Bài tập Nhận biết, chứng minh các yếu tố liên quan đến góc, cạnh, đường chéo trong tứ giác lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định sai.
Hai đỉnh kề nhau: A và B, A và D;
Hai đỉnh đối nhau: A và C, B và D;
Đường chéo: AC, BD;
Các điểm nằm trong tứ giác là E, F và điểm nằm ngoài tứ giác là H.
Đáp án đúng là: D
Từ hình vẽ ta thấy các điểm E, H nằm bên ngoài tứ giác và điểm F nằm bên trong tứ giác ABCD nên D sai.
Cho hình vẽ sau. Chọn câu sai.
Hai cạnh kề nhau: AB, BC;
Hai cạnh đối nhau: BC, AD;
Hai góc đối nhau: \[\widehat {ABC}\] và \[\widehat {BCD}\];
Các điểm nằm ngoài: H, E.
Đáp án đúng là: C
Tứ giác ABCD có các cặp góc đối nhau là \[\widehat {DAB}\,,\,\,\widehat {BCD}\] và \[\widehat {CDA}\,,\,\,\widehat {ABC}\] còn \[\widehat {ABC}\] và \[\widehat {BCD}\] là hai góc kề nhau nên C sai
Cho hình vẽ sau. Chọn câu đúng.
Hai đỉnh kề nhau: A, C;
Hai cạnh kề nhau: AB, DC;
Điểm M nằm ngoài tứ giác ABCD và điểm N nằm trong tứ giác ABCD;
Điểm M nằm trong tứ giác ABCD và điểm N nằm ngoài tứ giác ABCD.
Đáp án đúng là: C
Từ hình vẽ ta thấy: Điểm M nằm ngoài tứ giác ABCD và điểm N nằm trong tứ giác ABCD.
Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA, \[\widehat B = 90^\circ \,;\,\,\widehat D = 120^\circ \]. Hãy chọn câu đúng nhất.
\[\widehat A = 85^\circ \];
\[\widehat C = 75^\circ \];
\[\widehat A = 75^\circ \];
Chỉ B và C đúng.
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác ABC có: \(\widehat {\rm{B}} = 90^\circ ;{\rm{AB}} = {\rm{BC}}\)
Suy ra ΔABC vuông cân
Vậy \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Xét tam giác ADC có CD = DA.
Suy ra ΔADC cân tại D có \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 120^\circ \) nên:
\(\widehat {{\rm{DAC}}} = \widehat {{\rm{DCA}}} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).
Từ đó ta có:\(\widehat {\rm{A}} = \widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{CAD}}} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ \).
Và \(\widehat {\rm{C}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} + \widehat {{\rm{ACD}}} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ \).
Do đó \(\widehat A = \widehat C = 75^\circ \)
Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA;
\[\frac{{AB + BC + CD + DA}}{2} < OA + OB + OC + OD\];
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Đáp án đúng là: C
+) Xét tam giác OAB ta có OA + OB > AB (theo bất đẳng thức tam giác).
Tương tự ta có OC + OD > CD; OB + OC > BC; OA + OD > AD.
Cộng vế với vế ta được
OA + OB + OC + OD + OB + OC + OA + OD > AB + BC + CD + AD.
2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA.
\[\frac{{AB + BC + CD + DA}}{2} < OA + OB + OC + OD\]nên B đúng.
+) Xét tam giác ABC có AB + BC > AC (theo bất đẳng thức tam giác).
Tương tự ta có BC + CD > BD; CD + DA > AC; AD + DB > BD.
Cộng vế với vế ta được
AB + BC + BC + CD + CD + DA + DA + AB > AC + BD + AC + BD.
2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD).
AB + BC + CD + DA > AC + BD
Mà AC + BD = OA + OC + OB + OD
Nên OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA, do đó A đúng.
Vậy cả A, B đều đúng.
Tứ giác ABCD có \[\widehat C + \widehat D = 90^\circ \]. Chọn câu đúng.
AC2 + BD2 = AB2 – CD2;
AC2 + BD2 = AB2 + CD2;
AC2 + BD2 = 2AB2;
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: B
Gọi K là giao điểm AD, BC.
Vì \[\widehat C + \widehat D = 90^\circ \] nên \[\widehat K = 90^\circ \]
• Xét ΔKAC vuông tại K ta có: AC2 = KC2 + KA2.
• Xét ΔKBD vuông tại K ta có: BD2 = KB2 + KD2.
• Xét ΔKBA vuông tại K ta có: BA2 = KA2 + KB2.
• Xét ΔKBD vuông tại K ta có: CD2 = KC2 + KD2.
Từ đó BD2 + AC2 = KC2 + KA2 + KB2 + KD2
= (KB2 +KA2) + (KD2 + KC2) = AB2 + DC2.
