Giải SBT Toán 10 CD Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có: \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MK} = \overrightarrow {MH} \ne \overrightarrow {MP} \) (H, K là điểm thỏa mãn MKHN là hình bình hành). Do đó A sai.

Ta có: \( - \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NT} \ne \overrightarrow {MP} \)(T là điểm MNPT là hình bình hành). Do đó B sai

Ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \) (quy tắc ba điểm). Do đó C đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \ne - \overrightarrow {MP} \). Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Ta có: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \). Do đó A đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AD} \). Do đó B sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {CA} \). Do đó C sai.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \ne - \overrightarrow {AC} \). Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \ne \overrightarrow {AB} \). Do đó A sai.

Ta có: \(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \). Do đó B đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {AB} \) (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó C sai.

Ta có: \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {AB} \)(C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là D

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB và \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng.

⇒ \(\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB} \) hay \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .\)

Vậy điều kiện đủ đề M là trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .\)

 

Lời giải

Đáp án đúng là B

Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \)

⇔ \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {AG} \)

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OD} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {BO} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\)

\( = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \).

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí pythagoras)

⇔ BC² = (4a)² + (5a)² = 41a²

⇔ BC = \(\sqrt {41} \)a.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {41} a\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {41} a\).

Lời giải

Lấy điểm D là điểm thỏa mãn ABDC là hình chữ nhật nên AD = BC (tính chất hình hình chữ nhật).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {41} a\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {41} a.\)

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc 3 điểm)

 ⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = a\).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \)

 ⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = a\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = a\).

Lời giải

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành, M là trung điểm của BC.

Khi đó: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\).

Xét tam giác ABC, có AM là đường trung tuyến nên AM là đường cao

⇒ AM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

⇒ AD = 2AM = 2.\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 \).

Lời giải

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB\)

Mà \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\) nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

Không mất tính tổng quát ta lấy một điểm A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \)

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng nên A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C.

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB,\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC\)

⇒ \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = AB + BC = AC\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \overrightarrow {AC} \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\).

Lời giải

Lấy E là điểm thỏa mãn ABEC là hình bình hành, gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AE} \)

⇒\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE\)

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AM.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:

AM² = AB² + BM² (định lí pythagoras)

⇔ AM² = a² + \({\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\)= a² + \(\frac{{{a^2}}}{4}\) = \(\frac{{5{a^2}}}{4}\)

⇔ AM = \(\frac{{\sqrt 5 a}}{2}\)

⇒ AE = 2AM = \(2.\frac{{\sqrt 5 a}}{2} = \sqrt 5 a\)

Vậy AE = \(\sqrt 5 a\).

Lời giải

Xét hình bình hành ABCD, có O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

⇒ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right)\)

\( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 \)

\( = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).

Lời giải

Xét tam giác ABD, có:

AO là trung tuyến, BE là đường trung tuyến

Mà AO giao với BE tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD

⇒\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MC} \)

⇒\(\left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC\)

Vì \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right|\) nên AM = MC

Tập hợp điểm M thỏa mãn AM = MC là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Lời giải

Ta có: \[\overrightarrow {{\rm{AA}}'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GC'} \]

\[ = \left( {\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right)\]

\[ = \left( { - \overrightarrow {{\rm{GA}}} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right)\]

\[ = - \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right)\]

\( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 \)

\( = \overrightarrow 0 \)

Lời giải

Vẽ đường kính AE

Ta có: \(\widehat {ACE} = 90^\circ \) nên AC ⊥ EC

Mà BH ⊥ EC

⇒ BH // AC (1)

Ta lại có:\(\widehat {ABE} = 90^\circ \) và AB ⊥ BE

Mà CH ⊥ AB

⇒ BE // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHEC là hình bình hành

Xét tứ giác AHDE, có:

O là trung điểm của HD (gt)

O là trung điểm của AE

Do đó AHDE là hình bình hành

Khi đó, ta có:

\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right) = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {HD} \).