Bài tập cuối chương IV có đáp án
9 câu hỏi
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BAC^=120°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;
c) Diện tích của tam giác;
d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;
e) AB→ . AC→, AM→ .BC→ với M là trung điểm của BC.
a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cosBAC^
= 32 + 42 – 2 . 3. 4 . cos 120°
= 9 + 16 – (– 12)
= 37
Suy ra: BC=37≈6.
+ Ta có: cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=32+62−422.3.6=2936
Suy ra B^≈36°.
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: BCsinA=2R
Suy ra: R=BC2sinA=62.sin120°=23≈3.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.
c) Diện tích tam giác ABC là: S=12AB.AC.sinA=12.3.4.sin120°=33≈5.
d) Kẻ đường cao AH.
Ta có diện tích tam giác ABC là: S=12AH.BC
Suy ra: AH=2SBC=2.56≈2.
e)
+ Ta có: AB→ . AC→= AB→ . AC→.cosAB→, AC→
=AB. AC. cosBAC^
= 3 . 4 . cos 120° = – 6.
Do đó: AB→ .AC→ =−6.
+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: AB→+AC→=2AM→ .
Suy ra: AM→=12AB→+AC→.
Khi đó: AM→ . BC→=12AB→+AC→.BC→
=12AB→+AC→.BA→+AC→
=12AB→+AC→.−AB→+AC→
=12AC→+AB→.AC→−AB→
=12AC→2−AB→2
=12AC−AB=124−3=12
Vậy AM→.BC→=12.
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
A = (sin 20° + sin 70°)2 + (cos 20° + cos 110°)2,
B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.
+ Ta có:
A = (sin 20° + sin 70°)2 + (cos 20° + cos 110°)2
= [sin(90° – 70°) + sin 70°]2 + [cos(90° – 70°) + cos(180° – 70°)]2
= (cos70° + sin 70°)2 + [sin 70° + (– cos 70°)]2
= (cos 70° + sin 70°)2 + (sin 70° – cos 70°)2
= cos2 70° + 2 . cos 70° . sin 70° + sin2 70° + sin2 70° – 2 . sin 70° . cos 70° + cos2 70°
= 2(cos2 70° + sin2 70°)
= 2 . 1 = 2
Vậy A = 2.
+ Ta có:
B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°
= tan (90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan (180° – 70°) + cot (180° – 70°)
= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)
= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)
= 0 + 0 = 0
Vậy B = 0.
Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.
Bạn Hoài vẽ góc xOy và đố bạn Đông làm thế nào để có thể biết được số đo góc của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:
- Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB = 2 cm;
- Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm.
Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được cosxOy^, từ đó suy ra độ lớn góc xOy.
Em hãy cho biết số đo góc xOy ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
* Tính góc xOy bạn Hoài vẽ:
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABO ta có: cosO=OA2+OB2−AB22.OA.OB=22+22−3,122.2.2=−161800
Do đó: O^≈102°
Vậy từ các dự kiện bạn Đông tính được, ta suy ra xOy^≈102°.
Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C, người ta làm như sau (Hình 70):
- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;
- Đo khoảng cách AB được 1 200 m.
Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.
Ta có: A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC)
Suy ra: C^=180°−A^+B^=180°−60°+45°=75°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinC=BCsinA=ACsinB
Do đó: AC=AB.sinBsinC=1200.sin45°sin75°≈878(m);
BC=AB.sinAsinC=1200.sin60°sin75°≈1076(m).
Vậy khoảng cách từ trạm C đến trạm A khoảng 878 m và từ trạm C đến trạm B khoảng 1 076 m.
Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).
Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 71). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Dựng AD vuông góc với hai bên bờ sông, khi đó AD là độ rộng của khúc sông chạy qua vị trí của người đó đang đứng. Ta cần tính khoảng cách AD.
Xét tam giác ABC ta có:CAB^+ACB^=65° (tính chất góc ngoài tại đỉnh B của tam giác)
Suy ra ACB^=65°−CAB^=65°−35°=30°.
Lại có ABC^=180°−65°=115°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: ABsinACB^=ACsinABC^.
Suy ra AC=AB.sinABC^sinACB^=50.sin115°sin30°≈90,6.
