15 câu Trắc nghiệm Toán 7 Cánh diều Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác có đáp án
15 câu hỏi
Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?
IA > IB > IC;
IA = IB = IC;
IA < IB < IC;
Không thể so sánh được độ dài của IA, IB, IC.
Đáp án đúng là: B
∆ABC có I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC.
Suy ra I cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.
Vì giao điểm I của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của ∆ABC.
Nên IA = IB = IC.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo OMB^ bằng:
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: D
Vì ba đường trung trực của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường trung trực của các cạnh AB, AC cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.
Do đó OM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.
Suy ra OM ⊥ BC.
Nên OMB^=90°.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.
BC;
AM;
AB;
AC.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆MAB và ∆MAC, có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
AM là cạnh chung,
BM = CM (do M là trung điểm BC.
Do đó ∆MAB = ∆MAC (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).
Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Suy ra AMB^=AMC^=180°:2=90°.
Do đó AM ⊥ BC tại M.
Mà M là trung điểm BC (giả thiết).
Suy ra AM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.
Vì vậy AM cũng đi qua giao điểm E của hai đường trung trực của AB và AC.
Do đó E ∈ AM.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.
OB = OC = 2 cm;
OB = OC = 4 cm;
OB = OC = 8 cm;
OB = 2 cm; OC = 4 cm.
Đáp án đúng là: B
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (∆ABC cân tại A),
BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC)
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).
Ta có AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).
Suy ra AMB^=AMC^=180°:2=90°.
Vì vậy AM ⊥ BC.
Mà M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến của ∆ABC).
Do đó AM là đường trung trực của BC của ∆ABC.
Mà đường trung trực của AB cắt AM tại O
Khi đó O là giao điểm hai đường trung trực của tam giác nên cách đều các đỉnh
Suy ra OB = OC = OA = 4 cm.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Biết BO cũng là tia phân giác của ABC^. Khẳng định nào sau đây sai?
∆BOA = ∆BOC;
∆BAC cân tại A;
B thuộc đường trung trực của cạnh AC;
AOB^=BOC^.
Đáp án đúng là: B
Vì O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC nên OA = OB = OC.
Do đó ∆OAB cân tại O và ∆OBC cân tại O.
Suy ra OAB^=OBA^và OBC^=OCB^ (tính chất tam giác cân)
Mà OBA^=OBC^ (vì OB là tia phân giác của ABC^) (1).
Ta suy ra OAB^=OCB^ (2).
∆ABO có: AOB^+OAB^+OBA^=180° (3).
∆OBC có: BOC^+OBC^+OCB^=180° (4).
Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra AOB^=BOC^.
Do đó đáp án D đúng.
Xét ∆BOA và ∆BOC, có:
OB là cạnh chung.
AOB^=BOC^ (chứng minh trên).
OA = OC (chứng minh trên).
Do đó ∆BOA = ∆BOC (c.g.c)
Vì vậy đáp án A đúng.
Ta có ∆BOA = ∆BOC (chứng minh trên).
Suy ra AB = BC (cặp cạnh tương ứng).
Do đó ∆BAC cân tại B.
Vì vậy đáp án B sai.
Đến đây ta có thể chọn đáp án B.
Ta có BA = BC (chứng minh trên) và OA = OC (chứng minh trên).
Suy ra BO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Vì vậy B thuộc đường trung trực của cạnh AC.
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
∆BOC cân tại O;
Ba điểm A, O, M thẳng hàng;
AM, BE, CD đồng quy tại một điểm;
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và AD = AE (giả thiết).
Suy ra AB – AD = AC – AE.
Do đó BD = CE.
Xét ∆EBC và ∆DCB, có:
BC là cạnh chung.
DBC^=ECB^ (do ∆ABC cân tại A).
BD = CE (chứng minh trên).
Do đó ∆EBC = ∆DCB (c.g.c)
Suy ra B1^=C1^ (cặp góc tương ứng).
Suy ra ∆BOC cân tại O.
Do đó đáp án A đúng.
Ta có ∆BOC cân tại O.
Suy ra OB = OC.
Mà AB = AC (chứng minh trên)
Do đó AO là đường trung trực của cạnh BC (1).
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB = AC (chứng minh trên),
ABM^=ACM^ (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC)
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)
Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng)
Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù)
Do đó AMB^=AMC^=180°2=90°
Suy ra AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC
Khi đó AM là đường trung trực của BC (2)
Từ (1), (2), ta suy ra A, O, M thẳng hàng.
Do đó đáp án B đúng.
Ta có O thuộc AM (chứng minh trên).
Mà O là giao điểm của BE và CD.
Suy ra ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại điểm O.
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC có A^ là góc tù. Các đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại D và E. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
∆ABD cân tại D;
∆ACE cân tại E;
∆OAB cân tại O;
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Vì D thuộc đường trung trực OM của cạnh AB.
