Bài tập cuối chương V có đáp án
12 câu hỏi
Cho ba vectơ a→, b→, c→ đều khác vectơ . Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu hai vectơ a→, b→ cùng phương với c→thì a→và b→ cùng phương.
b) Nếu hai vectơ a→, b→cùng ngược hướng với c→thì a→và b→ cùng hướng
a) Gọi Δ1, Δ2, Δ3 lần lượt là giá của ba vectơ a→, b→, c→.
+ Vectơ a→cùng phương với vectơ c→
⇒ Δ1 //≡ Δ3
+ Vectơ b→cùng phương với vectơ c→
⇒ Δ2 //≡ Δ3
Do đó: Δ1 //≡ Δ2
Vậy vectơ a→cùng phương với vectơ b→(theo định nghĩa).
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Hai vectơ a→, b→ cùng ngược hướng với c→.
Suy ra a→, b→ đều cùng phương với c→.
Theo câu a suy ra vectơ a→ cùng phương với vectơ b→.
Do đó, hai vectơ a→và b→chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Mà hai vectơ a→và b→ đều ngược hướng với c→nên hai vectơ a→ và b→ cùng hướng.
Vậy khẳng định b) đúng.
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.
a) Tính độ dài của các vectơ AC→, BD→.
b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng a102.
a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O.
Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + (3a)2 = 10a2 ⇒AC=a10.
Do đó: BD = AC = a10.
Vậy |AC→|=AC=a10, |BD→|=BD=a10 .
b) Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = 12AC = a102.
Khi đó: |AO→|=|OA→|=|OC→|=|CO→|=a102
Hai vectơ OA→ và OC→ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.
Hai vectơ AO→ và CO→ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.
Vì O là trung điểm của BD nên BO = OD = 12BD = a102.
Khi đó: |BO→|=|OB→|=|OD→|=|DO→|=a102.
Hai vectơ OB→và OD→ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.
Hai vectơ BO→và DO→ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.
Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng a102 trong hình là: OA→, OC→; AO→, CO→; OB→, OD→và BO→, DO→.
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: p→=AB→+AD→; u→=AB→−AD→;v→=2AB→−AC→ .
ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a.
Xét tam giác ABD có AB = AD và BAD^=60°nên tam giác ABD đều.
Suy ra BD = AB = AD = a.
Ta có: ADC^=180°−BAD^=180°−60°=120°.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ADC ta có:
AC2 = AD2 + DC2 – 2 . AD . DC . cosADC
= a2 + a2 – 2 . a . a . cos120° = 3a2
Suy ra: AC = a3.
+ Vì ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: p→=AB→+AD→=AC→.
Do đó: |p→|=|AC→|=AC=a3.
+ Ta có:u→=AB→−AD→=DB→
Do đó: |u→|=|DB→|=DB=a.
+ Ta có: v→=2AB→−AC→=2AB→−(AB→+AD→)=AB→−AD→=DB→
Do đó: |v→|=|DB→|=DB=a.
Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho CE→=AN→ (Hình 1).
a) Tìm tổng của các vectơ NC→và MC→; AM→ và CD→ ; AD→ và NC→.
b) Tìm các vectơ hiệu: NC→−MC→; AC→−BC→; AB→−ME→.
c) Chứng minh AM→+AN→=AB→+AD→.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC // = AD.
M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên BM = MC = 12BC; AN = ND = 12AD
Mà CE→=AN→ nên CE //= AN.
Do đó: BM = MC = AN = ND = CE (1).
Hai vectơ AN→ và MC→ cùng hướng (do AN // MC và cùng hướng đi từ trái qua phải) và |MC→|=|AN→|nên AN→=MC→ .
Khi đó ta có AMCN là hình bình hành nên AM→=NC→.
Do đó:NC→+MC→=AM→+MC→=AC→
AM→+CD→=NC→+CD→=ND→
Lại có: ME = MC + CE; AD = AN + ND (2)
Từ (1) và (2) suy ra ME = AD, mà ME // AD nên AMED là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có:AM→+AD→=AE→ .
