30 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5 có đáp án
30 câu hỏi
Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng MN→+PQ→+RN→+NP→+QR→.
MR→
MN→
PR→
MP→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có MN→+PQ→+RN→+NP→+QR→=MN→+NP→+PQ→+QR→+RN→.
=MP→+PR→+RN→=MR→+RN→=MN→.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ MP→+NP→ bằng vectơ nào?
AP→
BP→
MN→
MB→+NB→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tam giác ABC có N, P lần lượt là trung điểm BC và AC.
Do đó NP là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra NP = BM (M là trung điểm AB).
Mà NP→, BM→ cùng hướng.
Do đó NP→= BM→.
Ta có MP→+NP→=MP→+BM→=BP→.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
MN→NP→+PQ→=MN→.NP→+MN→.PQ→
MP→.MN→=−MN→.MP→
MN→.PQ→=PQ→.MN→
MN→−PQ→MN→+PQ→=MN2−PQ2
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
Đáp án B sai. Sửa lại: MP→.MN→=MN→.MP→.
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
Đáp án D đúng theo bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM→.BC→.
AM→.BC→=b2−c22
AM→.BC→=c2+b22
AM→.BC→=c2+b2+a22
AM→.BC→=c2+b2−a22
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì M là trung điểm BC nên ta có AB→+AC→=2AM→.
Khi đó AM→.BC→=12AB→+AC→.BC→=12AC→+AB→AC→−AB→
=12AC→2−AB→2=12AC2−AB2=b2−c22.
Vậy ta chọn đáp án A.
Nếu AB→=AC→ thì
Tam giác ABC là tam giác cân;
Tam giác ABC là tam giác đều;
A là trung điểm của đoạn thẳng BC;
Điểm B trùng với điểm C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
AB→=AC→⇒A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B, C nằm cùng phía so với A.
Mà AB = AC nên B ≡ C.
Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng AB→, DC→+AD→, CB→+CO→, DC→.
45°;
405°;
315°;
225°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có AB→, DC→ cùng hướng nên AB→, DC→=0°.
Ta có AD→, CB→ ngược hướng nên AD→, CB→=180°.
Vẽ CE→=DC→. Khi đó ta có CO→, DC→=CO→, CE→=OCE^.
Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên OCB^=45°.
Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)
Suy ra BC ⊥ CE, do đó BCE^=90°.
Ta có OCE^=OCB^+BCE^=45°+90°=135°.
Vậy AB→, DC→+AD→, CB→+CO→, DC→=0°+180°+135°=315°.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây đúng?
AD→+BE→+CF→=AB→+AC→+BC→
AD→+BE→+CF→=AF→+CE→+BD→
AD→+BE→+CF→=AE→+BF→+CD→
AD→+BE→+CF→=BA→+BC→+AC→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có AD→+BE→+CF→=AE→+ED→+BF→+FE→+CD→+DF→
=AE→+BF→+CD→+ED→+DF→+FE→
=AE→+BF→+CD→+EF→+FE→
=AE→+BF→+CD→+EE→
=AE→+BF→+CD→+0→
=AE→+BF→+CD→
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho hai vectơ không cùng phương a→ và b→. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a→và b→;
Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a→và b→;
Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a→và b→, đó là 0→;
Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì 0→ cùng phương với mọi vectơ nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a→ và b→, đó là 0→.
Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Cho v→=MA→+MB→−2MC→. Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD→=v→.
D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD;
D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD;
D là trọng tâm của tam giác ABC;
D là trực tâm của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có v→=MA→+MB→−2MC→=MA→−MC→+MB→−MC→=CA→+CB→=2CI→ (với I là trung điểm AB).
Do đó v→ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi đó CD→=v→=2CI→.
Suy ra I là trung điểm CD.
Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Khẳng định nào sau đây đúng?
CA→−BA→=BC→
AB→+AC→=BC→
AB→+CA→=CB→
AB→−BC→=CA→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta xét từng đáp án:
Đáp án A: CA→−BA→=CA→+AB→=CB→=−BC→ ⇒ loại A.