Tứ giác ABCD có \[\widehat A + \widehat C = 60^\circ \]. Các tia phân giác của các góc B và D cắt nhau tại I. Số đo góc BID là
150°;
120°;
140°;
100°.
Đáp án đúng là: A
• Xét tam giác BIC có: \(\widehat {{\rm{IBC}}} = {\widehat {\rm{I}}_1} - \widehat {{\rm{BCI}}}{\rm{. }}\)
• Xét tam giác DIC có: \(\widehat {{\rm{IDC}}} = {\widehat {\rm{I}}_2} - \widehat {{\rm{ICD}}}\)
Nên \[\widehat {{\rm{IBC}}} + \widehat {{\rm{IDC}}} = \left( {{{\widehat {\rm{I}}}_1} + {{\widehat {\rm{I}}}_2}} \right) - \left( {{{\widehat {\rm{C}}}_1} + {{\widehat {\rm{C}}}_2}} \right) = \widehat {{\rm{BID}}} - \widehat {\rm{C}}\]
• Tứ giác ABID có: \(\widehat {{\rm{ABI}}} + \widehat {{\rm{ADI}}} = 360^\circ - \widehat {\rm{A}} - \widehat {{\rm{BID}}}\)
Do \(\widehat {{\rm{ABI}}} = \widehat {{\rm{IBC}}}\); \(\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{IDC}}}\) (tính chất tia phân giác)
Nên \(\widehat {{\rm{IBC}}} + \widehat {{\rm{IDC}}} = \widehat {{\rm{ABI}}} + \widehat {{\rm{ADI}}}\).
Hay \(\widehat {{\rm{BID}}} - \widehat {\rm{C}} = 360^\circ - \widehat {\rm{A}} - \widehat {{\rm{BID}}}\)
\(2\widehat {{\rm{BID}}} = 360^\circ - \left( {\widehat {\rm{A}} - \widehat {\rm{C}}} \right) = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \).
Suy ra \(\widehat {{\rm{BID}}} = 150^\circ \).
Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA, \[\widehat B = 100^\circ ;\,\,\widehat D = 70^\circ \]. Tính \[\widehat A;\widehat C\]
\[\widehat A = \widehat C = 95^\circ \];
\[\widehat A = 95^\circ ;\,\,\widehat C = 55^\circ \];
\[\widehat A = \widehat C = 85^\circ \];
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: A
• Xét tam giác ABC có AB = BC suy ra ΔABC cân tại B.
Ta có \(\widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{ACB}}} = 180^\circ \) (tổng số đo ba góc trong một tam giác).
Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} = \frac{{180^\circ - 100^\circ }}{2} = 40^\circ \).
• Xét tam giác ADC có CD = DA suy ra ΔADC cân tại D.
Ta có \(\widehat {{\rm{DAC}}} + \widehat {{\rm{ADC}}} + \widehat {{\rm{ACD}}} = 180^\circ \) (tổng số đo ba góc trong một tam giác).
Suy ra \[\widehat {{\rm{DAC}}} = \widehat {{\rm{DCA}}} = \frac{{180^\circ - 70^\circ }}{2} = 55^\circ \].
Từ đó ta có: \(\widehat {\rm{A}} = \widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{CAD}}} = 40^\circ + 55^\circ = 95^\circ \)
Và \(\widehat {\rm{C}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BCA}}} + \widehat {{\rm{ACD}}} = 40^\circ + 55^\circ = 95^\circ \).
Nên \(\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = 95^\circ \).
Cho tứ giác ABCD có \[\widehat A = 2\widehat B = 120^\circ \]; \[\widehat C = 2\widehat D\]. Số đo góc \[\widehat D\] là
45°;
90°;
120°;
60°.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(2\widehat B = 120^\circ \)suy ra \(\widehat B = 60^\circ \).
Tồng bốn góc của một tứ giác bằng 360° nên
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \).
\(120^\circ + 60^\circ + 2\widehat D + \widehat D = 360^\circ \)
Suy ra \[3\widehat D = 180^\circ \] nên \(\widehat D = 60^\circ \).
Cho tứ giác ABCD có \[\widehat A = \widehat C = \widehat D = 80^\circ \]. Góc B là
Góc nhọn;
Góc vuông;
Góc tù;
Góc bẹt.
Đáp án đúng là: C
Tổng bốn góc của 1 tứ giác bằng 360° nên: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \]
Suy ra \[\widehat B = 360^\circ - \widehat A - \widehat C - \widehat D = 360^\circ - 80^\circ - 80^\circ - 80^\circ \].
Suy ra \[\widehat B = 120^\circ \].
Do đó, góc B là góc tù.
Hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là một tứ giác khi thỏa mãn điều kiện bắt buộc nào dưới đây?
Có hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng.
Không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng.
