Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 8 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'D'\) là?
\[90^\circ \].
\[0^\circ \].
\[60^\circ \].
\[45^\circ \].
Ta có \(AB\) song song\(C'D'\)nên góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(C'D'\) là \[0^\circ \]
Cho hình lập phương \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng \(AB\) và \[{\rm{DD'}}\]song song nhau.
Hai đường thẳng \(AB\) và \[{\rm{DD'}}\]vuông góc nhau.
Hai đường thẳng \(AB\) và \[{\rm{DD'}}\]cắt nhau.
Hai đường thẳng \(AB\) và \[{\rm{DD'}}\]trùng nhau.
Ta có \(AB\) vuông góc \(AA'\)mà \(AA'\)vuông góc với \[{\rm{DD'}}\]nên suy ra hai đường thẳng \(AB\) và \[{\rm{DD'}}\]vuông góc nhau.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều\(ABC.A'B'C'\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đường thẳng \(AB\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( {A'B'C'} \right)\].
Đường thẳng \(AC\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( {A'B'C'} \right)\].
Đường thẳng \(AA'\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( {A'B'C'} \right)\].
Đường thẳng \[AB'\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {A'B'C'} \right)\].
Đường thẳng \(AA'\) vuông góc với 2 đường thẳng\[A'B'\] và \[A'C'\] thuộc mặt phẳng \[\left( {A'B'C'} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\)vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng \((SCB)\)và \((ABCD)\) bằng
\[\widehat {ASB}\].
\[\widehat {SDA}\].
\[\widehat {SBA}\].
\[\widehat {SCA}\].
Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CB \bot AB}\\{CB \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow CB \bot (SAB) \Rightarrow CB \bot SB\).
Lại có \(AB \bot BC\)nên góc của \((SCB)\)và \((ABCD)\) bằng \(\widehat {SBA}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\). Biết hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trực tâm đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(BC \bot \left( {SBH} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAH} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).
Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
Do \[AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\] nên góc giữa mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ACC'A'} \right)\) bằng \(90^\circ \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)cạnh bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\)bằng
\(\frac{a}{2}\).
\[a\].
\[2a\].
\[a\sqrt 3 \].
Ta có \(\left( {ABCD} \right){\rm{ // }}\left( {A'B'C'D'} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right)\)\[ = AA' = a\].
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng \(2a\) là
\(2{a^3}\).
\[8{a^3}\].
\[6{a^3}\].
\[4{a^3}\].
Thể tích khối lập phương là \(V = {(2a)^3} = 8{a^3}\).
Cho hai đường thẳng phân biệt \[a\], \[b\] và \[a\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Chọn khẳng định SAI?
Nếu \[b\,\,{\rm{// }}\left( P \right)\] thì \[b \bot a\].
Nếu \[b\,\, \bot {\rm{ }}a\] thì \[b\,\,{\rm{// }}\left( P \right)\].
Nếu \[b\,\, \bot {\rm{ }}\left( P \right)\] thì \[b{\rm{ // }}a\].
Nếu \[b{\rm{ // }}a\] thì \[b{\rm{ }} \bot {\rm{ }}\left( P \right)\].
Đáp án B sai vì \[b\] có thể nằm trong \[\left( P \right)\].
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\), mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
\(\left( {SAB} \right).\)
\(\left( {SBC} \right).\)
\(\left( {SBD} \right).\)
\(\left( {SCD} \right).\)
Do \(BD\) vuông góc với \(SO\) và \(AC\) nên \(BD\) vuông góc với\(\left( {SAC} \right)\)
Do vậy \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với \(\left( {SBD} \right)\).
Một thợ xây cần xây một bể nước hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, chứa được \(1{m^3}\) nước. Biết rằng chi phí để làm nắp đậy, tường xung quanh và đáy dưới là 1 triệu đồng trên \(1{m^2}\). Hỏi người thợ xây cần ít nhất bao nhiêu tiền để hoàn thành công việc?
\(6455618\) đồng.
\(5455618\) đồng.
\(6546742\) đồng.
\(5546714\) đồng.
Gọi \(x\) là độ dài cạnh đáy và \(h\) là độ dài cạnh bên của khối lăng trụ. Để chi phí xây dựng là ít nhất thì diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ nhất.
Ta có \(V = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}.h = 1\) \( \Leftrightarrow h = \frac{4}{{\sqrt 3 {x^2}}}\).
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là \({S_{tp}} = 3xh + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\)\( = \frac{{4\sqrt 3 }}{x} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\)
\({S_{tp}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{x} + \frac{{2\sqrt 3 }}{x} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2} \ge 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 }}\).
Vậy \(\min {S_{tp}} = 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 }}\) khi \(\frac{{2\sqrt 3 }}{x} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\).