Đáp án B: AB→+AC→=AD→ (với D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình bình hành).
Mà AD và BC là 2 đường chéo của hình bình hành ABDC.
Do đó AD→≠BC→ ⇒ loại B.
Đáp án C: AB→+CA→=CA→+AB→=CB→ (đúng) ⇒ chọn C.
Đáp án D: AB→−BC→=AB→+CB→≠CA→ (khi cộng hai vectơ theo quy tắc 3 điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai) ⇒ loại D.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA→.BC→=0 là:
một điểm;
đường thẳng;
đoạn thẳng;
đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có MA→.BC→=0⇔MA→⊥BC→⇔MA⊥BC.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
AB→=AC→
AB→=2a
AB→=2a
AB→=AB
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên AB→=AB=2a.
Cho hình thoi ABCD tâm O và BAD^=60°. Tính độ dài AB→+AD→.
AB→+AD→=2a3
AB→+AD→=a3
AB→+AD→=3a
AB→+AD→=3a3
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tứ giác ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD.
Do đó tam giác ABD cân tại A.
Mà BAD^=60°.
Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.
⇒ BD = AB = AD = 2a.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có AB→+AD→=AC→.
Suy ra AB→+AD→=AC→=AC.
Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm AC và BD.
Do đó AC = 2AO và BO = 12BD = a.
Tam giác ABO vuông tại O: AO2=AB2−BO2 (Định lý Pytago)
⇔AO2=4a2−a2=3a2.
⇒AO=a3.
Do đó AB→+AD→=AC=2AO=2a3.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho hai vectơ a→ và b→ khác 0→. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→ khi a→.b→=−a→.b→.
α = 180°;
α = 0°;
α = 90°;
α = 45°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có a→.b→=a→.b→.cosa→, b→.
Mà theo giả thiết, ta có a→.b→=−a→.b→
Suy ra cosa→, b→=−1.
Do đó a→, b→=180°.
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm đối xứng của C qua D. Hãy tính độ dài MN→.
MN→=a152
MN→=a53
MN→=a132
MN→=a54
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì M là trung điểm AB nên ta có AM = AB2=a2.
Tam giác MAD vuông tại A: DM2=AM2+AD2 (Định lý Pytago)
⇔DM2=a22+a2=5a24
⇒DM=a52.
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.
Ta có NP // AD, mà AD ⊥ CN (vì ABCD là hình vuông)
Do đó NP ⊥ CN hay NP ⊥ ND.
Suy ra PND^=90° (1).
Vì AD ⊥ ND nên ADN^=90° (2).
Tương tự, AD ⊥ AP nên PAD^=90°(3).
Từ (1) (2) (3), ta suy ra tứ giác ADNP là hình chữ nhật (4).
Vì N là điểm đối xứng của C qua D nên ND = CD = a.
Mà AD = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).
Nên ND = AD = a (5).
Từ (4) (5), ta suy ra ADNP là hình vuông.
Do đó AP = AD = a.
Ta có PM = PA + AM = a + a2=3a2.
Tam giác NPM vuông tại P: : MN2=NP2+PM2 (Định lý Pytago)
⇔MN2=a2+3a22=13a24
⇒MN=a132.
Suy ra MN→=MN=a132.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu AB→=−3AC→ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
BC→=−4AC→
BC→=−2AC→
BC→=2AC→
BC→=4AC→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Từ đẳng thức AB→=−3AC→, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Vì k = – 3 < 0 nên AB→ và AC→ ngược hướng. Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
Ta có AB→=−3AC→, suy ra AB→=−3AC→, do đó AB = 3AC.
Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.
Mà BC→, AC→ cùng hướng.
Do đó ta suy ra BC→=4 AC→.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB→.AC→.
AB→.AC→=24
AB→.AC→=26
AB→.AC→=28
AB→.AC→=32
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ AB→, AC→ theo các vectơ vuông góc với nhau.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD hay AC ⊥ OB.