Bốn đoạn thẳng phải có độ dài bằng nhau.
Hai đoạn thẳng bất kì không được cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng.
Phát biểu nào sau đây mô tả chính xác nhất về tứ giác lồi?
Là tứ giác có hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về hai phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
Là tứ giác có bốn góc đều là góc nhọn.
Là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
Là tứ giác mà hai đường chéo không thể cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
Tứ giác ABCD không thể được gọi tên theo cách nào sau đây?
BCDA.
ADCB.
DABC.
ACBD.
Đáp án đúng là: D
Các đỉnh phải được đọc theo thứ tự liên tiếp vòng quanh tứ giác. Tên gọi ACBD bị nhảy đỉnh (từ A nối thẳng sang C là đường chéo chứ không phải cạnh) nên đây là cách gọi sai.
Trong một tứ giác lồi, đặc điểm nào sau đây là đúng đối với hai đường chéo?
Chúng luôn vuông góc với nhau.
Chúng cắt nhau tại một điểm nằm ngoài tứ giác.
Chúng luôn có độ dài bằng nhau.
Chúng cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường.
Đáp án đúng là: D
Trong tứ giác lồi, hai đường chéo luôn cắt nhau tại một điểm nằm trong tứ giác.
Cặp góc nào dưới đây là cặp góc đối trong tứ giác ABCD?
Góc A và góc
Góc B và góc
Góc A và góc C.
Góc C và góc D.
Đáp án đúng là: C
Cặp góc đối là hai góc tương ứng với hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh. Góc A và góc C là cặp góc đối. Các phương án khác là các cặp góc kề nhau cùng thuộc một cạnh.
Cho hai đoạn thẳng phân biệt AB và CD cắt nhau tại một điểm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Nối hai điểm bất kì chưa được kẻ được thêm 4 đoạn thẳng.
Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là các cạnh của tứ giác ABCD.
Tứ giác hình thành là tứ giác lồi.
Tứ giác hình thành có hai góc đối là A và B.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Nối hai điểm bất kì chưa được kẻ được thêm 4 đoạn thẳng là: AC, CB, BD, DA.
b) Sai. Các đoạn thẳng vừa vẽ tạo thành tứ giác ACBD.
c) Đúng. Tứ giác ACBD là tứ giác lồi.
d) Đúng. Tứ giác ACBD có hai góc đối là A và B.
Trên một tờ giấy, bạn An chấm 4 điểm E, F, G, H sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. An vẽ một tứ giác có các đỉnh là 4 điểm này và nhận thấy đỉnh E và đỉnh H luôn nằm về một phía của đường thẳng FG. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tứ giác An vừa vẽ là tứ giác lồi.
Tứ giác An vẽ có thể được đọc tên là EFGH.
Đoạn thẳng nối E và G là một trong bốn cạnh của tứ giác.
Điểm nằm trên cạnh EG nằm trong tứ giác EFGH.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tứ giác có hai đỉnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại là tứ giác lồi.
b) Đúng. Cách đọc EFGH theo đúng thứ tự liên tiếp vòng quanh tứ giác.
c) Sai. Vì E và G là hai đỉnh đối nhau (bị ngăn cách bởi F và H) nên EG là đường chéo.
d) Đúng. Vì EG là đường chéo của tứ giác EFGH nên điểm nằm trên cạnh EG nằm trong tứ giác.
Cho 4 điểm A, B, C, D và không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tính đúng/sai của từng khẳng định:
Khi nối 4 điểm này lại theo thứ tự A – B – C – D – A, ta luôn được một tứ giác lồi mà mọi điểm của tứ giác đều nằm về cùng một phía của đường thẳng chứa bất kì cạnh nào.
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ giác lồi khi hai đường chéo cắt nhau tại một điểm nằm giữa của mỗi đoạn.
Với điểm M bất kì, ta luôn có MA + MB ≥ AB.
Khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ giác lồi đến 4 đỉnh đạt giá trị nhỏ nhất bằng tổng độ dài hai đường chéo.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. b) Đúng.
a) Sai. Tùy thuộc vào vị trí của 4 điểm, việc nối các điểm theo thứ tự cũng có thể tạo ra một tứ giác lồi nhưng cũng có thể không.
b) Đúng. Bốn điểm tạo thành tứ giác lồi khi hai đường chéo cắt nhau tại một điểm nằm bên trong tứ giác, nằm giữa hai mút của mỗi đoạn đường chéo. Chẳng hạn tứ giác ACBD lồi khi có hai đường chéo AB và CD cắt nhau tại I (hình vẽ).
c) Đúng. Với điểm M bất kì, ta có MA + MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đường chéo AB.
d) Đúng. Tương tự ý c), ta có MC + MD ≥ CD. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đường chéo CD.
