. (*)
Ta dễ dàng chứng minh được OC ^ (OAB) Þ OC ^ AB. (3)
Lại có: OH ^ AB (do OH ^ (ABC)) Þ OH ^ AB. (4)
Từ (3) và (4) Þ AB ^ (OHC) hay AB ^ HC. (**)
Từ (*) và (**) Þ H là trực tâm của tam giác ABC.
c)Dễ thấy OD, OH là các đường cao của tam giác OBC và OAD.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
1OD2=1OB2+1OC21OH2=1OA2+1OD2
Do đó 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).
b) Gọi O và H là trực tâm ∆BCD và ∆ACD. Chứng minh OH vuông góc với (ADC).
a)Từ giả thiết suy ra AB ^ (BDC) Þ AB ^ DC.
Lại có: BE ^ DC.
Þ DC ^ (ABE) hay (ADC) ^ (ABE). (1)
Ta có: DF⊥BCDF⊥AB⇒DF⊥ABC⇒DF⊥AC.
Mà DK ^ AC.
Do đó AC ^ (DFK) hay (ADC) ^ (DFK). (2)
b)Dễ thấy O, H lần lượt là các giao điểm của DF và BE, AE và DK.
Þ (ABE) Ç (DFK) = OH. (3)
Từ (1), (2) và (3) Þ OH ^ (ADC).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tỉnh khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.
Ta có BC // (SAI)
Suy ra d(BC, SA) = d(BC, (SAI))
= d(B, (SAI)) = 32dH,SAI
Gọi K là hình chiếu của H trên SI.
Dễ dàng chứng minh được AI ^ (SHI) Þ AI ^ HK.
Þ HK ^ (SAI) Þ d(H, (SAI)) = HK.
HAI^=180°−(60°+60°)=60°
Tam giác AIH vuông tại I:
IH=AH.sin60°=a33.SC,ABC=SC,CH=SCH^=60°.CH2=BC2+BH2−2.BC.BH.cos60°=7a29⇒CH=a73.
Tam giác SHC vuông tại H: SH=HC.tan60°=a213.
Tam giác SHI vuông tại H:
1HK2=1SH2+1HI2⇒HK=a4212.
dB,SAI=32.HK=a428.
⇒dSA,BC=a428.
Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA ^ (ABC), tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB = 5a, BC = 8a, AC = 7a, góc giữa SB và (ABC) là 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Ta có: SB,ABC=SBA^=45°⇒ SA=AB=5a.
Áp dụng định lí Heron SABC=103 a2.
Þ VS.ABC=13.SABC.SA=13.103a2.5a=503 a33.
Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AB = a, BC = a3, góc giữa hai mặt phẳng ( C'AB ) và (ABC) bằng 60°.
Tính VABC.A'B'C'
Ta có:
+) AB⊥BCAB⊥CC'⇒AB⊥BCC'⇒AB⊥BC'.
+) ABC'∩ABC=ABAB⊥BCAB⊥BC'
⇒ABC',ABC=BC,BC'=CBC'^=60°.
⇒CC'=BC.tan60°=a3.3=3a
⇒VABC.A'B'C'=SABC.CC'=12.AB.BC.CC'=12.a.a3.3a=33 a32.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, BAC^=120°, mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
Cho D là trung điểm của B¢C¢.
Đáy A¢B¢C¢ cân tại A¢ nên A¢D ^ B¢C¢.
Mà AA¢^ B¢C¢ nên B¢C¢^ (ADA¢).
Þ B¢C¢^ AD.
A'B'C'∩AB'C'=B'C'B'C'⊥A'DB'C'⊥AD
⇒A'B'C',AB'C'=A'D,AD=ADA'^=60°.
AA'=A'D.tan60°=a32.
VABC.A'B'C'=SABC.CC'=12.AB.AC.sinBAC^.CC'=3a38.
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B'AC) tạo với đáy một góc 30°, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D'AC) bằng a2. Tính thể tích khối tứ diện ACB'D'.
Gọi O = AC Ç BD. Ta có:
AC⊥BDAC⊥BB'⇒AC⊥BB'D⇒AC⊥B'O.
Khi đó: BO⊥AC,B'O⊥AC, ABCD∩B'AC=AC,
⇒B'AC,ABCD=(BO,OB')=B'OB^=30°.
Dễ thấy dB,D'AC=dD,D'AC=a2
AC⊥(BB'D'D)⇒(D'AC)⊥(BB'D'D)
(D'AC)∩(BB'D'D)=D'O.
Từ D kẻ DH ^ D¢O (H Î DO), suy ra dD,D'AC=DH=a2.
Xét ∆B¢BO: tan30°=BB'BO⇒OD=BO=3BB'.
Xét ∆D¢DO: 1HD2=1OD2+1D'D2⇒4a2=13.B'B2+1D'D2 ⇒DD'=a3⇒OB=a.
Gọi I = BD Ç B¢O, suy ra BID'I=12.
⇒dD',B'AC=2dB,B'AC⇒VACB'D'=2VB'ABC.
Mà OA=AB2−OB2=4a2−a2=a3.
⇒SABC=2SABO=2.12.OB.OA=a23.
Suy ra VB'.ABC=13.BB'.SABC=13.a3.a23=a33.
Vậy VACB'D'=2a33.
Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là 60 cm và 120 cm, cạnh bên của thùng dài 100 cm. Tính thể tích của thùng.
Kẻ C¢H ^ AC (H Î AC).
Ta có O'C'=1202+12022=602.OC=602+6022=302.⇒CH=O'C'−OC=302.
Áp dụng công thức: V=h3.S+S.S'+S',
Với h=C'H=CC'2−CH2=1002−3022=1082S=1202, S'=602.
Ta có: V=108231202+120.60+602=84 00082 cm3.
Vậy thể tích của thùng 84 00082 cm3
