Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 5 có đáp án
24 câu hỏi
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ AC→ là:
A. 5;
B. 6;
C. 7;
D. 9.
Đáp án đúng là A
AC→ = AC = AB2+BC2 = 32+42= 5.
Chọn đáp án A.
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ OC→ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 2;
B. 3;
C. 4;
D. 6.
Đáp án đúng là A
Các vectơ bằng vectơ OC→ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: AB→, ED→.
Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
Cho ba điểm A, B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. CA→−BA→=BC→;
B. AB→+AC→=BC→;
C. AB→+CA→=CB→;
D. AB→−BC→=CA→.
Đáp án đúng là C
Theo quy tắc ba điểm ta có: AB→+CA→=CB→.
Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định A, B, D sai.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. IA = IB;
B. IA→=IB→;
C. IA→=−IB→;
D. AI→=BI→.
Đáp án đúng là C
I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA→ + IB→ = 0 hay IA→=-IB→.
Vậy chọn đáp án C.
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. GA→=2GI→;
B. IG→=−13IA→;
C. GB→+GC→=2GI→;
D. GB→+GC→=GA→.
Đáp án đúng là C
Ta có:
GA→=−2GI→. Khẳng định A sai.
IG→=13IA→. Khẳng định B sai.
I là trung điểm của BC nên GB→+GC→=2GI→=−GA→. Khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án C.
Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AC→+BD→=2BC→;
B. AC→+BC→=AB→;
C. AC→+BD→=2CD→;
D. AC→+AD→=CD→.
Đáp án đúng là A
Ta có:
AC→ + BD→ = AC→ + BC→ + BC→ + CD→ = 2BC→ ( vì AB→ + CD→ = 0 ). Vậy khẳng định A đúng. Khẳng định C sai.
Ta có: AC→+BC→=AB→+BC→+BC→=AB→+2BC→≠AB→. Do đó khẳng định B sai.
Ta lại có: AC→+AD→=AC→+AC→+CD→=2AC→+CD→≠CD→. Do đó khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án A.
Cho tam giác ABC. Đặt a→=BC→, b→=AC→. Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A. 2a→+b→ và a→+2b→;
B. a→−2b→ và 2a→−b→;
C. 5a→+b→ và −10a→−2b→;
D. a→+b→ và a→-b→.
Đáp án đúng là C
Ta có thể thấy:
−10a→−2b→ = – 2 . ( 5a→+b→ ).
Như vậy 5a→+b→ và −10a→−2b→ là cặp vectơ cùng phương.
Cho tam giác ABC vuông ở A và có B^ = 50°. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AB→,BC→ = 130°;
B. BC→,AC→ = 40°;
C. AB→,CB→ = 50°;
D. AC→,CB→ = 120°.
Ta có: AB→,BC→=−BA→,BC→=−BA→,BC→ là góc kề bù với ABC^
⇒ AB→,BC→ = 180° – 50° = 130°. Khẳng định A đúng.
BC→,AC→ = CB→,CA→ = ACB^ = 90° – 50° = 40°. Khẳng định B đúng.
AB→,CB→ = BA→,BC→ = ABC^ = 50°. Khẳng định C đúng.
AC→,CB→=−CA→,CB→=−CA→,CB→ là góc kề bù với ACB^
⇒ AC→,CB→ = 180° – 40° = 140°. Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án D.
Cho a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0→. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a→.b→=a→.b→;
B. a→.b→=0;
C. a→.b→=-1;
D. a→.b→=−a→.b→.
Đáp án đúng là A
Ta có:
a→.b→=a→.b→.cos(a→,b→)
Do a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ b→ nên cos(a→,b→) = cos0° = 1.
Vậy a→.b→=a→.b→. Đáp án A đúng
Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AB→.AC→<BA→.BC→;
B. AC→.CB→<AC→.BC→;
C. AB→.BC→<CA→.CB→;
D. AC→.BC→<BC→.AB→.
Đáp án đúng là D
Do AB ⊥ AC nên AB→. AC→ = 0.
Ta lại có BA→. BC→ = BA.BC.cosB^> 0 (vì B^ là góc nhọn nên cosB^ > 0). Do đó AB→.AC→<BA→.BC→.
Khẳng định A đúng.