Chi phí xây bể là \(T = 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 }}.1000000 \approx 6546742\)
Do đó số tiền ít nhất người thợ cần bỏ ra là \(T \approx 6546742\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'CD'\)có tất cả các cạnh đều bằng \[1\] và các góc phẳng đỉnh \(A\) đều bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(A'C'\)
\(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).
\(\frac{2}{{11}}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{11}}\).
\(\frac{3}{{11}}\).
![Cho hình hộp \(ABCD.A'B'CD'\)có tất cả các cạnh đều bằng \[1\] và các góc phẳng đỉnh \(A\) đều bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid8-1771907562.png)
Ta có \(\widehat {BAA'\,} = \widehat {DAA'}\)\( = \widehat {BAD} = 60^\circ \) và \(AB = AD\)\( = AA' = 1\).
Khi đó \(\Delta ABD\), \(\Delta ADA'\) và \(\Delta ABA'\) đều cạnh bằng \[1\].
\( \Rightarrow A'D = A'A\)\( = A'B = 1\). Suy ra hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là tâm H của \(\Delta ABD\) đều.
Ta có \(AB'\;{\rm{//}}\;DC'\)\( \Rightarrow d\left( {AB';A'C'} \right) = d\left( {AB';\left( {DA'C'} \right)} \right)\)\( = d\left( {H;\left( {DA'C'} \right)} \right)\).
Dựng hình bình hành \(DCAJ\). Từ \(H\) kẻ \(HK \bot DJ\)\(\left( {K \in DJ} \right)\), ta có \(HK\;{\rm{//}}\;DB\).
Từ \(H\) kẻ \(HL \bot A'K\)\(\left( {L \in A'K} \right)\)\( \Rightarrow HL \bot \left( {DA'C'} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {DA'C'} \right)} \right) = HL\).
Ta có: \(HK = \frac{1}{2}\), \(A'H = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Xét tam giác \(A'HK\): \(\frac{1}{{H{L^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{A'{H^2}}}\)\( \Rightarrow HL = \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có tâm \(O\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD,H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SO\). Khi đó:
\(BD \bot (SAC)\)
\(BD \bot SC\).
\(CD \bot (SAD)\).
\(AH \bot SB\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SA(SA \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SAC)} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot (SAC)}\\{SC \subset (SAC)}\end{array} \Rightarrow BD \bot SC} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AD}\\{CD \bot SA}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SAD)} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot SO}\\{AH \bot BD(BD \bot (SAC))}\end{array} \Rightarrow AH \bot (SBD) \Rightarrow AH \bot SB} \right.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot (ABCD),SA = a\sqrt 3 ,ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\). Khi đó:
\[d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\]
\(AD//(SBC)\)
\(d(D,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(SA\). Khi đó: \(d(M,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH} \right.\)
Ta lại có: \(AH \bot SB \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AH\)
Ta có: \(AH = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{(\sqrt 3 a)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Vậy \(d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).
Ta có: \(AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).
Ta có: \(MA\) cắt \((SBC)\) tại \(S\)
\( \Rightarrow \frac{{d(M,(SBC))}}{{d(A,(SBC))}} = \frac{{MS}}{{AS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d(M,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a{\rm{. }}\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy. \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\). Cho độ dài các cạnh \(SA = AB = a\). Khi đó:
\(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mp\((ABC)\)
(SB,(ABC))=45°
\(SB = a\sqrt 2 \)
(SC,(SAB))≈35,30
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(SA \bot (ABC)\) tại \(A\) và \(SB\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) tại \(B\)
\( \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mp \((ABC)\)
\( \Rightarrow (SB,(ABC)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}\)
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại A:tanSBA^=SAAB=aa=1⇒SBA^=45°
Vậy(SB,(ABC))=45°
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CB \bot AB}\\{CB \bot SA}\end{array} \Rightarrow CB \bot (SAB)} \right.\) tại \(B\) và \(SC\) cắt mặt phẳng \((SAB)\) tại \(S\)
\( \Rightarrow SB\) là hình chiếu của \(SC\) trên mp \((SAB)\)
\( \Rightarrow (SC,(SAB)) = (SC,SB) = \widehat {BSC}\)
Ta có: \(SB = a\sqrt 2 \) (vì tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\))
Xét \(\Delta SBC\) vuông tại \(B:\tan \widehat {BSC} = \frac{{CB}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {BSC} \approx 35,{3^0}\)
Vậy \((SC,(SAB)) \approx 35,{3^0}\).
Cho hình chóp \(SABC{\rm{D}}\) có \(SA = x\) và tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng \(a\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).
Tam giác \(SAC\) là tam giác vuông.
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SB{\rm{D}}} \right)\).