Suy ra AC→⊥OB→.
Do đó AC→.OB→=0.
Ta có AB→.AC→=AO→+OB→.AC→=AO→.AC→+OB→.AC→
=12AC→.AC→+0=12AC→2=12AC2=32.
Vậy ta chọn đáp án D.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA→+MB→=0→;
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA→+GB→+GC→=0→;
Nếu ABCD là hình bình hành thì CB→+CD→=CA→;
Nếu ba điểm A, B, C phân biệt nằm tùy ý trên một đường thẳng thì AB→+BC→=AC→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đáp án A, B, C đúng.
Đáp án D chỉ đúng khi B nằm giữa hai điểm A và C.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
OA→+OC→+OE→=0→
BC→+FE→=AD→
OA→+OB→+OC→=EB→
AB→+CD→=0→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta xét từng đáp án:
Đáp án A: Tứ giác ABCO là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành, ta có OA→+OC→=OB→.
Vì O là trung điểm BE nên OE→+OB→=0→.
Do đó ta có .
Vậy A đúng.
Đáp án B: Ta có BC→=AO→ và FE→=OD→.
Do đó BC→+FE→=AO→+OD→=AD→.
Vậy B đúng.
Đáp án C: Ta có OB→=EO→ (2 vectơ này cùng hướng và có độ dài bằng nhau).
Ta có OA→+OB→+OC→=OB→+OA→+OC→=EO→+OB→=EB→
Vậy C đúng.
Đáp án D: Vì tứ giác ABOF là hình bình hành nên AB→=FO→.
Vì tứ giác CDEO là hình bình hành nên CD→=OE→.
Do đó ta có AB→+CD→=FO→+OE→=FE→≠0→
Vậy D sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính AB→.BC→.
AB→.BC→=−a2
AB→.BC→=a2
AB→.BC→=−a222
AB→.BC→=a222
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vẽ BD→=AB→.
Ta có AB→, BC→=BD→, BC→=CBD^.
Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra ABC^=45°.
Ta có ABC^+CBD^=180° (hai góc kề bù)
Khi đó ta được CBD^=180°−45°=135°.
Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago)
⇔ BC2 = 2a2
⇒BC=a2.
Do đó AB→.BC→=AB.BC.cosAB→, BC→=a.a2.cos135°=−a2
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho a→≠0→ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM→=3a→ và ON→=−4a→. Tìm .
MN→=7a→
MN→=-5a→
MN→=-7a→
MN→=5a→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có MN→=ON→−OM→=−4a→−3a→=−7a→.
Cho MN→≠0→ thì số vectơ cùng phương với vectơ đã cho là
1
2
3
Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Giá của vectơ MN→≠0 là đường thẳng MN, mà có vô số đường thẳng song song và trùng với đường thẳng MN.
Do đó có vô số vectơ cùng phương với MN→≠0.
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của u→=214OA→−52OB→ là:
a1404
a3214
a5204
a5414
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dựng điểm M, N sao cho OM→=214OA→ và ON→=52OB→. Khi đó ta có:
u→=214OA→−52OB→=OM→−ON→=NM→=MN.
Từ dữ kiện OM→=214OA→.
Ta suy ra OM→ cùng phương với OA→.
Vì OM→, OA→ có cùng điểm đầu là O.
Nên giá của OM→, OA→ trùng nhau.
Do đó ta có OM ≡ OA.
Tương tự ta có ON ≡ OB.
Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).
Do đó OM ⊥ ON.
Ta có OM→=214OA→⇔OM→=214OA→⇔OM=214OA=21a4.
Tương tự, ta có ON→=52OB→⇔ON→=52OB→⇔ON=52OB=5a2.
Tam giác OMN vuông tại O: MN2=OM2+ON2 (Định lý Pytago)
⇔MN2=441a216+25a24=541a216
⇒MN=a5414.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Hỏi MP→+NP→ bằng vectơ nào trong các vectơ sau đây?
