Giải SBT Toán 10 CD Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có: (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)²

= (sinα.\(\frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }}\))² + (cosα.\(\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{cos\alpha }}\))²

= cos²α + sin²α

= 1.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải

Đáp án đúng là B

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)

\( = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)

\( = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0\)

Lời giải

Đáp án đúng là C

tanα . tan(90°– α)

= tanα . cotα

= 1.

Lời giải

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)

⇔ \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1\)

⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)

⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)

⇔ \(cos\alpha = \frac{4}{5}\) hoặc \(cos\alpha = - \frac{4}{5}\)

Vì 0° < α < 90° nên \(cos\alpha = \frac{4}{5}\)

⇒ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}\)

⇒ \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}\)

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = \(\frac{4}{5}\);

cos(90° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);

sin(180° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);

cos(180° – α) = –cosα = \( - \frac{4}{5}\).

Lời giải

Vì 90° < α < 180° nên \(cos\alpha = - \frac{4}{5}\)

⇒ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}\)

⇒ \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{3}{4}}} = - \frac{4}{3}\)

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = \( - \frac{4}{5}\);

cos(90° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);

sin(180° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);

cos(180° – α) = –cosα = \( - \left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{4}{5}\).

Lời giải

Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos\(\widehat {BAC}\)

       = 4² + 6² – 2.4.6.cos60°

       = 4² + 6² – 24

       = 28

⇔ BC = \(\sqrt {28} \).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

⇔ \(\sin B = \frac{{6.\sin 60^\circ }}{{\sqrt {28} }} \approx 0,98\)

⇔ \(\widehat B \approx 79^\circ \).

Vậy BC = \(\sqrt {28} \) và \(\widehat B \approx 79^\circ \).

Lời giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)

⇔ \(R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {28} }}{{2\sin 60^\circ }} \approx 3\).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

Lời giải

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4.6.\sin 60^\circ = 6\sqrt 3 \) (đvdt)

Vậy diện tích của tam giác ABC là \(6\sqrt 3 \) (đvdt).

Lời giải

Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.\sqrt {28} .AH\)

Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là \(6\sqrt 3 \)

Do đó ta có: \(\frac{1}{2}.\sqrt {28} .AH = 6\sqrt 3 \)

⇔ \(AH = \frac{{2.6\sqrt 3 }}{{\sqrt {28} }} \approx 4\)

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.6.\cos 60^\circ = 12.\)

Vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}.{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 12\) và \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = 24\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)

\( = \frac{1}{2}.2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

\({\rm{cos}}\widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)

Ta có: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} + {\sin ^2}\widehat {ABC} = 1\)

⇔ \({\sin ^2}\widehat {ABC} = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}\)

Vì \(\widehat {ABC}\) là góc trong tam giác nên \(0^\circ < \widehat {ABC} < 180^\circ \)

⇒ \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Vậy \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5.6.\frac{{2\sqrt 6 }}{5} = 6\sqrt 6 \) (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là \(6\sqrt 6 .\)

Lời giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\).6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM² = 5² + 3² – 2.5.3.\(\frac{1}{5}\)

⇔ AM² = 28

⇔ AM = \(2\sqrt 7 \)

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là \(2\sqrt 7 \).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

\(\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)

\[ = \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} \]

\[ = \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} } \right) + \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {OI} \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right) + \frac{1}{{1 - k}}\left( {\overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} } \right)\]

\[ = \overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow 0 \]

\[ = \overrightarrow {OI} \].

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.5.c{\rm{os120}}^\circ = - 10\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

Và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)

⇒\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}{\overrightarrow {AC} ^2}\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}( - 10) - \frac{1}{2}( - 10) + \frac{1}{5}{.5^2} = 0\)

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 10\) và AM vuông góc BD.

Lời giải

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

\(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)

⇒ \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 115^\circ } \right) = 30^\circ \)

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)

⇔\(\frac{{50}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 35^\circ }}\)

⇔\(BC = \frac{{50\sin 35^\circ }}{{\sin 30^\circ }} \approx 57,36\)

Xét tam giác CHB vuông tại B, có:

\(\sin \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow CH = \sin \widehat {CBH}.BC \approx \sin 65^\circ .57,36 \approx 51,98\).

Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.

Lời giải

\(\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2}\)

\( = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) - 2{\overrightarrow b ^2}\)

\( = {2.4^2} + 3.4.5.cos135^\circ - {2.5^2} = - 18 - 30\sqrt 2 \)

Lời giải

\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \).

Lời giải

Áp dụng công thức trên ta được:

\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

⇔ \({\sqrt 7 ^2} = {2^2} + {3^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

⇔ \(7 = 4 + 9 + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

⇔ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\)

Mặt khác ta lại có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)

⇔ \( - 3 = 2.3.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)

⇔ \(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}\)

⇔ \(\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).

Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\) và \(\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)

= \(\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)

= \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} \)

= \(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

= 0

Lời giải

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \)

⇒ \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔\(\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔\(\left( {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {2\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔\(4\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\widehat {{\rm{IMJ}}} = 90^\circ \)

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.

Lời giải

Xét biểu thức \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \]

\[ = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\]

\[ = 3\overrightarrow {MG} \]

⇒\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right|\]

Do đó để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\left| {3\overrightarrow {MG} } \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất và MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.

Vậy để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm M là hình chiếu vuông góc của G trên đường thẳng d.