Do đó ta có: AD→+NC→=AD→+AM→=AE→.
b) Vì AM→=NC→ và MC→=AN→ nên NC→−MC→=AM→−AN→=NM→.
Vì ABCD là hình bình hành nên BC→=AD→và AB→=DC→.
Do đó ta có: AC→−BC→=AC→−AD→=DC→=AB→.
Vì AMED là hình bình hành nên ME→=AD→.
Do đó ta có: AB→−ME→=AB→−AD→=DB→.
c) Do ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→ .
Do AMCN là hình bình hành nên AC→=AM→+AN→.
Từ đó suy ra: AM→+AN→=AB→+AD→ .
Cho a→, b→là hai vectơ khác vectơ 0→. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a) |a→+b→|=|a→|+|b→|;
b) |a→+b→|=|a→−b→|.
a) Áp dụng công thức u→2=|u→|2.
Bình phương hai vế của đẳng phức |a→+b→|=|a→|+|b→|, ta được:|a→+b→|2=(|a→|+|b→|)2
⇔(a→+b→)2=|a→|2+2|a→|.|b→|+|b→|2
⇔a→2+2a→.b→+b→2=a→2+2|a→|.|b→|+b→2
⇔a→.b→=|a→|.|b→|
Mà a→.b→=|a→|.|b→|.cos(a→, b→)
Do đó: |a→|.|b→|=|a→|.|b→|.cos(a→, b→)⇔cos(a→, b→)=1
Suy ra: (a→, b→)=0° hay hai vectơ a→ và b→ cùng hướng.
Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ a→ và b→ cùng hướng.
b) Bình phương hai vế của đẳng thức |a→+b→|=|a→−b→| , ta được: |a→+b→|2=|a→−b→|2
⇔(a→+b→)2=(a→−b→)2
⇔a→2+2a→.b→+b→2=a→2−2a→.b→+b→2
⇔a→.b→=0⇔a→⊥b→
Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ a→và b→vuông góc với nhau.
Cho |a→+b→|=0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a→ và b→.
Ta có: |a→+b→|=0⇔a→+b→=0→⇔a→=−b→.
Khi đó a→ và b→ là hai vectơ đối nhau.
Vậy a→ và b→ cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài.
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB→=CD→ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
+) Có AB→=CD→, cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.
Khi đó ta có: IA→+ID→=0→, JB→+JC→=0→.
Theo quy tắc ba điểm ta có:
IJ→=IA→+AJ→=IA→+AB→+BJ→
IJ→=ID→+DJ→=ID→+DC→+CJ→
Suy ra: IJ→+IJ→=(IA→+AB→+BJ→)+(ID→+DC→+CJ→)
=(IA→+ID→)+(AB→+DC→)+(BJ→+CJ→)
=0→+(AB→+DC→)−(JB→+JC→)
=(AB→+DC→)−0→=AB→+DC→.
Do đó: AB→+DC→=2IJ→ (1)
Mà AB→=CD→ nên AB→+DC→=CD→+DC→=CC→=0→ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IJ→=0→
Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.
+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh AB→=CD→.
Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.
Do đó: IA→+ID→=0→, IB→+IC→=0→.
Theo quy tắc ba điểm ta có: AB→=AI→+IB→; CD→=CI→+ID→
Suy ra: AB→−CD→=(AI→+IB→)−(CI→+ID→)=(IB→+IC→)−(IA→+ID→)=0→−0→=0→
⇒AB→=CD→.
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ→+IQ→+PS→=0→.
Do ABIJ là hình bình hành nên AJ→=BI→.
Do BCPQ là hình bình hành nên BQ→=CP→.
Do CARS là hình bình hành nên RA→=SC→.
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
RJ→+IQ→+PS→=(RA→+AJ→)+(IB→+BQ→)+(PC→+CS→)
=(RA→+CS→)+(AJ→+IB→)+(BQ→+PC→)
=(SC→+CS→)+(BI→+IB→)+(CP→+PC→)
=SS→+BB→+CC→=0→+0→+0→=0→.
