Bài tập Tổ hợp có đáp án
18 câu hỏi
Trong một giải bóng bàn đôi nam, mỗi đội 8 người chọn 2 vận động viên để tạo thành một cặp đấu.
Trong toán học, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là gì?
Hướng dẫn giải
Sau bài học này, ta sẽ biết, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là một tổ hợp chập 2 của 8.
Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam.
Nêu 3 cách chọn cặp đấu.
Hướng dẫn giải
Ba cách chọn cặp đấu, chẳng hạn như sau:
Cách 1: Chọn 2 bạn Mạnh, Phong.
Cách 2: Chọn 2 bạn Cường, Tiến.
Cách 3: Chọn 2 bạn Phong, Tiến.
(Chọn 2 bạn bất kì trong 4 bạn).
Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên?
Lời giải:Mỗi cặp đấu gồm 2 bạn trong 4 bạn của đội tuyển, do đó mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.
Viết tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.
Hướng dẫn giải
Mỗi tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là một tập con gồm 2 phần tử của tập A = {a; b; c}.
Vậy các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là: {a; b}, {a; c}, {b; c}.
Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e}.
Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.
Hướng dẫn giải
Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là trích ra một tập con gồm 3 phần tử lấy ra từ 5 phần tử trong A.
Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.
Lời giải:
Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử trong A và sắp xếp thứ tự 3 phần tử đó.
So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.
Lời giải:
Việc lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và sắp thứ tự, còn cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và không sắp thứ tự.
Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.
Trong một buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.
Vậy số cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi là \(C_{10}^3\) = 120 (cách).
Ta có thể tính số các tổ hợp bằng máy tính cầm tay như sau: Nút tổ hợp:
Hướng dẫn giải
Thực hiện bấm máy tính cầm tay theo hướng dẫn.
Dùng máy tính cầm tay để tính:
\(C_{25}^{13}\);
Hướng dẫn giải
Ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím như sau:
Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 5 200 300.
Vậy \(C_{25}^{13} = 5\,200\,300\).
\(C_{30}^{15}\).
Lời giải:
Ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím như sau:
Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 155 117 520.
Vậy \(C_{30}^{15} = 155\,\,117\,\,520\).
So sánh:
\(C_6^2\) và \(C_6^4\);
Hướng dẫn giải
Ta có: \(C_6^2 = \frac{{6!}}{{2!\left( {6 - 2} \right)!}} = \frac{{6!}}{{2!.4!}} = 15\);
\(C_6^4 = \frac{{6!}}{{4!\left( {6 - 4} \right)!}} = \frac{{6!}}{{4!.2!}} = 15\).
Do đó: \(C_6^2 = C_6^4\).
\(C_4^2 + C_4^3\) và \(C_5^3\).
Lời giải:
Ta có: \(C_4^2 + C_4^3 = \frac{{4!}}{{2!\left( {4 - 2} \right)!}} + \frac{{4!}}{{3!\left( {4 - 3} \right)!}}\)\( = \frac{{4!}}{{2!.2!}} + \frac{{4!}}{{3!.1!}} = \frac{{4.3.2.1}}{{2.1.2.1}} + \frac{{4.3.2.1}}{{3.2.1}}\) = 6 + 4 = 10;
\(C_5^3 = \frac{{5!}}{{3!\left( {5 - 3} \right)!}} = \frac{{5!}}{{3!.2!}}\)\( = \frac{{5.4.3.2.1}}{{3.2.1.2.1}} = 10\).
Do đó: \(C_4^2 + C_4^3\) = \(C_5^3\).
Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tính rồi so sánh.
B. Bài tập
Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho?
Hướng dẫn giải
Chọn 3 điểm trong 8 điểm đã cho ta được 3 đỉnh của 1 tam giác.
Mỗi cách chọn 3 điểm trong 8 điểm là một tổ hợp chập 3 của 8, do đó có \(C_8^3 = 56\) tam giác.
Vậy có 56 tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho.
Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 2 đội để đấu với nhau trong 10 đội tham gia giải bóng đá là một tổ hợp chập 2 của 10, do đó có \(C_{10}^2 = 45\) cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.
Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?
Hướng dẫn giải
Khối đó có tổng cộng số học sinh tham gia tình nguyện là: 16 + 18 = 34 (học sinh).
Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh bất kì, có \(C_{34}^3 = 5984\) (cách lập).
Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh toàn nữ là \(C_{16}^3 = 560\) (cách lập).
Số cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh toàn nam là \(C_{18}^3 = 816\) (cách lập).
Do đó, có 5 984 – 560 – 816 = 4 608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.
Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa?
Hướng dẫn giải
Tổng số bông hoa của quán là: 50 + 60 = 110 (bông)
Số cách chọn 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa là \(C_{110}^5\) (cách chọn).
Số cách chọn 5 bông hoa hồng trong 50 bông hồng là \(C_{50}^5\) (cách chọn).
Số cách chọn 5 bông hoa cúc trong 60 bông cúc là \(C_{60}^5\) (cách chọn).
Do đó, có \(C_{110}^5 - C_{50}^5 - C_{60}^5\) = 114 811 250 cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa.
Tính tổng \(C_{15}^{12} + C_{15}^{13} + C_{16}^{14}\).
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có: \(C_{15}^{12} + C_{15}^{13} + C_{16}^{14}\)
\( = C_{16 - 1}^{13 - 1} + C_{16 - 1}^{13} + C_{16}^{14}\) \( = C_{16}^{13} + C_{16}^{14}\)
\( = \frac{{16!}}{{13!\left( {16 - 13} \right)!}} + \frac{{16!}}{{14!\left( {16 - 14} \right)!}}\)
\( = \frac{{16.15.14}}{{3.2.1}} + \frac{{16.15}}{{2.1}}\)
\( = 8.5.14 + 8.15 = 560 + 120 = 680\).
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
\(C_{15}^{12} + C_{15}^{13} + C_{16}^{14}\) = 455 + 105 + 120 = 680.
