Giải SBT Toán 10 Bài 3. Tổ hợp có đáp án
9 câu hỏi
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tổ hợp chập k của n phần tử đó là:
A. Tất cả kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Một tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.
C. Một kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Tất cả tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A.
Lời giải
Đáp án đúng là B
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\).
B. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).
C. \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
D. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là B
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n.
Ta có \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).
Do đó phương án A, D đúng.
Theo tính chất của các số \(C_n^k\), ta có \(C_n^k = C_n^{n - k}\).
Do đó phương án B đúng.
Suy ra phương án C sai.
Vậy ta chọn phương án C.
Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong 10 điểm phân biệt.
Lời giải
Mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp điểm (không tính thứ tự) chọn trong 10 điểm phân biệt đã cho.
Mỗi cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là một tổ hợp chập 2 của 10.
Số cách chọn 2 trong 10 điểm phân biệt là: \[C_{10}^2 = 45\] (cách chọn).
Vậy có 45 đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho n điểm phân biệt (n > 1). Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78. Tìm n.
Lời giải
Số đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 trong n điểm đã cho là: \(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\).
Theo đề, ta có số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong n điểm đã cho bằng 78.
Tức là, \[\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 78\].
Suy ra \[\frac{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - 1} \right).n}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} = 78\].
Khi đó \[\frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{2} = 78\].
Do đó n2 – n = 156.
Vì vậy n2 – n – 156 = 0.
Suy ra n = 13 hoặc n = –12.
Vì n > 1 nên ta nhận n = 13.
Vậy n = 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 12 đỉnh.
Lời giải
Đa giác lồi có 12 đỉnh thì có 12 cạnh.
Số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là một tổ hợp chập 2 của 12.
Suy ra số cách chọn 2 đỉnh trong 12 đỉnh là: \(C_{12}^2\) (cách chọn).
Vậy số đường chéo cần tìm là \(C_{12}^2 - 12 = 54\).
Cho đa giác lồi n đỉnh (n > 3). Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170. Tìm n.
Lời giải
Số đường chéo của đa giác lồi n đỉnh là một cặp đỉnh (không tính n cạnh) được chọn trong n đỉnh của đa giác lồi nên ta có \(C_n^2 - n = \frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n\).
Theo đề, ta có số đường chéo của đa giác đó là 170.
Tức là, \(\frac{{n!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 170\).
Suy ra \(\frac{{\left( {n - 2} \right)!.\left( {n - 1} \right).n}}{{2.\left( {n - 2} \right)!}} - n = 170\).
Khi đó (n – 1).n – 2n = 340.
Vì vậy n2 – 3n – 340 = 0.
Suy ra n = 20 hoặc n = –17.
Vì n > 3 nên ta nhận n = 20.
Vậy n = 20 là giá trị cần tìm.
Bạn Nam đến cửa hàng mua 2 chiếc ghế loại A. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 chiếc và ghế loại A màu đỏ có 15 chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua 2 chiếc ghế loại A?
Lời giải
Cửa hàng đó có tất cả 20 + 15 = 35 (chiếc ghế).
Mỗi cách chọn 2 chiếc ghế trong tổng số 35 chiếc là một tổ hợp chập 2 của 35.
Vậy số cách chọn 2 chiếc ghế loại A trong tổng số 35 chiếc ghế là: \(C_{35}^2 = 595\).
Chứng minh rằng:
\(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.
Lời giải
Ta có \(kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{k.n!}}{{k.\left( {k - 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left[ {\left( {n - 1} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right]!}}\)
\( = nC_{n - 1}^{k - 1}\).
Vậy \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.
Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.
Lời giải
Ta có \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right).n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right]!}}\)
\( = \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left[ {\left( {n + 1} \right) - \left( {k + 1} \right)} \right]!}}\)
\( = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\).
Vậy \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.