AM→
PB→
AP→
MN→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tam giác ABC có M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Do đó MP là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra MP //AC và MP = 12AC = AN (N là trung điểm AC).
Do đó MP→=AN→.
Ta có MP→+NP→=AN→+NP→=AP→.
Vậy ta chọn đáp án C.
Cho đường tròn (O). Từ điểm A nằm ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Xét các mệnh đề sau:
(I) AB→=AC→ (II) OB→=−OC→ (III) BO→=CO→
Mệnh đề đúng là:
Chỉ (I);
(I) và (III);
(I), (II), (III);
Chỉ (III).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mệnh đề (I) sai vì AB→, AC→ không cùng phương.
Mệnh đề (II) sai vì OB→, OC→ không cùng phương.
Mệnh đề (III) đúng vì:
Ta có OB, OC là bán kính đường tròn (O) nên OB = OC = R.
Mà OB→=OB và OC→=OC nên ta có OB→=OC→=R.
Vậy ta chọn đáp án D.
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB→MA→+MB→+MC→=0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác là
một điểm;
đường thẳng;
đoạn thẳng;
đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta suy ra MA→+MB→+MC→=3MG→.
Ta có MB→MA→+MB→+MC→=0⇔MB→.3MG→=0⇔MB→.MG→=0⇔MB→⊥MG→ (*)
Biểu thức (*) chứng tỏ MB ⊥ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông.
Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính BG.
Vậy ta chọn đáp án D
Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4a, AD = 3a. Tính độ dài AB→+AD→.
7a
6a
2a3
5a
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì ABCD là hình vuông nên BC = AD = 3a.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: AB→+AD→=AC→.
Tam giác ABC vuông tại B: AC2=AB2+BC2 (Định lý Pytago)
⇔AC2=16a2+9a2=25a2
⇒ AC = 5a.
Do đó AB→+AD→=AC→=AC=5a.
Vậy ta chọn đáp án D.
Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác?
4
8
10
12
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Vectơ khác vectơ-không là vectơ có điểm đầu khác điểm cuối.
Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C, D là: AB→, BA→, BC→, CB→, CD→, DC→, AD→, DA→, AC→, CA→, BD→, DB→.
Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó AC→+BD→ bằng
MN→
2MN→
3MN→
-2MN→
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì M là trung điểm AB nên MA→+MB→=0→⇔−AM→+BM→=0→⇔AM→+BM→=0→.
Vì N là trung điểm CD nên NC→+ND→=0→.
Theo quy tắc ba điểm, ta có AC→+BD→=AM→+MN→+NC→+BM→+MN→+ND→
Suy ra AC→+BD→=AM→+BM→+NC→+ND→+2MN→=0→+0→+2MN→=2MN→
Vậy ta chọn đáp án B.
Cho hai lực F1→ và F2→ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm O, biết hai lực F1→ và F2→ đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?
100 (N);
1003(N);
503(N);
Đáp án khác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đặt F1→=OA→ và F2→=OB→. Khi đó ta có OA→=OB→ = 50 (N) và AOB^=60°.
Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: OA→+OB→=OC→ hay F1→+F2→=OC→.
Suy ra lực tổng hợp của hai lực F1→ và F2→ là OC→.
Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực F1→ và F2→ là OC→.
Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.
Mà AOB^=60° nên tam giác OAB đều.
Gọi I là giao điểm của OC và AB
⇒ I là trung điểm OC và AB ⇒ BI = AB2=AB→2=502 = 25 (N).
Tam giác OAB đều có OI là đường trung tuyến.
Suy ra OI cũng là đường cao của tam giác OAB.
Tam giác OBI vuông tại I: OI2=OB2−BI2 (Định lý Pytago)
⇔OI2=502−252=1875
⇒ OI = 253 (N).
Do đó OC = 2OI = 503 (N).
Vậy ta chọn đáp án B.
