Giải SBT Toán 10 CD Bài tập cuối chương 4 có đáp án
24 câu hỏi
Lời giải
Đáp án đúng là C
Ta có: (sinα . cotα)2 + (cosα . tanα)2
= (sinα.\(\frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }}\))2 + (cosα.\(\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{cos\alpha }}\))2
= cos2α + sin2α
= 1.
Lời giải
Đáp án đúng là D
Với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
\( = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
\( = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0\)
Lời giải
Đáp án đúng là C
tanα . tan(90°– α)
= tanα . cotα
= 1.
Lời giải
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)
⇔ \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1\)
⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)
⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)
⇔ \(cos\alpha = \frac{4}{5}\) hoặc \(cos\alpha = - \frac{4}{5}\)
Vì 0° < α < 90° nên \(cos\alpha = \frac{4}{5}\)
⇒ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}\)
⇒ \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}\)
Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:
sin(90° – α) = cosα = \(\frac{4}{5}\);
cos(90° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
sin(180° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
cos(180° – α) = –cosα = \( - \frac{4}{5}\).
Lời giải
Vì 90° < α < 180° nên \(cos\alpha = - \frac{4}{5}\)
⇒ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}\)
⇒ \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{3}{4}}} = - \frac{4}{3}\)
Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:
sin(90° – α) = cosα = \( - \frac{4}{5}\);
cos(90° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
sin(180° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
cos(180° – α) = –cosα = \( - \left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{4}{5}\).
Lời giải
Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;
Xét tam giác ABC, có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos\(\widehat {BAC}\)
= 42 + 62 – 2.4.6.cos60°
= 42 + 62 – 24
= 28
⇔ BC = \(\sqrt {28} \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)
⇔ \(\sin B = \frac{{6.\sin 60^\circ }}{{\sqrt {28} }} \approx 0,98\)
⇔ \(\widehat B \approx 79^\circ \).
Vậy BC = \(\sqrt {28} \) và \(\widehat B \approx 79^\circ \).
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)
⇔ \(R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {28} }}{{2\sin 60^\circ }} \approx 3\).
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4.6.\sin 60^\circ = 6\sqrt 3 \) (đvdt)
Vậy diện tích của tam giác ABC là \(6\sqrt 3 \) (đvdt).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 24 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Lời giải
Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A
Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.\sqrt {28} .AH\)
Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là \(6\sqrt 3 \)
Do đó ta có: \(\frac{1}{2}.\sqrt {28} .AH = 6\sqrt 3 \)
⇔ \(AH = \frac{{2.6\sqrt 3 }}{{\sqrt {28} }} \approx 4\)
Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.6.\cos 60^\circ = 12.\)
Vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}.{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24\).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 12\) và \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = 24\).
Lời giải
Ta có: \(\frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]\)
\( = \frac{1}{2}.2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
Lời giải
Xét tam giác ABC, có:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:
\({\rm{cos}}\widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)
Ta có: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} + {\sin ^2}\widehat {ABC} = 1\)
⇔ \({\sin ^2}\widehat {ABC} = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}\)
Vì \(\widehat {ABC}\) là góc trong tam giác nên \(0^\circ < \widehat {ABC} < 180^\circ \)
⇒ \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).
Vậy \(\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\).
Lời giải
Diện tích tam giác ABC là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5.6.\frac{{2\sqrt 6 }}{5} = 6\sqrt 6 \) (đvdt)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(6\sqrt 6 .\)
Lời giải
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\).6 = 3.
Xét tam giác ABM:
Áp dụng định lí cos, ta có:
AM2 = AB2 + BM2 – 2.AM.BM.cosB
⇔ AM2 = 52 + 32 – 2.5.3.\(\frac{1}{5}\)
⇔ AM2 = 28
⇔ AM = \(2\sqrt 7 \)
Vậy độ dài đường trung tuyến AM là \(2\sqrt 7 \).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Xét vế phải của đẳng thức ta có:
\(\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)
\[ = \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} \]
\[ = \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} } \right) + \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} } \right)\]
\[ = \overrightarrow {OI} \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right) + \frac{1}{{1 - k}}\left( {\overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} } \right)\]
\[ = \overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow 0 \]
\[ = \overrightarrow {OI} \].
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.5.c{\rm{os120}}^\circ = - 10\)
Ta lại có: \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
Và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)
⇒\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}{\overrightarrow {AC} ^2}\)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}( - 10) - \frac{1}{2}( - 10) + \frac{1}{5}{.5^2} = 0\)
Suy ra AM vuông góc BD.
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 10\) và AM vuông góc BD.
Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song).
Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Kẻ CH vuông góc với bờ AB.
Xét tam giác ABC, có:
\(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)
⇒ \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 115^\circ } \right) = 30^\circ \)
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)
⇔\(\frac{{50}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 35^\circ }}\)
⇔\(BC = \frac{{50\sin 35^\circ }}{{\sin 30^\circ }} \approx 57,36\)
Xét tam giác CHB vuông tại B, có:
\(\sin \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow CH = \sin \widehat {CBH}.BC \approx \sin 65^\circ .57,36 \approx 51,98\).
Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.
Lời giải
\(\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2}\)
\( = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) - 2{\overrightarrow b ^2}\)
\( = {2.4^2} + 3.4.5.cos135^\circ - {2.5^2} = - 18 - 30\sqrt 2 \)
Lời giải
\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Lời giải
Áp dụng công thức trên ta được:
\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
⇔ \({\sqrt 7 ^2} = {2^2} + {3^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
⇔ \(7 = 4 + 9 + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
⇔ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\)
Mặt khác ta lại có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)
⇔ \( - 3 = 2.3.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\)
⇔ \(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}\)
⇔ \(\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).
Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3\) và \(\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)
= \(\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)
= \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} \)
= \(\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right)\)
= 0
Lời giải
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \)
⇒ \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
⇔\(\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
⇔\(\left( {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {2\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
⇔\(4\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \)
⇔ \(\widehat {{\rm{IMJ}}} = 90^\circ \)
Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.
Lời giải
Xét biểu thức \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \]
\[ = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\]
\[ = 3\overrightarrow {MG} \]
⇒\[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right|\]
Do đó để biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\left| {3\overrightarrow {MG} } \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất và MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
Vậy để \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm M là hình chiếu vuông góc của G trên đường thẳng d.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