Suy ra MA + MB + MC + MD ≥ AB + CD. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm hai đường chéo.
Vậy khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ giác lồi đến 4 đỉnh đạt giá trị nhỏ nhất bằng tổng độ dài hai đường chéo.
Cho tứ giác lồi MNPQ. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Đỉnh M và đỉnh P là hai đỉnh kề nhau nên đoạn thẳng MP là một cạnh của tứ giác.
Đoạn thẳng NQ là một đường chéo của tứ giác.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó OM + ON < MN.
Tổng độ dài hai đường chéo luôn lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Đỉnh M và P là hai đỉnh đối nhau nên MP là đường chéo của tứ giác.
b) Đúng. Tương tự ý a), NQ là đường chéo của tứ giác.
c) Sai. Xét tam giác OMN, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
OM + ON > MN.
d) Đúng. Tương tự ý c), ta có ON + OP > NP; OP + OQ > PQ; OQ + OM > QM.
Suy ra OM + ON + ON + OP + OP + OQ + OQ + OM > MN + NP + PQ + QM.
Hay 2(OM + OP + ON + OQ) > Chu vi tứ giác MNPQ
Suy ra 2(MP + NQ) > Chu vi tứ giác MNPQ
Do đó \({\rm{MP + NQ}} > \frac{1}{2}\) Chu vi tứ giác MNPQ.
Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Độ dài của một cạnh bất kì trong tứ giác luôn nhỏ hơn tổng độ dài của ba cạnh còn lại.
Nếu AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 5 cm thì cạnh DA hoàn toàn có thể nhận giá trị 12 cm mà vẫn tạo thành một tứ giác lồi.
Độ dài một đường chéo chắc chắn nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác ABCD.
Nếu chu vi tứ giác là 20 cm thì hai đường chéo không thể có độ dài là 8 cm và 9 cm.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có AB < AC + BC.
Xét tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có AC < AD + DC.
Suy ra AB < BC + CD + DA.
b) Sai. Tương tự ý a), ta có DA < AB + BC + CD.
Suy ra DA < 3 + 4 + 5 = 12 (cm).
Như vậy DA không thể bằng 12 cm.
c) Đúng. Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có AC < AB + BC.
Xét tam giác ACD, theo bất đẳng thức tam giác ta có AC < AD + DC.
Suy ra 2AC < AB + BC + CD + DA
Do đó \({\rm{AC}} < \frac{1}{2}\)Chu vi tứ giác ABCD.
d) Sai. Nửa chu vi tứ giác ABCD là 10 cm.
Ta có 8 cm < 10 cm và 9 cm < 10 cm, thỏa mãn điều kiện ở ý c).
Hơn nữa, chứng minh tương tự ý d) của bài 10, tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác luôn lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó, ta có 8 + 9 = 17 (cm) > 10 cm nên thỏa mãn.
Vậy Nếu chu vi tứ giác là 20 cm thì hai đường chéo có thể có độ dài là 8 cm và 9 cm.
Một tứ giác lồi có tất cả bao nhiêu cặp góc đối?
Đáp án: 2.
Trong tứ giác ABCD có hai cặp góc đối là góc A và góc C; góc B và góc D.
Dựa vào quy ước đọc liên tiếp các đỉnh, có tổng cộng bao nhiêu cách gọi tên khác nhau cho một tứ giác có 4 đỉnh A, B, C, D (bao gồm cả cách gọi ABCD)?
Đáp án: 8.
Theo một chiều có 4 cách gọi: ABCD, BCDA, CDAB, DABC.
Theo chiều ngược lại có 4 cách gọi: ADCB, DCBA, CBAD, BADC.
Một tứ giác lồi có tất cả bao nhiêu cặp cạnh đối nhau?
Đáp án: 2.
Trong một tứ giác (ví dụ tứ giác ABCD), có 2 cặp cạnh đối nhau (là hai cạnh không có chung đỉnh), cụ thể là cặp AB và CD; cặp BC và AD.
Trong một tứ giác lồi, có tất cả bao nhiêu cặp cạnh kề nhau?
Đáp án: 4.
Cạnh kề nhau là hai cạnh có chung một đỉnh. Trong một tứ giác (ví dụ tứ giác ABCD), có 4 cặp cạnh kề nhau, bao gồm: AB và BC; BC và CD; CD và DA; DA và AB.
Từ một đỉnh bất kì của một tứ giác lồi, ta có thể vẽ được chính xác bao nhiêu đường chéo?
Đáp án: 1.
Từ một đỉnh, ví dụ đỉnh A của tứ giác ABCD, ta chỉ có thể nối với đỉnh đối diện là đỉnh C để tạo thành 1 đường chéo AC. Đoạn thẳng nối với hai đỉnh còn lại (B và D) chính là hai cạnh kề, không phải đường chéo.