AC→,CB→=−CA→,CB→=−CA→,CB→ là góc tù nên AC→.CB→=AC→.CB→.cosAC→.CB→ < 0;
AC→.BC→ là góc nhọn nên AC→.BC→=AC→.BC→.cosAC→.BC→ > 0. Suy ra AC→.CB→<AC→.BC→. Khẳng định B đúng.
AB→,BC→=−BA→,BC→=−BA→,BC→ là góc tù nên AB→.BC→ < 0; CA→.CB→ là góc nhọn nên CA→.CB→ > 0. Suy ra AB→.BC→<CA→.CB→. Khẳng định C đúng.
AC→.BC→ là góc nhọn nên AC→.BC→ > 0; BC→.AB→ là góc tù nên BC→.AB→ < 0. Suy ra AC→.BC→>BC→.AB→.
Khẳng định D sai.
Vậy chọn đáp án D.
Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai vectơ AB→ và AC→:
a) cùng hướng?
a) Hai vectơ AB→ và AC→ cùng hướng khi B nằm giữa A và C.
b) ngược hướng?
b) Hai vectơ AB→ và AC→ ngược hướng khi A nằm giữa B và C.
Cho ba vectơ a→, b→, c→ cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.
Trong ba vectơ a→, b→, c→ chọn hai vectơ tùy ý:
- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm.
- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn.
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vectơ AH→ và B'C→, AB'→ và HC→.
Do BB’ là đường kính nên BCB'^ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
⇒ BC ⊥ B’C.
H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH.
Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC ).
Do BB’ là đường kính nên BAB'^= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
⇒ BA ⊥ B’A.
H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ BA.
Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA ).
Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )
⇒ AH→ = B'C→ và AB'→ = HC→.
Vậy AH→ = B'C→ và AB'→ = HC→.
Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương a→ và b→, ta có: a→−b→<a→+b→<a→+b→.
Vẽ ba điểm O, A, B sao cho OA→=a→, AB→ = b→. Ta có OB→ = a→+b→.
Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:
OA−AB ≤ OB ≤ OA + AB
Suy ra a→−b→<a→+b→<a→+b→.
Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: OA→+OB→+OC→+OD→+OE→=0→.
Đặt u→= OA→+OB→+OC→+OD→+OE→
Ta có: u→ = OA→+OB→+OE→+OC→+OD→
Do OA nằm trên đường phân giác của BOE^ và DOC^ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ OB→+OE→ và OC→+OD→ nằm trên đường thẳng OA, suy ra u→ nằm trên đường thẳng OA.
Chứng minh tương tự ta có u→ cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy u→ = 0→
Vậy OA→+OB→+OC→+OD→+OE→ = 0→.
Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: OA→+OB→+OC→=OA'→+OB'→+OC'→.
Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?
a) AB→+AC→=AB→−AC→;
a) Gọi M là trung điểm BC ta có:
AB→ + AC→ = 2AM→ ⇒ AB→+AC→ = 2AM
AB→−AC→ = CB→ = BC
AB→+AC→= AB→−AC→⇔2AM = BC.
Khi đó tam giác ABC vuông tại A.
b) Vectơ AB→+AC→ vuông góc với vectơ AB→+CA→.
b) Vectơ AB→+AC→ vuông góc với vectơ AB→+CA→ ⇔ (AB→+AC→).( AB→+CA→) = 0→
hay (AB→+AC→).AB→−AC→ = 0→
Suy ra AB2 – AC2 = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.
Vậy Vectơ AB→+AC→ vuông góc với vectơ AB→+CA→ khi tam giác ABC cân tại A.
Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?
a) AC→−BC→=DC→;
a) AC→−BC→=DC→ ⇒ AB→=DC→ ⇒ ABCD là hình bình hành.
b) DB→=kDC→+DA→
b) DB→=kDC→+DA→ ⇒ DB→ – DA→ = kDC→ ⇒ AB→ = kDC→ ⇒ AB // CD.
Như vậy ta có ABCD là hình thang.
Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho OM'→=kOM→, ON'→=kON→. Chứng minh rằng: M'N'→=kMN→.
Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ OA→, OB→, OC→ có độ dài bằng nhau và OA→ + OB→ + OC→ = 0→. Tính các góc AOB^, BOC^, COA^.
Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có OA→ + OB→ + OC→ = 0→ nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).
⇒ AB = BC = CA.
Như vậy AOB^ = BOC^= COB^ = 360°3 = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).
Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.