Nên D cách đều A và B.
Do đó DB = DA.
Suy ra ∆ABD cân tại D.
Do đó đáp án A đúng.
Chứng minh tương tự, ta được ∆ACE cân tại E và ∆OAB cân tại O.
Do đó đáp án B, C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC cân tại A, có A^=50°. Đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D. Trên tia đối của tia AD, lấy điểm M sao cho AM = CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
CAD^=20°;
∆BMD cân tại M;
∆BMD cân tại B;
∆BMD đều.
Đáp án đúng là: C
Vì D thuộc đường trung trực của cạnh AB.
Nên D cách đều hai đầu mút A và B.
Suy ra DA = DB.
Do đó ∆ABD cân tại D.
Vì vậy ABD^=BAD^ (tính chất tam giác cân)
Vì ∆ABC cân tại A nên ABC^=ACB^.
∆ABC có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra 2ABC^=180°−BAC^=180°−50°=130°.
Do đó ACB^=ABC^=130°:2=65°.
Vì vậy BAD^=ABD^=65°.
Suy ra BAC^+CAD^=65°.
Do đó CAD^=65°−BAC^=65°−50°=15°≠20°.
Vì vậy đáp án A sai.
Ta có MAB^+BAD^=180° (hai góc kề bù).
Suy ra MAB^=180°−BAD^=180°−65°=115° (1).
Ta có ACB^+ACD^=180° (hai góc kề bù).
Suy ra ACD^=180°−ACB^=180°−65°=115° (2).
Từ (1), (2), ta suy ra MAB^=ACD^.
Xét ∆ABM và ∆CAD, có:
AM = CD (giả thiết).
MAB^=ACD^ (chứng minh trên).
AB = AC (do ∆ABC cân tại A).
Do đó ∆ABM = ∆CAD (c.g.c)
Suy ra BM = AD (cặp cạnh tương ứng).
Mà DB = DA (chứng minh trên).
Do đó BM = DB.
Suy ra ∆BMD cân tại B.
Do đó đáp án C đúng.
∆ACD có: ACD^+CAD^+ADC^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra ADC^=180°−ACD^−CAD^=180°−115°−15°=50°≠60°.
Vì vậy ∆BMD không phải là tam giác đều.
Do đó đáp án B và D sai.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ∆ABC có A^ tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại D và E. Biết DAE^=30°. Số đo BAC^ bằng:
95°;
100°;
105°;
115°.
Đáp án đúng là: C
Vì điểm D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.
Suy ra ∆DAB cân tại D.
Do đó A1^=ABC^.
Chứng minh tương tự, ta được A2^=ACB^.
Do đó A1^+A2^=ABC^+ACB^.
Xét tam giác ABC có: ABC^+BAC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra ABC^+ACB^=180°−BAC^
Suy ra A1^+A2^=180°−BAC^
Lại có A3^=BAC^−A1^+A2^.
Suy ra 30°=BAC^−180°−BAC^
Suy ra BAC^−180°+BAC^=30°
Do đó 2BAC^=180°+30°=210°.
Vì vậy BAC^=210°:2=105°.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ∆ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt tia phân giác của A^ tại điểm O. Đường trung trực của đoạn thẳng BM đi qua điểm:
O
A
M
C
Đáp án đúng là: A
Điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh AC nên OA = OC.
Suy ra ∆OAC cân tại O.
Do đó A2^=OCA^.
Vì AO là tia phân giác của A^ nên A1^=A2^.
Do đó A1^=OCA^ (=A2^).
Xét ∆ABO và ∆CMO, có:
AO = CO (chứng minh trên),
A1^=OCA^ (chứng minh trên),
AB = CM (giả thiết).
Do đó ∆ABO = ∆CMO (c.g.c)
Suy ra OB = OM (cặp cạnh tương ứng).
Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh BM.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là
Điểm B;
Trung điểm của cạnh NP;
Trung điểm của cạnh MN;
Giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Đáp án đúng là: D
Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).
Suy ra AC – CP = BC – BN.
Do đó AP = CN.
Xét ∆MAP và ∆PCN, có:
AM = CP (giả thiết).
MAP^=PCN^=60° (do ∆ABC đều).
AP = CN (chứng minh trên).
Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)
Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng) (1).
Chứng minh tương tự, ta được MN = PN (2).
Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.
Do đó ∆MNP đều.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC
Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)
Xét DBOA và DBOC có:
BA = BC (do ∆ABC đều),
BO là cạnh chung,
OA = OC (chứng minh trên)
Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)
Suy ra ABO^=CBO^ (hai góc tương ứng)
Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.
Do đó OBM^=OBN^=60°:2=30°.
Chứng minh tương tự, ta được:
OAM^=OAP^=30° và OCN^=OCP^=30°.
Xét ∆MAO và ∆NBO, có:
OA = OB (chứng minh trên).