Chiều cao của hình chóp\(S.ABC{\rm{D}}\) là \(h = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Tứ giác \(ABCD\) có \(4\) cạnh bằng nhau \( \Rightarrow ABCD\) là hình thoi.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)
Vì \(SB = SC = SD\) \( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BC{\rm{D}}\)
Vì \(\Delta BC{\rm{D}}\) cân nên \(H\) thuộc trung tuyến kẻ từ \(C\).
\( \Rightarrow H \in AC\).
Nên đáp án \(A,\,C\)đúng.
Mà ta có: \( \Rightarrow H \in AC\).
Mà ta có: \(\Delta ABD = \Delta CBD = \Delta SBD\,\,(c - c - c) \Rightarrow AD = CO = SO \Rightarrow SO = \frac{1}{2}AC\)
\( \Rightarrow \Delta SAC\)vuông tại \(S\). Do đó đáp án b đúng.
Trong tam giác \(SAC\), kẻ \(SH \bot AC\).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SH\)\( \Rightarrow SH \bot (ABCD)\)
Suy ra: \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow SH = h = \frac{{{\rm{ax}}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Do đó đáp án d sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,SA \bot (ABC)\), \(AB = BC = a,SA = a\sqrt 3 \). Tính góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) ?
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SA \bot BC({\rm{ do }}SA \bot (ABC))}\\{AB \bot BC(gt)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\)
Xét 2 mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABC) = BC}\\{SB \bot BC,SB \subset (SBC)}\\{AB \bot BC,AB \subset (ABC)}\\{SB \cap AB = \{ B\} }\end{array} \Rightarrow ((SBA),(ABC)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}} \right.\).
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có tanSBA^=SAAB=3⇒SBA^=60°
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,AC = 2a\) và \({A^\prime }B = 3a\). Tính góc phẳng nhị diện \(\left[ {{B^\prime },AC,B} \right]\) ?
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{B^\prime }AC} \right) \cap (ABC) = AC}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} (ABC),BI \bot AC \Rightarrow [A,SC,B] = \widehat {{B^\prime }IB}}\\{{\rm{ Trong }}\left( {{B^\prime }AC} \right),{B^\prime }I \bot AC}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(BI = \frac{{AC}}{2} = a\)
\({B^\prime }B = \sqrt {{{(3a)}^2} - {{(a\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt 7 a\)
Xét \(\Delta B{B^\prime }I\) vuông tại B:tanB'IB^=B'BBI=7aa=7⇒B'IB^≈69,3°
Một cái lều có dạng hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \(AA'\) vuông góc với đáy.
Cho biết \(AB = AC = 2,4m\,;\,BC = 2m\,;\,AA' = 3m\).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C'\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB{\rm{//}}A'B'\\A'B' \subset \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {A'B'C'} \right)\)
nên \(d\left( {AB,B'C'} \right) = d\left( {AB,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA' = 3m\).
Một mô hình Kim tự tháp bằng kim loại là một hình chóp đều có chiều cao bằng 10 cm, đáy là hình vuông cạnh 10 cm. Tính thể tích khối chóp mô hình kim tự tháp.
Gọi \(S.ABCD\) là khối chóp mô hình kim tự tháp, gọi \(O\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên \(mp\left( {ABCD} \right)\).
Theo giải thiết: \(SO = 10cm,\,\,{S_{ABCD}} = 100\,\, \Rightarrow \,{V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}10.\,100\, = \,\frac{{1000}}{3}\,c{m^3}\).
Một ram cho người khuyết tật hình lăng trụ tam giác, được xây bằng bê tông với bề rộng 1 mét, dài 3m và độ cao 0,3 m (hình vẽ). Hãy tính thể tích khối lăng trụ đó.
Theo giả thiết, ram cho người khuyết tật là một lăng trụ đứng có chiều cao bằng 1m, đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3m và 0,3m.
Từ đó ta có thể tích của ram cho người khuyết tật bằng \(V = S.\,h\, = \,\frac{1}{2}3\,.\,0,3\,.\,1 = 0,45\,{m^3}\)\(\)
Cho mô hình tạo khung cho rạp xiếc lưu động hình chóp cụt \(ABCD.A'B'C'D'\) có hai đáy là hình vuông cạnh đáy lớp gấp đôi đáy nhỏ. Biết thể tích khốp chóp cụt trên là 420000m3 và chiều cao bằng 6m. Tính cạnh của đáy lớn.
Gọi \(x\left( m \right)\) là độ dài cạnh hình vuông nhỏ, suy ra \(2x\left( m \right)\) là cạnh hình vuông đáy lớn.
Khi đó ta có: \(V = \left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)h = \,\left( {{x^2} + 4{x^2} + 2{x^2}} \right).6\, \Rightarrow \,42{x^4} = 420000 \Rightarrow x = 10\)
Vậy chiều dài đáy lớn bằng 20m.