Vậy RJ→+IQ→+PS→=0→.
Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.
Quan sát Hình 2, ta thấy:
Vectơ vận tốc thực của máy bay là v1→ và |v1→|=45m/s.
Vectơ vận tốc gió là v2→, ta cần tính |v2→|.
Vectơ vận tốc của máy bay so với mặt đất là v→ và |v→|=38m/s.
Góc giữa hai vectơ v→ và v1→ là 20°.
Ta có: v→=v1→+v2→⇒v2→=v→−v1→ (1)
Bình phương hai vế của (1), ta được:
|v2→|2=(v→−v1→)2
⇔|v2→|2=v→2−2v→.v1→+v1→2
⇔|v2→|2=|v→|2−2.|v→|.|v1→|.cos(v→, v1→)+|v1→|2
⇔|v2→|2=382−2 . 38 . 45 . cos20°+452
⇔|v2→|2≈255,25
Suy ra: |v2→|≈15,98.
Vậy tốc độ của gió khoảng 15,98 m/s.
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD→+ME→+MF→=32MO→.
Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60°.
Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.
Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.
Theo quy tắc hình hình hành ta có:
MK→+MG→=MA→; MH→+MJ→=MB→; MI→+ML→=MC→. (1)
Ta có: MH // AB ⇒MHL^=B^=60° (đồng vị)
ML // AC ⇒MLH^=C^=60° (đồng vị)
Tam giác MHL có MHL^=MLH^=60° nên tam giác MHL đều.
Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.
Suy ra D là trung điểm của HL.
Khi đó ta có: MH→+ML→=2MD→.
Chứng minh tương tự ta có: MK→+MJ→=2MF→; MG→+MI→=2ME→.
Do đó: 2MD→+2ME→+2MF→=MH→+ML→+MG→+MI→+MK→+MJ→
=(MK→+MG→)+(MH→+MJ→)+(MI→+ML→) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2(MD→+ME→+MF→)=MA→+MB→+MC→
Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên MA→+MB→+MC→=3MO→
Do đó: 2(MD→+ME→+MF→)=3MO→
Suy ra MD→+ME→+MF→=32MO→.
Một xe goòng được kéo bởi một lực F→ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa F→ và AB→ là 30° và F→ được phân tích thành 2 lực F1→, F2→ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực F→, F1→ và F2→.
Công sinh bởi lực F→ là
A = |F→|.AB.cos(F→, AB→) = 50 . 200 . cos30° = 50003 (J).
Góc tạo bởi lực F1→ và AB→ là 90°, do đó công sinh bởi lực F1→ là
A1 = |F1→|.AB.cos(F1→, AB→) = |F1→|.200.cos90°=0 (J).
Ta có: |F2→|=|F→|.cos30°=50.32=253 (N)
Hai vectơ F2→ và AB→ cùng hướng nên (F2→, AB→)=0°.
Do đó công sinh bởi lực F2→ là
A2 = |F2→|.AB.cos(F2→, AB→) = 253.200.cos0°=50003 (J).
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi v1→, v2→, v→ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a) Tính độ dài của các vectơ v1→, v2→, v→.
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
a) Vectơ v1→ là vectơ vận tốc của thuyền so với dòng nước, do đó: |v1→|=0,75 m/s.
Vectơ v2→ là vectơ vận tốc của dòng nước so với bờ, do đó: |v2→|=1,20 m/s.
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
|v→|2=|v1→|2+|v2→|2=(0,75)2+(1,20)2=2,0025
Suy ra: |v→|=2,0025=38920 m/s.
b) Vectơ v→ là vectơ vận tốc của thuyền so với bờ nên tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là |v→|=38920m/s.
c) Ta có: cos(v1→,v→)=|v1→||v→|=0,7538920=58989.
Suy ra (v1→, v→)≈58°.
Vậy góc tạo bởi hướng dịch chuyển của thuyền so với bờ là θ = 90° – 58° = 32°.
