Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 10: Tứ giác có đáp án
8 câu hỏi
Chứng minh rằng cả bốn góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
Vì tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°, nên:
•Nếu cả bốn góc của tứ giác đều bé hơn 90° thì tổng của chúng bé hơn 360°, điều này vô lí.
•Nếu cả bốn góc của tứ giác đều lớn hơn 90° thì tổng của chúng lớn hơn 360°, điều này vô lí.
Chứng minh rằng trong một tứ giác, độ dài mỗi cạnh bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại.
Xét tứ giác ABCD như hình vẽ. Ta cần chứng minh AB < AD + BC + CD và các trường hợp còn lại tương tự.
Xét tam giác ABD, ta có: AB < AD + DB (bất đẳng thức trong tam giác).
Xét tam giác BCD, ta có: DB < BC + CD (bất đẳng thức trong tam giác).
Do đó AB < AD + DB < AD + BC + CD.
Vậy AB < AD + BC + CD.
Tương tự ta cũng có:
BC < AB + CD + DA; CD < AD + AB + BC; DA < AB + BC + CD.
Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:
a) Bé hơn chu vi của tứ giác;
Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là PABCD = AB + BC + CD + DA.
a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)
Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)
Do đó AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < PABCD (1)
Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB
Trong ∆BCD có: BD < CD + BC
Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < PABCD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2PABCD, do đó AC + BD<PABCD.
b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tuỳ ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)
Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)
Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.
Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)
Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)
Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.
Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = PABCD
Tức là AC+BD >12PABCD.
Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.
– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP +MQ≥PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.
Thật vậy,
•nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)
•nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)
•nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).
– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).
Ta có:
MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.
MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.
Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.
Cho tứ giác ABCD với AB = BC, CD = DA, B^=100°, D^=120°. Tính A^ và C^.
Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra A^2=C^2
Xét ∆BAC có: A^2+C^2+B^=180° (định lí tổng ba góc của một tam giác)
Do đó A^=C^2=180°−B^2=180°−100°2=40°.
Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra A^1=C^1
Xét ∆ADC có: A^1+C^1+D^=180°
Do đó A^1=C^=180°−D^2=180°−120°2=30°.
Ta có: A^=A^1+A^2=40°+30°=70°;
C^=C^1+C^2=40°+30°=70°.
Vậy tứ giác ABCD có A^=C^=70°.
a) Góc kề bù với góc tại một đỉnh của tứ giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác. (Có hai góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác, chúng đối đỉnh nên thường gọi tắt là góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác). Hãy tính tổng bốn góc ngoài tại bốn đỉnh của một tứ giác.
a)
Do góc ngoài và góc tại đỉnh đó là 2 góc kề bù nên tổng bằng 180°.
Xét tứ giác ABCD (hình vẽ) có:
A^1+B^1+C^1+D^1=360°;
Góc ngoài tại đỉnh A là A^2=180°−A^1;
Góc ngoài tại đỉnh B là B^2=180°−B^1;
Góc ngoài tại đỉnh C là C^2=180°−C^1;
Góc ngoài tại đỉnh D là D^2=180°−D^1.
Tổng 4 góc ngoài của tứ giác ABCD là:
A^2+B^2+C^2+D^2
=180°−A^1+180°−B^1+180°−C^1+180°−D^1
=4⋅180°−A^1+B^1+C^1+D^1
=2⋅360°−360°=360°.
b) Định nghĩa góc ngoài tại một đỉnh của tam giác một cách tương tự. Hỏi tổng các góc ngoài của một tam giác bằng bao nhiêu?
b)
Tương tự, với tam giác ABC, ta có tổng các góc ngoài là:
A^2+B^2+C^2
=180°−A^1+180°−B^1+180°−C^1
=3⋅180°−A^1+B^1+C^1
=3⋅180°−180°=360°.