OAM^=OBN^ (= 30°).
AM = BN (giả thiết).
Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)
Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng) (3).
Chứng minh tương tự, ta được NO = PO (4).
Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.
Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.
Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho xOy^=α, A là một điểm di động ở trong xOy^. Vẽ các điểm M và N sao cho Ox là đường trung trực của AM và Oy là đường trung trực của AN. Để O là trung điểm của MN của giá trị của α bằng:
30°;
60°;
90°;
120°.
Đáp án đúng là: C
∆AMN có Ox, Oy lần lượt là đường trung trực của các cạnh AM và AN.
Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆AMN.
Suy ra đường trung trực của MN luôn đi qua điểm O cố định khi A di động (vì ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm).
Vì Ox là đường trung trực của AM nên OA = OM.
Do đó ∆OMA cân tại O.
∆OMA cân tại O có Ox là đường trung trực.
Dễ dàng chứng minh được Ox cũng là tia phân giác của AOM^
Do đó MOx^=xOA^.
Chứng minh tương tự, ta được AOy^=yON^.
Để O là trung điểm MN thì ba điểm O, M, N thẳng hàng.
Do đó MOx^+xOA^+AOy^+yON^=180°.
Suy ra 2xOA^+AOy^=180°.
Hay 2xOy^=180°
Khi đó xOy^=180°:2=90°.
Vì vậy α = 90°.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AB. Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC:
Nằm trong ∆ABC;
Nằm ngoài ∆ABC;
Là trung điểm của cạnh huyền BC;
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: C
Gọi D là giao điểm của hai đường trung trực của các cạnh AC, AB.
Suy ra D cách đều các điểm A, B, C.
Do đó DA = DB = DC
Vì vậy ∆ACD cân tại D.
Xét ∆ADE và ∆CDE, có:
DE là cạnh chung.
DEA^=DEC^=90°.
AE = CE (do E là trung điểm AC).
Do đó ∆ADE = ∆CDE (c.g.c)
Suy ra D3^=D4^ (cặp góc tương ứng).
Chứng minh tương tự, ta được D1^=D2^.
∆DEC vuông tại E: D4^+ECD^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra D3^=D4^=90°−ACB^.
Tương tự ta được D1^=D2^=90°−ABC^.
Khi đó:
D1^+D2^+D3^+D4^=290°−ABC^+290°−ACB^
=290°−ABC^+90°−ACB^
=2180°−ABC^+ACB^
∆ABC vuông tại A: ABC^+ACB^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Do đó
D1^+D2^+D3^+D4^
= 2.[180° – 90°] = 180°.
Suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng.
Ta có DB = DC (= DA).
Suy ra D là trung điểm của BC.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết ABC^=70°. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
∆ABD vuông;
∆CBD vuông;
ADC^=110°;
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB.
Suy ra ∆OAB cân tại O.
Do đó OAB^=OBA^ (tính chất tam giác cân)
∆OAB có: OAB^+OBA^+AOB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra 2OAB^=180°−AOB^.
Do đó OBA^=OAB^=180°−AOB^2.
Chứng minh tương tự, ta được OAD^=ODA^=180°−AOD^2.
Do đó OAB^+OAD^=180°−AOB^2+180°−AOD^2
=180°2−AOB^2+180°2−AOD^2
=180°−AOB^+AOD^2
=180°−180°2 (do hai góc AOB^, AOD^ kề bù).
= 90°.
Suy ra ∆ABD vuông tại A.
Do đó đáp án A đúng.
Chứng minh tương tự như trên, ta được ∆CBD vuông tại C.
Do đó đáp án B đúng.
∆ABD vuông tại A: ADB^+ABD^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra ADB^=90°−ABD^ hay ADO^=90°−ABO^.
Tương tự, ta được ODC^=90°−CBO^.
Do đó ADO^+ODC^=90°−ABO^+90°−CBO^
=180°−ABO^+CBO^=180°−ABC^
= 180° – 70° = 110°.
Suy ra ADC^=110°.
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Ba điểm D, A, E thẳng hàng;
DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất;
AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC;
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Vì AB là đường trung trực của MD.
Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)
Suy ra ∆ADM cân tại A.
Xét DABD và DABM có:
AD = AM (chứng minh trên),
AB là cạnh chung,
BD = BM (chứng minh trên),
Do đó DABD = DABM (c.c.c)
Suy ra A1^=A2^ (hai góc tương ứng)
Vì vậy MAD^=A1^+A2^=2A2^.
Chứng minh tương tự, ta được A3^=A4^ và MAE^=A3^+A4^=2A3^.
Ta có DAE^=MAD^+MAE^=2A2^+A3^=2BAC^=2.90°=180°.
Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Do đó đáp án A đúng.
Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng
Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.
Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất.
Do đó đáp án B đúng.
Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.
