Giải SBT Toán 7 CD Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác có đáp án

Vì tam giác ABC, DBC là tam giác đều nên AB = AC = BC = BD = DC.

• Ta có CA = CD nên C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do BA = BD nên B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Suy ra BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do đó phát biểu a là đúng.

• Tam giác ABC là tam giác đều nên ABC^=60° .

Trong tam giác ABI vuông tại I có IAB^+IBA^=90°  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra IAB^=90°−IBA^=90°−60°=30° .

Xét tam giác ABI có ABI^>IAB^  (do 60° > 30°).

Suy ra AI > BI (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Do đó điểm I không cách đều hai điểm A và B nên phát biểu b là sai.

• Vì BC = BD nên điểm B nằm trên đường trung trực của CD.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Vì CB = CD nên điểm C nằm trên đường trung trực của BD.

Do đó phát biểu d là sai.

Đặt DCA^=x .

Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên ACB^=2ACD^=2BCD^=2x .

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ABC^=ACB^ .

Suy ra ABC^=2x

Do điểm D nằm trên đường trung trực của canhk AC nên DA = DC.

Do đó tam giác DAC cân ở D nên DAC^=DCA^=x .

Xét DABC có ACB^+ABC^+BAC^=180° (tổng ba góc của một tam giác)

Hay 2x + 2x + x = 180° nên 5x = 180°.

Suy ra x =180° : 5 = 36°.

Do đó ACB^=ABC^=2.36°=72°, BAC^=36° .

Vậy số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 36°, 72°, 72°.

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

• Xét ∆AIP và ∆AIN có:

 API^=AQI^ (cùng bằng 90°),

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và PAI^=NAI^  (hai góc tương ứng).

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

Mà BAC^=60°  (do tam giác ABC đều).

Nên PAI^=NAI^=30° .

Xét tam giác API vuông tại P có:  PAI^+PIA^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra PIA^=90°−PAI^=90°−30°=60°

Chứng minh tương tự ta có: PIB^=60° .

Xét ∆PIA và ∆PIB có:

API^=BPI^=90° ,

PI là cạnh chung,

PIA^=PIB^  (cùng bằng 60°)

Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

• Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

• Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

• Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.

Suy ra MBA^=MAB^  (1)

Trong tam giác vuông ABC có  ABC^+ACB^=90°(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên ACB^=90°−ABC^  (2)

Ta có BAM^+MAC^=BAC^=90°

Nên MAC^=90°−MBA^ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MAC^=MCA^

Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.

Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.

b)

Gọi H là trung điểm của EM.

Xét ∆OEH và ∆OMH có:

OHE^=OHM^=90°,

OH là cạnh chung,

EH = MH (do H là trung điểm của EM).

Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra EOH^=MOH^  (hai góc tương ứng).

Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên EOx^=xOM^=12EOM^

Hay EOM^=2xOM^  .

Chứng minh tương tự ta cũng có: FOy^=MOy^=12MOF^

Hay MOF^=2MOy^  .

Ta có EOF^=EOM^+MOF^=2xOM^+2MOy^

=2xOM^+MOy^=2xOy^=2.30°=60°

Vậy nếu xOy^=30°  thì EOF^=60° .

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, B^=C^ .

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = 12 AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = 12 AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQI và ∆API có:

AQI^=API^=90°,

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI = ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

BQD^=CPE^=90°,

 B^=C^(chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI = ∆API (chứng minh câu a)

Nên  QAI^=PAI^(hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và BAI^=CAI^=12BAC^=12.120°=60°

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có BAI^=60°  nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét DBAC và DBIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra ABC^=IBC^,BAC^=BIC^,ACB^=ICB^  (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có ABC^+ACB^+BAC^=180°  (tổng ba góc của một tam giác).

Mà BAC^=120°  (giả thiết) và ABC^=ACB^  (do ∆ABC cân tại A).

Suy ra ABC^=ACB^=180°−BAC^2=180°−120°2=30° .

Do đó IBC^=ICB^=30°,BIC^=120°

Vậy IBC^=ICB^=30°,BIC^=120° .

a) • Xét DABM và DACM có:

AB = AC (do DABC cân tại A),

 BAM^=CAM^(do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó DABM = DACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

BAM^=CAM^=12BAC^=12.90°=45°

Lại có  ABC^+ACB^+BAC^=180°(tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà BAC^=90°  và ABC^=ACB^  (do DABC cân tại A)

Nên ABC^=ACB^=180°−BAC^2=180°−90°2=45°

Xét DABM có MBA^=MAB^  (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

• Trong tam giác ABH vuông tại H có B^1+BAH^=90°  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên B^1=90°−BAH^

Mà A^1=BAC^−BAH^=90°−BAH^

Suy ra B^1=A^1

Xét DBAH và DACK có:

BHA^=AKC^=90°,

B^1=A^1 (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và  BAH^=ACK^(hai góc tương ứng).

Ta có BAH^=BAM^+MAH^=45°+MAH^

ACK^=ACM^+MCK^=45°+MCK^

Mà  BAH^=ACK^(chứng minh trên)

Suy ra MAH^=MCK^ .

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

MAH^=MCK^ (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

b) • Ta có AMH^=CMK^  (hai góc tương ứng của ∆AMH = ∆CMK).

Mà HMK^=HMC^+CMK^

Do đó HMK^=HMC^+AMH^=AMC^=90°  nên tam giác MHK vuông tại H.

• Ta có MH = MK nên tam giác MHK cân tại M.

Suy ra MHK^=MKH^ .

• Trong tam giác MHK vuông tại H có MHK^+MKH^=90°  (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà  MHK^=MKH^ (chứng minh trên)

Suy ra MHK^=MKH^=90°2=45°

Vậy DMKH có MHK^=MKH^=45°,HMK^=90° .