Ta có: DAC^=90°−35°=55°.
Tam giác ADC vuông tại D nên cosDAC^=ADAC .
⇒AD=AC.cosDAC^=90,6.cos55°≈52 (m).
Vậy độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là 52 m.
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 72). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, MON^=135°.
Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác.
Tam giác OMN có OM = 200 m, ON = 500 m và MON^=135°.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có:
MN2 = OM2 + ON2 – 2 . OM . ON . cosMON^
= 2002 + 5002 – 2 . 200 . 500 . cos135°
≈ 431421
Suy ra: MN ≈ 657 m.
Vậy khoảng cách giữa hai ví trí M, n khoảng 657 m.
Chứng minh:
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì AB→+AD→+CE→=AE→ với E là điểm bất kì;
b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA→+MB→+2IN→=2MN→ với M, N là hai điểm bất kì;
c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA→+MB→+MC→−3MN→=3NG→ với M, N là hai điểm bất kì.
a)
Vì ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→.
Với E là điểm bất kì ta có: AB→+AD→+CE→=AC→+CE→=AE→
Vậy AB→+AD→+CE→=AE→ với E là điểm bất kì.
b)
Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có: MA→+MB→=2MI→
Do đó, với điểm N bất kì, ta có: MA→+MB→+2IN→=2MI→+2IN→=2MI→+IN→=2MN→.
Vậy MA→+MB→+2IN→=2MN→ với M, N là hai điểm bất kì.
c)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm M bất kì ta có: MA→+MB→+MC→=3MG→.
Khi đó với điểm N bất kì ta có: MA→+MB→+MC→−3MN→=3MG→−3MN→
=3MG→+−MN→=3MG→+NM→
=3NM→+MG→=3NG→
Vậy MA→+MB→+MC→−3MN→=3NG→ với M, N là hai điểm bất kì.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, BAD^=60° (Hình 73).
a) Biểu thị các vectơ BD→, AC→ theo AB→, AD→.
b) Tính các tích vô hướng AB→ . AD→, AB→ . AC→, BD→ . AC→.
c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.
a) Ta có: BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→.
Do ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→.
b) Ta có: AB→.AD→=AB→.AD→.cosAB→,AD→
=AB .AD.cosBAD^= 4 . 6 . cos60° = 12.
Do đó: AB→.AD→=12
Ta cũng có: AB→.AC→=AB→. AB→+AD→
=AB→2+AB→.AD→= AB2 + 12 = 42 + 12 = 28.
Do đó: AB→.AC→=28
Lại có: BD→.AC→=−AB→+AD→.AB→+AD→
=AD→−AB→.AD→+AB→=AD→2−AB→2
= AD2 – AB2 = 62 – 42 = 20.
Vậy BD→.AC→=20
c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:
BD2 = AB2 + AD2 – 2 . AB . AD . cosA
= 42 + 62 – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28
⇒BD=28=27
Ta có: AC→=AB→+AD→⇒AC→2=AB→+AD→2
⇔AC→2=AB→2+2.AB→.AD→+AD→2
⇔AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2
Suy ra: AC2 = 42 + 2 . 12 + 62 = 76
⇒AC=76=219.
Hai lực F1→, F2→ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc F1→, F2→=α làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực F→ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực F1→, F2→ làm cho vật di chuyển).
Ta thấy, AOBC là hình bình hành.
Do đó: OC→=OA→+OB→
Suy ra: F→=F1→+F2→ (1).
Ta cần tính cường độ của hợp lực F→ hay chính là tính F→.
Từ (1) suy ra F→2=F1→+F2→2.
⇔F→2=F1→2+2.F1→.F2→+F2→2
⇔F→2=F1→2+2.F1→.F2→+F2→2. (2)
Ta lại có: F1→.F2→=F1→.F2→.cosF1→, F2→=F1→.F2→.cosα (3).
Từ (2) và (3) suy ra: F→2=F1→2+2.F1→.F2→.cosα+F2→2
⇒F→=F1→2+2.F1→.F2→.cosα+F2→2.
Vậy công thức tính cường độ của hợp lực F→ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C là F→=F1→2+2.F1→.F2→.cosα+F2→2.
